閱讀材料“利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)”設(shè)計(jì)說明

陳 純

（上海市寶山實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的一般方法，觀察函數(shù)圖象特征的一般視角.

2.內(nèi)容解析

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，是從數(shù)量關(guān)系的角度刻畫事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的工具.對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究，初中階段主要是通過對(duì)函數(shù)圖象特征的觀察，直觀獲得對(duì)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)；而高中階段將在直觀觀察的基礎(chǔ)上，逐步增加分析的方法去研究函數(shù).初中階段的函數(shù)內(nèi)容，是變量數(shù)學(xué)的奠基性內(nèi)容.教材先后討論了正、反比例函數(shù)，一次函數(shù)和二次函數(shù)，為以后對(duì)函數(shù)進(jìn)行解析研究提供了思考的基礎(chǔ).學(xué)生在八年級(jí)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和表示方法，研究了正、反比例函數(shù)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，九年級(jí)進(jìn)一步學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，掌握了研究函數(shù)的一些基本方法，具備了進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ).但是學(xué)生僅僅是熟悉這些函數(shù)及其圖象性質(zhì)，而對(duì)于研究函數(shù)的一般方法、步驟還沒有加以提煉和總結(jié).

本節(jié)課是閱讀材料教學(xué)，通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)先前所獲得的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以及所感悟的數(shù)學(xué)思想和方法認(rèn)真進(jìn)行反思和總結(jié)，進(jìn)一步提煉、總結(jié)利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的一般方法，明確觀察圖象時(shí)所需關(guān)注的主要問題，體會(huì)從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的思想方法.學(xué)生對(duì)于研究函數(shù)一般方法和數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，不僅有助于其進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究問題，而且對(duì)于將它們遷移到現(xiàn)實(shí)生活中用于分析、處理各種各樣的問題，也有著重要的意義.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）通過對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)圖象與性質(zhì)研究過程的回顧與整理，提煉、總結(jié)利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的一般方法，梳理觀察函數(shù)圖象特征的一般視角.

（2）能運(yùn)用提煉、總結(jié)所獲得的一般方法解決簡單的函數(shù)問題.

（3）通過具體問題，研究、理解由形識(shí)數(shù)、由數(shù)想形的數(shù)形結(jié)合思想，從而提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

基于本節(jié)課內(nèi)容在初中函數(shù)教學(xué)中所處的位置是最后一課，起著承上啟下的作用.對(duì)于初中階段的函數(shù)內(nèi)容，它起到了總結(jié)、歸納的作用.學(xué)生通過這節(jié)課能提煉出研究函數(shù)的一般方法和觀察圖象特征的一般視角，并能利用其研究一個(gè)新的函數(shù).同時(shí)也對(duì)高中階段函數(shù)的學(xué)習(xí)起到了拋磚引玉的作用.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)所需經(jīng)歷的一般過程應(yīng)該并不陌生，而要掌握并利用函數(shù)的圖象研究一個(gè)新函數(shù)，需要學(xué)生從以往的經(jīng)驗(yàn)中概括、提煉出一般方法，這對(duì)于學(xué)生的歸納、總結(jié)等綜合能力有較高的要求.同時(shí)對(duì)于函數(shù)圖象的觀察和認(rèn)知，學(xué)生往往只停留在能聽懂，但不能內(nèi)化的層面，因此學(xué)生歸納、總結(jié)起來將有一定困難.而在研究新函數(shù)時(shí)，如何在所獲得的圖象中準(zhǔn)確得到新函數(shù)的特征和性質(zhì)，也需要學(xué)生具備一定的觀察能力和分析能力.教師需要在此處適當(dāng)加以引導(dǎo).基于此，筆者認(rèn)為，提煉、總結(jié)利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的一般方法，以及梳理觀察函數(shù)圖象的一般視角是本節(jié)課的難點(diǎn).

四、教學(xué)支持條件分析

為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，筆者設(shè)計(jì)的板書如圖1所示，在教學(xué)過程中逐漸展開.

圖1

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

根據(jù)教學(xué)問題診斷分析，筆者制定了6個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：情境引入，揭示課題—回顧梳理，總結(jié)提煉—例題解析，小試牛刀—自主探究，提高能力—梳理小結(jié)，承前啟后—作業(yè)布置，精讀內(nèi)化.

1.情境引入，揭示課題

如圖2，根據(jù)研究，體內(nèi)血乳酸濃度升高是運(yùn)動(dòng)后感覺疲勞的重要原因，運(yùn)動(dòng)員未運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)血乳酸濃度水平通常在40 mg/L以下.如果血乳酸濃度降到50 mg/L以下，運(yùn)動(dòng)員就基本消除了疲勞.體育科研工作者根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制了一幅圖象.它反映了運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行高強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)后，體內(nèi)血乳酸濃度隨時(shí)間變化而變化的函數(shù)圖象.

問題：用哪種方式消除疲勞更好，為什么？

實(shí)線表示采用慢跑等活動(dòng)方式放松時(shí)血乳酸濃度的變化情況；虛線表示采用靜坐方式休息時(shí)血乳酸濃度的變化情況.

板書能生動(dòng)、有效地幫助學(xué)生回顧并梳理學(xué)習(xí)函數(shù)所經(jīng)歷的過程，從而提煉、歸納出研究函數(shù)的一般方法，并對(duì)觀察圖象特征的一般視角加以梳理.板書與課件隨著學(xué)生的思維同步展開.

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】教學(xué)引入源于教材的例題，問題背景與視頻銜接順暢，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)是非常重要的數(shù)學(xué)模型，有非常廣泛的應(yīng)用.利用圖象來研究生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題是普遍存在的，其本質(zhì)就是通過圖象研究函數(shù)的某些性質(zhì).

教學(xué)策略1：引例生活化、淺近化.

初中階段學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)是以函數(shù)圖象作為立足點(diǎn)的，因此以一個(gè)生活實(shí)例的函數(shù)圖象作為引入，既自然生動(dòng)，又突出了本節(jié)課的主題.

2.回顧梳理，總結(jié)提煉

問題1：初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了四個(gè)函數(shù)，那么我們通常是從哪些方面來研究一個(gè)函數(shù)的？

活動(dòng)1：回顧研究二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的大致過程，初步提煉出研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般方法、步驟：確定函數(shù)解析式—畫函數(shù)圖象—觀察圖象特征—獲得函數(shù)性質(zhì).

問題2：我們研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般方法是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】二次函數(shù)是初三學(xué)生在當(dāng)前學(xué)段接觸到的函數(shù)，且剛剛學(xué)完比較熟悉，通過對(duì)研究過程的回顧與梳理，初步感受、嘗試提煉研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般方法步驟.

教學(xué)策略2：語言藝術(shù)化、情感化.

活動(dòng)2：回顧研究正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程，驗(yàn)證并體會(huì)研究函數(shù)圖象與性質(zhì)確實(shí)是按照上述方法步驟進(jìn)行的.體會(huì)不同函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，函數(shù)圖象可以通過已知圖象的平移得到.

【設(shè)計(jì)意圖】在回顧的過程中，運(yùn)用已獲得的理解，驗(yàn)證并逐步清晰圖象獲得的不同方法.在補(bǔ)充、完善的同時(shí)，注意體會(huì)函數(shù)圖象平移背后的理由及平移的方法.

活動(dòng)3：回顧研究反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的大致過程，檢驗(yàn)所提煉出來的研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般方法步驟的普適性，同時(shí)感受作圖過程的局限與理性思考的作用.

【設(shè)計(jì)意圖】回顧、梳理研究反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程，體會(huì)圖象的對(duì)稱性、圖象無窮遠(yuǎn)處的判斷與感受等理性思考的作用，再次檢驗(yàn)、修正，并增進(jìn)理解.

活動(dòng)4：閱讀教材.

問題3：在觀察函數(shù)圖象特征的時(shí)候，我們通常會(huì)從哪些視角來進(jìn)行觀察？

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)教材的閱讀，進(jìn)一步內(nèi)化鞏固先前所提煉的知識(shí)和方法，同時(shí)歸納、總結(jié)觀察函數(shù)圖象特征的一般視角.

【本環(huán)節(jié)整體設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是利用函數(shù)圖象研究函數(shù)一般方法的提煉與總結(jié)，而提煉與總結(jié)的前提是對(duì)所學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)梳理與歸納.初中階段重點(diǎn)學(xué)習(xí)了四種函數(shù)，在回顧整理的過程中，不斷驗(yàn)證、補(bǔ)充、修正、完善.

教學(xué)策略3：板書多維化、圖式化.

教學(xué)策略4：研究整體化、層級(jí)化.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，其過程并非是一蹴而就的.學(xué)生在不斷的感受和嘗試中逐步修正、完善，增進(jìn)其自身理解，從而獲得最終結(jié)論.而對(duì)于結(jié)論本身，我們應(yīng)該淡化，要將重點(diǎn)放在獲得結(jié)論所經(jīng)歷的過程和方法上.

3.例題解析，小試牛刀

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用本節(jié)課所提煉、總結(jié)的利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的一般方法，師生合作，共同研究，從中進(jìn)一步體會(huì)利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的一般方法.

4.自主探究，提高能力

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用本節(jié)課所提煉、總結(jié)的利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的一般方法，學(xué)生獨(dú)立完成，也是對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的及時(shí)評(píng)價(jià)與反饋.其中，的圖象可由的圖象向上平移1個(gè)單位得到，希望更多的學(xué)生能夠感受到.

5.梳理小結(jié)，承前啟后

我收獲了……，我體會(huì)了……

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自身學(xué)習(xí)行為進(jìn)行反思，啟發(fā)學(xué)生從知識(shí)、技能、方法、情感等方面自主小結(jié)，期盼學(xué)生逐步養(yǎng)成整理知識(shí)、提煉思想方法的習(xí)慣，不斷提高運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的素養(yǎng)，日益增強(qiáng)數(shù)學(xué)反思、質(zhì)疑的意識(shí).

延伸思考：研究函數(shù)y=x3-x的圖象與性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)奠定基礎(chǔ)，并且通過這個(gè)過程，使學(xué)生感受利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的重要性和必要性，為高中階段進(jìn)一步研究其他函數(shù)埋下伏筆.

教學(xué)策略5：小結(jié)自主化、領(lǐng)悟化.

在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，無論是數(shù)的方法，還是形的方法，都有其自身的不足和局限性，因此通過上述課堂總結(jié)，期望學(xué)生感受到在研究函數(shù)的過程中，不能割裂地去使用數(shù)的方法或是形的方法，并為高中階段進(jìn)一步研究較復(fù)雜的函數(shù)埋下了伏筆.

6.作業(yè)布置，精讀內(nèi)化

精讀教材第108，109頁的閱讀材料，加深對(duì)課堂內(nèi)容的理解.

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

嘗試研究函數(shù)y=x4的圖象、特征和性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】這道題與本節(jié)課上所學(xué)習(xí)的利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)密切相關(guān)，也是對(duì)課上練習(xí)的加深和鞏固.

七、教學(xué)反思

1.值得肯定的方面

（1）教學(xué)中注重了理論與實(shí)際相結(jié)合，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了教學(xué)效率.函數(shù)是一個(gè)較為抽象的概念，對(duì)于許多學(xué)生來說，理解起來有一定的困難，因而許多學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較低.為此，本節(jié)課一開始以一個(gè)生活實(shí)例作為引入，既自然生動(dòng)，又突出了本節(jié)課的主題.通過將生活實(shí)例作為引例，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性得到了很大的提升，為后續(xù)學(xué)習(xí)的開展打下了很好的基礎(chǔ).

（2）本節(jié)課作為初中階段函數(shù)部分最后一課時(shí)內(nèi)容，起著承上啟下的作用.其既是對(duì)初中階段函數(shù)內(nèi)容的總結(jié)、提煉，同時(shí)也是對(duì)高中階段函數(shù)的學(xué)習(xí)起著拋磚引玉的作用.本節(jié)課通過對(duì)學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)過的函數(shù)的研究過程的回顧，逐步梳理、提煉出利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的一般方法，學(xué)生對(duì)這種方法的歸納既提升了自己的總結(jié)能力，同時(shí)運(yùn)用該方法還能去研究一個(gè)新的函數(shù)，學(xué)生真切地收獲了一種技能并能加以運(yùn)用.

（3）板書能生動(dòng)、有效地幫助學(xué)生回顧并梳理學(xué)習(xí)函數(shù)所經(jīng)歷的過程，從而歸納提煉出研究函數(shù)的一般方法，并對(duì)觀察圖象特征的一般視角加以梳理.本節(jié)課筆者的板書追求美感，充分運(yùn)用黑板的二維空間，而且利用時(shí)間維度逐步凸顯板書的邏輯圖式，對(duì)學(xué)生歸納、掌握本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容起到了很好的輔助作用.

（4）本節(jié)課使用的五種教學(xué)策略為課堂教學(xué)的順利進(jìn)行提供了幫助.最值得一提的是，由于本節(jié)課在教材中的角色是“閱讀材料”，因此筆者圍繞其制定了整節(jié)課的教學(xué)策略：分步閱讀，促進(jìn)內(nèi)化.課前，筆者要求學(xué)生對(duì)這部分材料進(jìn)行自主閱讀，大致了解其所敘述的內(nèi)容，并對(duì)初中階段學(xué)習(xí)過的函數(shù)有個(gè)初步的印象；課內(nèi)，筆者提出對(duì)課上出現(xiàn)的問題引導(dǎo)后再讀，這是對(duì)學(xué)生歸納出來的研究函數(shù)的一般方法的進(jìn)一步內(nèi)化和鞏固；課后，筆者再次提出對(duì)這部分材料進(jìn)行延續(xù)性精讀，從整體上加深理解，促進(jìn)知識(shí)體系的形成.由于閱讀能力愈發(fā)的重要，筆者希望通過這樣的教學(xué)策略，讓學(xué)生體會(huì)到自主閱讀、自主學(xué)習(xí)的重要性.

2.不足之處

（1）對(duì)于提煉、利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的一般方法這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，在課上筆者采用了以教師引導(dǎo)為主的回顧方法.如果能夠在今后的教學(xué)過程中采用小組合作學(xué)習(xí)的模式，可能會(huì)進(jìn)一步提高課堂效率，并且更能夠鍛煉學(xué)生的合作交流能力，為數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的積累提供很好的范例.

（2）在課上筆者的教學(xué)語言較為精煉，但是在一些地方打斷了學(xué)生的正常思維和描述，有點(diǎn)包辦的感覺.這個(gè)問題需要在今后的教學(xué)中加以注意.教師應(yīng)該給予學(xué)生充分的發(fā)言時(shí)間和思考時(shí)間，這也是對(duì)學(xué)生表達(dá)能力的培養(yǎng).

3.今后努力的方向

通過這節(jié)課的教學(xué)，筆者發(fā)現(xiàn)要講好一節(jié)課很不容易.我們不僅要做好課前的教學(xué)設(shè)計(jì)，還要根據(jù)課堂的情況，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和思考，課后還要認(rèn)真反思、總結(jié)一堂課的得與失，并在以后的教學(xué)實(shí)踐中不斷推進(jìn)和改善，以期獲得更好的教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］張曉燕.在“函數(shù)零點(diǎn)”教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想［J］. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（1）：41-42.