立足整體追根溯源 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)
——例談對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)

徐連弟

（浙江省仙居縣第二中學(xué)）

德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力取決于各部分之間的聯(lián)系；盡管數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容千差萬(wàn)別，但在整個(gè)數(shù)學(xué)中有著同樣的邏輯工具，概念存在親緣關(guān)系，不同部分之間有許多相似之處.數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在緊密的、多維的、復(fù)雜的結(jié)構(gòu)關(guān)系，各種概念、命題、法則在一定范圍內(nèi)由某些數(shù)學(xué)關(guān)系將其聯(lián)結(jié)，形成外顯的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，即數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是建立和完善個(gè)體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)生頭腦中的知識(shí)被學(xué)生按照自己理解的深度和廣度，結(jié)合自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu).認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立是學(xué)習(xí)新知識(shí)的前提，同時(shí)又是新知識(shí)學(xué)習(xí)后的結(jié)果，優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于知識(shí)的合理表征和貯存，有利于知識(shí)的提取和遷移，可以促進(jìn)學(xué)習(xí)者加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來(lái)的，學(xué)習(xí)者將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化在頭腦中，形成個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu).可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，知識(shí)結(jié)構(gòu)起到了不可或缺的作用，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的支撐點(diǎn).師生唯有建立起整體的數(shù)學(xué)觀和思維方式，把握知識(shí)之間存在的內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系，建構(gòu)起知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能開(kāi)展有效教學(xué)活動(dòng).

現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材，采用螺旋式編排方式，將整體的數(shù)學(xué)知識(shí)分解成不同單元，安排在不同的學(xué)段和不同的年級(jí).由于教學(xué)通常是以一節(jié)節(jié)“課”為單位來(lái)組織展開(kāi)的，于是教材又將單元整體知識(shí)劃分成一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，以“點(diǎn)”為單位按知識(shí)點(diǎn)的難易程度來(lái)編排教學(xué)內(nèi)容，在“課”的時(shí)間單位進(jìn)行知識(shí)“點(diǎn)”的教學(xué).這種以“點(diǎn)”為單位的教材編排方式，使原本具有豐富內(nèi)在關(guān)聯(lián)的知識(shí)，變成了以“點(diǎn)”為單位的符號(hào)系統(tǒng)，容易使教師只圍繞和關(guān)注這個(gè)“點(diǎn)”來(lái)思考，認(rèn)識(shí)不到“點(diǎn)”背后存在的知識(shí)整體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，忽視知識(shí)形成和發(fā)展過(guò)程中的邏輯關(guān)系，在教學(xué)中不注意處理好知識(shí)整體與一節(jié)節(jié)課局部之間的關(guān)系，也就難以幫助學(xué)生把握知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，以及形成和發(fā)展過(guò)程，并了解知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)背景，不利于學(xué)生對(duì)整體的綜合學(xué)科知識(shí)的掌握.

數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，是指立足整體數(shù)學(xué)觀，從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)出發(fā)，著眼于有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的視角，揭示教材以“點(diǎn)”為單位的數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在的內(nèi)在的、本質(zhì)的、多維的結(jié)構(gòu)關(guān)系，不等同于作為學(xué)科體系的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和作為科學(xué)體系的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).同樣，也不等同于以往對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的表面理解.例如，把知識(shí)結(jié)構(gòu)僅僅理解為教材編排體系中知識(shí)學(xué)習(xí)的前后順序；把知識(shí)結(jié)構(gòu)理解為新知識(shí)學(xué)習(xí)、新知識(shí)鞏固、新知識(shí)應(yīng)用的一般教學(xué)程序；把知識(shí)結(jié)構(gòu)局限于某一知識(shí)點(diǎn)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)關(guān)系；把知識(shí)結(jié)構(gòu)單純理解為一章節(jié)學(xué)習(xí)結(jié)束后的知識(shí)整理等.數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在基本結(jié)構(gòu)的深度把握，揭示繁雜的知識(shí)點(diǎn)背后存在的不變性——相同結(jié)構(gòu)，既有時(shí)空間維度的知識(shí)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)，包括知識(shí)橫向之間的聯(lián)系，縱向之間的聯(lián)系，以及縱橫之間的交融，又有基于數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)、數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程、數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)方法等結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)，從而以整體數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)安排和開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).

一、不同維度數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.融合關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)

融合關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是指打破知識(shí)橫向聯(lián)系與縱向聯(lián)系的界限，跨越不同學(xué)習(xí)內(nèi)容和不同年級(jí)，甚至不同學(xué)段的局限，融合數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)方法等維度，以整體視野，透過(guò)一個(gè)個(gè)不同知識(shí)點(diǎn)的表面，發(fā)現(xiàn)這些知識(shí)之間存在的本質(zhì)聯(lián)系和內(nèi)容的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián).把這些看似不同，實(shí)質(zhì)卻有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)梳理清晰，從整體上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)形成多維關(guān)系的認(rèn)識(shí)，以整個(gè)學(xué)段的整體視野審視各知識(shí)結(jié)構(gòu)塊之間的關(guān)聯(lián)性.

圖1

案例1：初中數(shù)學(xué)融合關(guān)系知識(shí)結(jié)構(gòu)，如圖1所示.

圖1是對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)分析、梳理形成的結(jié)構(gòu)圖，這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，不僅直觀顯示了初中數(shù)學(xué)知識(shí)各塊內(nèi)容之間存在的本質(zhì)聯(lián)系，也可以清楚地看到各塊內(nèi)容發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.例如，數(shù)量關(guān)系這一分支，體現(xiàn)了一個(gè)由具體到抽象、由特殊到一般、由獨(dú)立到聯(lián)系、由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的發(fā)生過(guò)程；從數(shù)量關(guān)系與空間圖形的關(guān)系來(lái)看，體現(xiàn)了數(shù)與形之間的相互依存關(guān)系，借助于數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系，數(shù)量關(guān)系可以通過(guò)圖形得以直觀，而圖形關(guān)系可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系得以精細(xì)刻畫.綜觀整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，是一個(gè)具體到抽象、特殊到一般、動(dòng)態(tài)到靜態(tài)、數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換過(guò)程.繁雜的知識(shí)背后存在著本質(zhì)上的一致，即知識(shí)的發(fā)展無(wú)非是認(rèn)識(shí)角度的變化，是抽象度、符號(hào)化操作要求、思維水平不斷提升的過(guò)程.

案例2：三角形、四邊形融合關(guān)系知識(shí)結(jié)構(gòu)，如圖2所示.

圖2

圖2是三角形、四邊形融合關(guān)系知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，單獨(dú)從圖形的左邊來(lái)看，是三角形內(nèi)部的縱向關(guān)系，是一個(gè)從一般到特殊的發(fā)展過(guò)程.等腰三角形和直角三角形是特殊三角形，等邊三角形是特殊等腰三角形，含30°角直角三角形是特殊直角三角形，而等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；單獨(dú)從圖形的右邊來(lái)看，是四邊形內(nèi)部的縱向關(guān)系，也是一個(gè)從一般到特殊的發(fā)展過(guò)程.菱形與矩形是特殊平行四邊形，一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形是特殊菱形，對(duì)角線夾角為60°的矩形是特殊矩形，而正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.

將左右兩部分合起來(lái)看，就是三角形與四邊形的橫向關(guān)系，右邊每一個(gè)特殊四邊形是由左邊相對(duì)應(yīng)的一對(duì)全等特殊三角形組合的.認(rèn)識(shí)三角形與四邊形之間存在這樣的縱向關(guān)系，就可以體會(huì)將四邊形問(wèn)題化歸為三角形問(wèn)題的思想方法.右邊四邊形的縱向關(guān)系因?yàn)閮?nèi)容安排在同一章節(jié)，師生可能還關(guān)注較多，而左邊的縱向關(guān)系，以及左右之間的橫向關(guān)系因?yàn)閷W(xué)習(xí)內(nèi)容分散在不同章節(jié)，師生對(duì)其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)關(guān)系可能關(guān)注較少.

2.橫向關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)

橫向關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是指以橫向聯(lián)系的整體視野，以教材中橫向的“點(diǎn)”為單位的學(xué)習(xí)內(nèi)容，揭示類知識(shí)結(jié)構(gòu)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，按其內(nèi)在的類特征組成一個(gè)整體，使學(xué)生先認(rèn)識(shí)整體，再局部把握知識(shí)，凸顯類知識(shí)背后共通的思維方式，豐富學(xué)生對(duì)類特征知識(shí)內(nèi)涵的整體認(rèn)識(shí)和結(jié)構(gòu)把握.

案例3：不同類型數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，如圖3所示.

圖3

圖3是不同類型數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，其橫向關(guān)系體現(xiàn)在以下三個(gè)方面.

一是不同類型的數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)之間有相似的發(fā)展過(guò)程.式是字母表示數(shù)一般化的結(jié)果，方程、不等式是研究式之間的相互關(guān)系，函數(shù)是用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)，是數(shù)之間對(duì)應(yīng)的變化關(guān)系；函數(shù)是方程、不等式的一般化，方程、不等式可看成是函數(shù)關(guān)系中的特例，函數(shù)可看成是一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程，而方程、不等式是其中的一段變化過(guò)程或某個(gè)靜態(tài)瞬間；式子的值隨著其所包含字母的值的變化而變化，函數(shù)正是這一變化關(guān)系的符號(hào)化表示，因而函數(shù)可以看成是從變化的觀點(diǎn)看代數(shù)式的值并加以符號(hào)表示.學(xué)生若在學(xué)習(xí)中能把握上述的相似結(jié)構(gòu)，就能將整數(shù)—整式—整式方程—整式函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)類比遷移到對(duì)其他數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)的研究.

二是不同類型數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)之間存在相似的研究結(jié)構(gòu).例如，數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程都是源于生產(chǎn)、生活的需要；各類式都是研究其定義、性質(zhì)、化簡(jiǎn)、以及運(yùn)算；各類方程都是研究其定義、解法及應(yīng)用；而各類函數(shù)都是研究其解析式、圖象，以及解析中系數(shù)變化與圖象之間形狀、位置變化的關(guān)系.學(xué)生在學(xué)習(xí)中若能認(rèn)識(shí)到這種共同的研究結(jié)構(gòu)，就能將從其中一類知識(shí)學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)到的研究結(jié)構(gòu)遷移應(yīng)用到另幾類知識(shí)的研究中.

三是不同類型數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)之間存在一個(gè)擴(kuò)展的關(guān)系.從數(shù)來(lái)看，分?jǐn)?shù)可以看成是整數(shù)相除（除數(shù)不為0），算術(shù)平方根可以看成是非負(fù)整數(shù)與分?jǐn)?shù)正的平方根；從式來(lái)看，分式可以看成整式運(yùn)算的完備，多項(xiàng)式除多項(xiàng)式，以及除式中出現(xiàn)被除式中不含有的因式的整式除法，以分式的形式進(jìn)行運(yùn)算，二次根式則是整式的開(kāi)方運(yùn)算.方程、不等式、函數(shù)也有類似的關(guān)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)中若能掌握到這種擴(kuò)充關(guān)系，就自然而然想到各類知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，即數(shù)的運(yùn)算最后轉(zhuǎn)化為整數(shù)的運(yùn)算（小數(shù)運(yùn)算，數(shù)位相加時(shí)還是整數(shù)運(yùn)算），式的運(yùn)算最后轉(zhuǎn)化為整式的運(yùn)算，各類方程最后都轉(zhuǎn)化為整式方程.顯然，各類函數(shù)也需要將其轉(zhuǎn)化為整式函數(shù)來(lái)研究.如此，表面繁雜的知識(shí)點(diǎn)其結(jié)構(gòu)顯得非常簡(jiǎn)潔，其內(nèi)在本質(zhì)具有一致性，更重要的是特殊化、一般化、類比、化歸等思想方法無(wú)需語(yǔ)言贅述，一覽無(wú)余.

3.縱向關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)

縱向關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是指以縱向聯(lián)系的整體視野，以教材中縱向的“點(diǎn)”為單位的學(xué)習(xí)內(nèi)容，揭示知識(shí)結(jié)構(gòu)間的縱向關(guān)聯(lián)性，按其內(nèi)在邏輯組成由簡(jiǎn)到復(fù)雜的結(jié)構(gòu)塊.如果學(xué)生把握了知識(shí)縱向之間的關(guān)系，深度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)在不斷飛躍發(fā)展過(guò)程中，存在著本質(zhì)的不變的結(jié)構(gòu)性，就有可能借助于結(jié)構(gòu)的支撐，能夠在超越原來(lái)學(xué)習(xí)情境的思維中靈活運(yùn)用所獲得的知識(shí)，解決許許多多看來(lái)似乎生疏，但實(shí)際密切關(guān)聯(lián)的問(wèn)題.

案例4：解決實(shí)際問(wèn)題代數(shù)模型知識(shí)結(jié)構(gòu)，如圖4所示.

圖4

由小學(xué)的算術(shù)方法，到初中的方程和函數(shù)，是解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型不斷飛躍的過(guò)程，面對(duì)每一次的飛躍，學(xué)生都會(huì)面臨一次困難，甚至成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的分水嶺.解決實(shí)際問(wèn)題的不同模型存在著內(nèi)在的聯(lián)系，若能讓學(xué)生明白這種聯(lián)系，就能幫助學(xué)生完成由一種模型向另一種模型的飛躍.由圖4可知，由算術(shù)方法到方程有三個(gè)變化：一是形式變化，用字母表示未知量，等式兩邊可以有已知量，也可以有未知量；二是思維變化，由等號(hào)單向的程序性思維向等號(hào)雙向的結(jié)構(gòu)性思維轉(zhuǎn)變；三是本質(zhì)飛躍，將算術(shù)解法抽象的思維過(guò)程轉(zhuǎn)化為解方程直觀符號(hào)的操作.我們知道用算術(shù)解決問(wèn)題時(shí)，大腦中始終想著一個(gè)未知量，然后想設(shè)法利用一個(gè)綜合式算出這個(gè)未知，其實(shí)質(zhì)是列最簡(jiǎn)單形式的一元一次方程，即x=一個(gè)綜合式（x表示未知量）.而方程的解法就是突破這種形式上的限制，方程兩邊既可以有未知量，又可以有已知量，解方程的過(guò)程正是原來(lái)算術(shù)做法的思維過(guò)程，將抽象的思維過(guò)程轉(zhuǎn)化為解方程直觀符號(hào)的操作過(guò)程.在后續(xù)方程內(nèi)部的發(fā)展中，突破了未知數(shù)在方程中的位置、未知數(shù)的次數(shù)、未知數(shù)的個(gè)數(shù)的限制，將解一元低次方程的抽象思維過(guò)程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為解多元高次方程直觀的消元與降次符號(hào)操作過(guò)程.而由方程模型到函數(shù)模型，實(shí)現(xiàn)了由靜態(tài)向動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題解決的更為宏觀，同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了由數(shù)向圖形的轉(zhuǎn)換，使問(wèn)題解決變得更為直觀.

二、數(shù)學(xué)自然法則知識(shí)結(jié)構(gòu)

老子曰：道法自然.也就是說(shuō)萬(wàn)事萬(wàn)物的運(yùn)行法則都是遵守自然規(guī)律的，道就是對(duì)自然欲求的順應(yīng).任何事物都有一種天然的自然欲求，誰(shuí)順應(yīng)了這種自然欲求誰(shuí)就會(huì)與外界和諧相處，誰(shuí)違背了這種自然欲求誰(shuí)就會(huì)同外界產(chǎn)生抵觸.自然之道，社會(huì)之道，為人之道，數(shù)學(xué)的發(fā)展源自生產(chǎn)、生活實(shí)踐，因此數(shù)學(xué)也有其之道.數(shù)學(xué)自然法則（為了方便，暫且請(qǐng)?jiān)试S筆者這么稱謂）知識(shí)結(jié)構(gòu)即數(shù)學(xué)之道，數(shù)學(xué)中也存在著許多自然規(guī)則，一旦違背了就會(huì)出錯(cuò)，不妨以如下案例來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明其含義.

案例5：數(shù)學(xué)自然法則知識(shí)結(jié)構(gòu).

先回顧一下數(shù)學(xué)中六種基本運(yùn)算的關(guān)系（如圖5），乘法是特殊加法（加數(shù)相同）的簡(jiǎn)潔表示形式，乘方是特殊乘法（因數(shù)相同）的簡(jiǎn)潔表示形式，因而乘方、乘法、加法由高到低分為三級(jí)運(yùn)算，其相應(yīng)的逆運(yùn)算開(kāi)方、除法、加法歸到同一級(jí).我們來(lái)看數(shù)學(xué)自然法則之一（如圖6），即乘方、乘法、加法三種運(yùn)算進(jìn)行單一運(yùn)算時(shí)，可交換數(shù)的位置和運(yùn)算順序，教材中對(duì)加法、乘法的交換律和結(jié)合律給出了明確說(shuō)明.我們?cè)賮?lái)看數(shù)學(xué)自然法則之二（如圖7）：兩種運(yùn)算相差一級(jí)運(yùn)算可調(diào)換兩種運(yùn)算的先后順序，圖7這幾個(gè)運(yùn)算法則分散在不同章節(jié)、學(xué)段，教材基本上是由特例驗(yàn)證一般化得到的，沒(méi)有給出嚴(yán)格的推理證明.由于符號(hào)的抽象性，學(xué)生對(duì)法則的運(yùn)算很容易混淆出錯(cuò)，如果能發(fā)現(xiàn)兩種運(yùn)算相差一級(jí)可調(diào)換兩種運(yùn)算的先后順序這一共性，就可降低記憶負(fù)擔(dān)，提高運(yùn)用的準(zhǔn)確性.再來(lái)看自然法則之三（如圖8）：冪的幾個(gè)運(yùn)算法則，雖然可以通過(guò)冪的意義，給出嚴(yán)格的推導(dǎo)過(guò)程，學(xué)生同樣容易混淆出錯(cuò).深入分析我們可以發(fā)現(xiàn)法則之間的共性，即指數(shù)運(yùn)算要比冪之間的運(yùn)算降一級(jí).上述數(shù)學(xué)法則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與自然的一致性，即存在一些必然的規(guī)律，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧、統(tǒng)一、奇妙特性，這也正是數(shù)學(xué)的魅力所在，即對(duì)必然規(guī)律的把握，而不是枯燥、乏味的抽象符號(hào)操作.

圖7

三、數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程性結(jié)構(gòu)

教材呈現(xiàn)的靜態(tài)的符號(hào)化知識(shí)，是前人生活實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與智慧的結(jié)果形態(tài)的反映，遮蔽了知識(shí)形成的生動(dòng)過(guò)程和前人創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)知識(shí)的智慧.數(shù)學(xué)知識(shí)都有一個(gè)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)需將教材呈現(xiàn)的符號(hào)化知識(shí)解壓還原為教育形態(tài)，揭示符號(hào)化文本知識(shí)的生成過(guò)程.不同數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程具有相同或相似的特征，數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程性結(jié)構(gòu)是指在深入分析數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的基礎(chǔ)上，依據(jù)過(guò)程的相同或相似特征構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程結(jié)構(gòu).教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生了解和把握這個(gè)過(guò)程結(jié)構(gòu)，可促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地按照過(guò)程結(jié)構(gòu)探索數(shù)學(xué)知識(shí).

1.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過(guò)程結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)概念存在雙重性，即表現(xiàn)為“過(guò)程”與“對(duì)象”兩種形態(tài).過(guò)程與對(duì)象這兩個(gè)側(cè)面有著緊密的依存關(guān)系，形成一個(gè)概念，要經(jīng)歷由過(guò)程開(kāi)始，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)象的認(rèn)知程序，最終結(jié)果是兩者在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中共存，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候分別發(fā)揮作用.概念由“過(guò)程”向“對(duì)象”的形成過(guò)程結(jié)構(gòu)包括四個(gè)階段，如圖9所示.

圖9

案例6：二次函數(shù)概念形成的過(guò)程結(jié)構(gòu).

運(yùn)算操作（活動(dòng)）：表示生活中實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系得到一組函數(shù)關(guān)系式為y=6x2，d=，y=20(1 +x)2.

綜合分析（過(guò)程）：把以上函數(shù)關(guān)系式作為整體綜合進(jìn)行分析：它們都是函數(shù)關(guān)系式，自變量最高次數(shù)都是2.

形成對(duì)象：把這三個(gè)函數(shù)關(guān)系式看成是相同形式，即y=6x2+0?x+0,,y=20x2+40x+20,然后提煉出函數(shù)關(guān)系式的一般形式為y=ax2+bx+c(a ≠0).

圖8

形成圖式：這時(shí)學(xué)生的頭腦中有二次函數(shù)的生活實(shí)例，有抽象的操作過(guò)程，有解析式一般形式的模式，解析式左右兩邊恒等的結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)，也有代入自變量求函數(shù)值或代入函數(shù)值求自變量的過(guò)程性觀點(diǎn)，有二次函數(shù)與二次三項(xiàng)式、一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系，以及與其他函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系等.

2.數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)過(guò)程結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)過(guò)程結(jié)構(gòu)是指許多數(shù)學(xué)命題發(fā)生和發(fā)展具有相同的過(guò)程結(jié)構(gòu).讓學(xué)生體悟認(rèn)識(shí)命題學(xué)習(xí)的過(guò)程性結(jié)構(gòu)，可使學(xué)生主動(dòng)地運(yùn)用過(guò)程性結(jié)構(gòu)探索數(shù)學(xué)命題.例如，數(shù)學(xué)圖形研究中命題的學(xué)習(xí)具有相同的過(guò)程結(jié)構(gòu)，即“發(fā)現(xiàn)和猜想—驗(yàn)證與證明—?dú)w納與表述—拓展與應(yīng)用”.

3.數(shù)學(xué)知識(shí)表述知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)表述知識(shí)結(jié)構(gòu)是指數(shù)學(xué)知識(shí)表述往往存在多種等價(jià)的形式，包括概念的等價(jià)關(guān)系，命題的等價(jià)關(guān)系，以及命題的多維表述，圖10和圖11是兩類等價(jià)關(guān)系的實(shí)例.

圖10

圖11

4.數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯性結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在一定的邏輯關(guān)系，邏輯關(guān)系包括從屬關(guān)系、并列關(guān)系.從屬關(guān)系是指數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在弱抽象（一般化）或強(qiáng)抽象（特殊化）關(guān)系，并列關(guān)系是指數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在一定的聯(lián)系，但不是弱抽象或強(qiáng)抽象關(guān)系.其實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展主要途徑有：一是由大量具體實(shí)例抽象歸納概括得到；二是將已有知識(shí)弱抽象（一般化）或強(qiáng)抽象（特殊化）形成了概念系、概念域，命題系、命題域，依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，不僅能體現(xiàn)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，還能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)涵的思維方法和數(shù)學(xué)思想方法，與數(shù)學(xué)知識(shí)的心理表征是相一致的，也就是說(shuō)能促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立.圖12是函數(shù)知識(shí)邏輯性結(jié)構(gòu)圖.

圖12

四、數(shù)學(xué)知識(shí)方法性結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法性結(jié)構(gòu)不是指一般的學(xué)習(xí)方法，而是指數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程.許多不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，在認(rèn)識(shí)這些數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中卻有共同的學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu).學(xué)生利用這類方法結(jié)構(gòu)，就可以主動(dòng)地運(yùn)用到其他同類知識(shí)的學(xué)習(xí)中，有利于學(xué)生形成積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)心向.例如，軸對(duì)稱變換和旋轉(zhuǎn)變換是不同單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但兩者存在著相同的方法性結(jié)構(gòu)（如圖13）.學(xué)生在軸對(duì)稱學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)識(shí)把握了這樣的方法性結(jié)構(gòu)，就能主動(dòng)運(yùn)用到旋轉(zhuǎn)變換的學(xué)習(xí)中.再如，圖14是一次函數(shù)學(xué)習(xí)的方法性結(jié)構(gòu)，在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生形成函數(shù)解析式與函數(shù)圖象“數(shù)”“形”兩個(gè)維度之間的相互依存的方法結(jié)構(gòu)，在后續(xù)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中就可以運(yùn)用這一結(jié)構(gòu)主動(dòng)地進(jìn)行類似研究活動(dòng).

圖13

圖14

五、結(jié)束語(yǔ)

筆者在反復(fù)梳理數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中，感受到了表面上紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)背后，原來(lái)隱藏著如此簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)，也真正領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的奇妙，數(shù)學(xué)的好玩，數(shù)學(xué)知識(shí)的美，結(jié)構(gòu)之美、和諧之美、對(duì)稱之美、統(tǒng)一之美，每次領(lǐng)悟到某一種新的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，內(nèi)心都會(huì)有一種竊喜.著名物理學(xué)家諾貝爾獎(jiǎng)獲得者費(fèi)曼曾說(shuō)，我講課的主要目的，不是幫助你們應(yīng)付考試，也不是幫你們?yōu)楣I(yè)和國(guó)防服務(wù).我最希望做的是，讓你們欣賞到這奇妙的世界.要提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，甚至熱愛(ài)數(shù)學(xué)，欣賞到奇妙的數(shù)學(xué)世界，讓學(xué)生慢慢去體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)背后簡(jiǎn)潔、和諧的結(jié)構(gòu)，是一條可行的途徑.當(dāng)然，本文對(duì)于初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)還是粗糙的，有些知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及相應(yīng)的名稱明顯帶有個(gè)人主觀的樸素經(jīng)驗(yàn)成分，其科學(xué)性還值得推敲.此外，每位教師、每名學(xué)生在大腦中都存在著自己關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)圖式，并且也會(huì)存在一些差異，本文旨在拋磚引玉，若能引起更多同行去關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，用自己的教學(xué)思維和數(shù)學(xué)理解去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，然后引領(lǐng)學(xué)生去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，感受數(shù)學(xué)的奇妙，那么，今天所做的粗糙工作也顯得是一件十分有意義的事.

參考文獻(xiàn)：

［1］吳亞萍.“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要［M］.桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2009.