“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)設(shè)計(jì)

姜 昊

（天津市河西區(qū)教育局）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十三章第一節(jié)“圖形的旋轉(zhuǎn)”第1課時，內(nèi)容為旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì).

2.內(nèi)容解析

旋轉(zhuǎn)是一種圖形變換，也是初中學(xué)段繼平移和軸對稱之后學(xué)習(xí)的第三種全等變換，它是研究中心對稱的知識基礎(chǔ)，也是探究旋轉(zhuǎn)對稱類圖形（如圓）的必要準(zhǔn)備.

本節(jié)課是本章的起始課，重點(diǎn)探究旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)，是本章知識的核心，也是后續(xù)研究中心對稱和坐標(biāo)應(yīng)用的關(guān)鍵.

旋轉(zhuǎn)的概念突出了三要素，即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，這三個要素是確保旋轉(zhuǎn)的唯一性的必要條件，也是表述一個旋轉(zhuǎn)過程的必要因素.通過觀察大量旋轉(zhuǎn)的實(shí)例逐步抽象得出旋轉(zhuǎn)的概念，這一過程是將對旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識逐步理性化的過程，也是感受如何定義一種圖形變換的過程.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是研究在圖形變化前提下圖形要素間的不變性，是研究圖形變換的價值所在.正是因?yàn)閳D形在位置變化的過程中保持了形狀和大小不變，并因各自不同的變化而產(chǎn)生出要素間新的確定的關(guān)系，我們才能以此為基礎(chǔ)去作圖、證明或解決其他問題.

同為圖形變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與平移和軸對稱的性質(zhì)有相似之處，但這種相似更體現(xiàn)在性質(zhì)的探究過程.圖形整體的變換過程是復(fù)雜的，可以先從研究圖形上的特殊點(diǎn)（直線型的特殊點(diǎn)一般是其頂點(diǎn)）的變換過程出發(fā)，由點(diǎn)到形、由特殊到一般去研究整體，并了解類似問題的基本研究套路.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）通過觀察具體實(shí)例認(rèn)識旋轉(zhuǎn)；

（2）探索并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能通過觀察具體的旋轉(zhuǎn)實(shí)例抽象出旋轉(zhuǎn)三要素，會判斷圖形的變化是否為旋轉(zhuǎn)，能指出圖形旋轉(zhuǎn)中的三要素，會利用三要素描述旋轉(zhuǎn).

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：經(jīng)歷作圖、猜想、驗(yàn)證的探究過程，得到并理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，會利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的不變關(guān)系，會利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作一個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的圖形.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生在小學(xué)初步認(rèn)識了旋轉(zhuǎn)，但僅限于對圖形的識別，并沒有涉及幾何要素間的定量分析.學(xué)生也已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移、軸對稱兩種圖形變換，具備研究圖形變換的基本經(jīng)驗(yàn)，知道只改變位置的圖形變換是全等變換.

在平移和軸對稱的變換中，變換的途徑更直觀，對應(yīng)量的關(guān)系更清楚，與之相比，旋轉(zhuǎn)具有更強(qiáng)的抽象性.

學(xué)生在探究性質(zhì)的過程中，或是應(yīng)用性質(zhì)的過程中，都會遇到不能發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的途徑，找不到對應(yīng)量，不會確定旋轉(zhuǎn)中心等問題.

針對學(xué)生可能遇到的問題，在本節(jié)課的教學(xué)中應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是通過大量的旋轉(zhuǎn)實(shí)例展示，讓學(xué)生通過不斷地觀察熟悉旋轉(zhuǎn)，認(rèn)識圖形在不同的旋轉(zhuǎn)中的相對位置，積累認(rèn)知和判別經(jīng)驗(yàn)；二是在實(shí)例的觀察中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形上的點(diǎn)的變換與圖形的變換具有一致性，從而通過對點(diǎn)的研究發(fā)現(xiàn)形的性質(zhì).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.觀察實(shí)例得出旋轉(zhuǎn)的概念

問題1：先從剪紙引入，并適當(dāng)介紹我國剪紙是人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn).然后在屏幕上顯示“剪紙藝術(shù)欣賞”，在學(xué)生觀察欣賞情境中自然引入主題“旋轉(zhuǎn)”.圖1～圖3的每組剪紙的兩個圖形之間，其中一個是經(jīng)過哪種圖形變換而得到另一個圖形的？

圖1

圖2

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】利用動態(tài)演示剪紙的三種情況引出了平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)三種全等變換，引入本節(jié)課的研究對象，并為類比之前的學(xué)習(xí)內(nèi)容，清晰本章學(xué)習(xí)的線索和內(nèi)容做好鋪墊.

追問1：圖2的兩個圖形是軸對稱的，當(dāng)時我們在學(xué)習(xí)軸對稱時主要研究了它的哪些方面？

追問2：軸對稱的概念和性質(zhì)是什么？

師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考并回答，師生共同總結(jié)出以下幾點(diǎn).

（1）已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移、軸對稱這兩種圖形的變換，以軸對稱為例，并分別研究它們的概念、性質(zhì)、作圖、圖形設(shè)計(jì)、相關(guān)圖形等，旋轉(zhuǎn)也可以從這些方面去研究；

（2）回憶軸對稱的內(nèi)容也是為接下來學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)打下基礎(chǔ)，回憶從具體事例抽象出概念和如何研究性質(zhì)，使學(xué)生明確旋轉(zhuǎn)在所學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中的位置.

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課是本章的起始課，使學(xué)生明確本章要學(xué)什么，怎么學(xué).通過追問使學(xué)生明確旋轉(zhuǎn)和平移、軸對稱一樣都屬于圖形的變換.因此，可以類比軸對稱去研究旋轉(zhuǎn)，一方面，向?qū)W生滲透類比是發(fā)現(xiàn)問題解決方法的重要途徑；另一方面，滲透獲得概念的一種思想方法，即從具體實(shí)例中歸納概括本質(zhì)屬性.

問題2：先讓學(xué)生舉出一些生活中的實(shí)例，再觀察實(shí)例：旋轉(zhuǎn)的風(fēng)車（如圖4），轉(zhuǎn)動一定角度的鐘表（如圖5），有天津特色的解放橋閉合和打開的狀態(tài)（如圖6）.思考：如何描述這種圖形的變換？

圖4

圖5

圖6

師生活動：小學(xué)時學(xué)生已經(jīng)學(xué)過旋轉(zhuǎn)，通過發(fā)言尋找生活中旋轉(zhuǎn)的例子.學(xué)生通過觀察與思考，嘗試去描述這種運(yùn)動.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過具體實(shí)例嘗試描述一個圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，從而引出旋轉(zhuǎn)概念的學(xué)習(xí).

問題3：發(fā)給學(xué)生中間有挖掉一個三角形洞的硬紙板，讓他們依據(jù)教師的描述畫出將這個三角形旋轉(zhuǎn)后的三角形.在一張白紙上任取一點(diǎn)O和點(diǎn)P，如果讓它繞一個定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，得到幾個結(jié)果？

追問1：如果讓它分別繞點(diǎn)O和點(diǎn)P順時針轉(zhuǎn)動90°，得到幾個三角形？

追問2：如果讓它繞定點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得到幾個三角形？

追問3：給定怎樣的條件才能使旋轉(zhuǎn)后的圖形唯一確定？

【設(shè)計(jì)意圖】通過活動來明確旋轉(zhuǎn)的三要素，讓學(xué)生體會缺少任何一個要素都不能確定一個旋轉(zhuǎn)，從而使學(xué)生從旋轉(zhuǎn)的概念中的“唯一確定性”體會到旋轉(zhuǎn)的三要素.

師生活動：學(xué)生發(fā)言，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：物體都在轉(zhuǎn)動一定的角度，并且都是在繞一個點(diǎn)轉(zhuǎn)動.教師指出，如果將問題2的指針和葉片看作平面圖形，那么上述運(yùn)動就可以看作是一個平面圖形繞著平面圖形內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動一個角度，數(shù)學(xué)中把這一現(xiàn)象叫做圖形的旋轉(zhuǎn).觀察課件中鐘表的旋轉(zhuǎn)，準(zhǔn)確描述鐘表的旋轉(zhuǎn).如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)閳D上點(diǎn)P′，通過鐘表圖認(rèn)識點(diǎn)P和點(diǎn)P′是對應(yīng)點(diǎn)關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察大量旋轉(zhuǎn)的實(shí)例逐步抽象得出旋轉(zhuǎn)的概念，這一過程是將對旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識逐步理性化的過程，也是感受如何定義一種圖形變換的過程，即將“生活中的旋轉(zhuǎn)”抽象為“數(shù)學(xué)中平面圖形的旋轉(zhuǎn)”；讓學(xué)生借助實(shí)例，理解旋轉(zhuǎn)概念和對應(yīng)點(diǎn)概念，明確概念中的“唯一確定性”，理解旋轉(zhuǎn)三要素.

練習(xí)：教材第59頁練習(xí)第2，3題.

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)，初步訓(xùn)練學(xué)生從具體實(shí)例中找到旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向、對應(yīng)點(diǎn)的能力，幫助學(xué)生鞏固對旋轉(zhuǎn)概念的認(rèn)識，會利用三要素描述旋轉(zhuǎn).

2.探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

問題4：在硬紙板上，挖一個三角形洞，再另挖一個小洞O作為旋轉(zhuǎn)中心，硬紙板下面放一張白紙，先在紙上描出這個挖掉的三角形圖案（△ABC），然后，圍繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動硬紙板，再描出這個挖掉的三角形（△A′B′C′），移開硬紙板，得到圖7.觀察圖7并思考以下問題：觀察旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形，你能得出它們有哪些不變性嗎？

圖7

師生活動：讓學(xué)生獨(dú)立思考后，兩人一組，用符號語言寫出在圖中整體和對應(yīng)要素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

追問1：觀察旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形，你能立即得出它們有哪些不變性嗎？

追問2：總結(jié)得到的結(jié)論，從三要素出發(fā)，對應(yīng)點(diǎn)的不變性怎么體現(xiàn)？

追問3：你認(rèn)為研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是研究什么？追問4：你認(rèn)為對應(yīng)元素有哪些？它們在形狀、大小、位置關(guān)系上有哪些不變性？

【設(shè)計(jì)意圖】這里需要從概念出發(fā)思考性質(zhì)，也就是要有利用三要素研究性質(zhì)的意識.同時，先從研究圖形上的特殊點(diǎn)（直線型的特殊點(diǎn)一般是其頂點(diǎn)）的變換過程出發(fā)，由點(diǎn)到形、由特殊到一般去研究整體，并了解類似問題的基本研究套路.這里還可以體現(xiàn)思考的有序性（邏輯性）.由一組對應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)（即對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角），再到兩組對應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)（即兩組對應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等）.教師適當(dāng)引導(dǎo)，要讓學(xué)生知道，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的關(guān)系，是這兩個圖形的形狀、大小和位置關(guān)系；研究一個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，要充分利用確定這個對象的要素，明確研究性質(zhì)的方向.

追問5：怎樣驗(yàn)證上述猜想的正確性？這一發(fā)現(xiàn)對于任意三角形的任意旋轉(zhuǎn)都成立嗎？

師生活動：教師出示問題，首先，學(xué)生從整體到局部對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行歸納概括；然后，通過平臺中軟件的度量功能，幫助學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證猜想的正確性，以及通過改變旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、三角形的形狀和大小，讓學(xué)生觀察在變化過程中結(jié)論不發(fā)生改變，幫助學(xué)生認(rèn)識到結(jié)論可以從特殊推廣到一般.師生共同討論性質(zhì)的條件和結(jié)論，教師給出圖形，學(xué)生用符號語言表示性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生親身經(jīng)歷性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、概括和驗(yàn)證過程，發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力和合情推理能力.同時，讓學(xué)生認(rèn)識到在圖形的運(yùn)動過程中，對應(yīng)點(diǎn)所蘊(yùn)含的不變關(guān)系.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的得出是由歸納得到的，并不要求學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的證明，但是從數(shù)學(xué)思維的滲透角度來講，需要讓學(xué)生明確歸納得到的性質(zhì)需要具有普遍性，體會數(shù)學(xué)中從特殊到一般的歸納方法，所以借助flash演示實(shí)現(xiàn)一般化的推廣.此外，通過對性質(zhì)的多元表征，加深學(xué)生對性質(zhì)的理解，為后續(xù)應(yīng)用性質(zhì)做邏輯推理打下基礎(chǔ).

3.畫簡單圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形

先讓學(xué)生解決教材第61頁練習(xí)第1，2，3題，然后教師出示以下問題.

圖8

問題5：如圖8，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，你能畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形嗎？試一試你有幾種方法？

師生活動：教師出示問題，學(xué)生獨(dú)立完成.然后，教師利用信息技術(shù)把學(xué)生所畫的多種方法呈現(xiàn)在電子白板上，并引導(dǎo)學(xué)生思考每種方法的依據(jù).最終引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到畫旋轉(zhuǎn)后圖形的本質(zhì)，即畫出旋轉(zhuǎn)前各頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，確定對應(yīng)點(diǎn)的依據(jù)就是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】通過較復(fù)雜背景下，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，提高學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的靈活性；通過不同方法的比較，揭示旋轉(zhuǎn)性質(zhì)在解決旋轉(zhuǎn)問題中的作用.幫助學(xué)生進(jìn)一步理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，鞏固簡單圖形旋轉(zhuǎn)后圖形的畫法.

4.回顧反思旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題.

（1）旋轉(zhuǎn)的概念是什么？

（2）旋轉(zhuǎn)有哪些性質(zhì)？從什么出發(fā)研究性質(zhì)？

（3）性質(zhì)是研究什么？

縱向評價，將本節(jié)課表現(xiàn)最好的學(xué)生同本節(jié)課上課板書一起拍下來，上傳到班級QQ群相冊.評價不應(yīng)該只關(guān)注學(xué)生的知識掌握情況，還應(yīng)該關(guān)注他們的上課表現(xiàn).

【設(shè)計(jì)意圖】通過反思以上幾個問題，使學(xué)生對本節(jié)課主要內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的機(jī)會，使學(xué)生通過實(shí)質(zhì)性數(shù)學(xué)思考理解概念、掌握性質(zhì)，在培養(yǎng)學(xué)生思維能力（特別是邏輯思維能力）上的作用也得到了充分發(fā)揮.

5.作業(yè)

教材習(xí)題23.1第1題，第4題.

五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)

1.如圖9為一塊等腰直角三角板ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，指出△ABC的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

圖9

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生是否能從實(shí)例中正確得出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

2.如圖10，它可以看作是由一個菱形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度后，順次按這個角度同向旋轉(zhuǎn)而得的.

圖10

（1）試在圖中用字母O標(biāo)注出這一點(diǎn)；

（2）每次旋轉(zhuǎn)的角度為_____；

（3）一共旋轉(zhuǎn)的次數(shù)為_____.

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生是否能在幾何圖形中正確得出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

3.如圖11，△ABC是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，連接AD，把△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°.畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并指出旋轉(zhuǎn)角.

圖11

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的理解和運(yùn)用.

六、教學(xué)反思

第一，問題的設(shè)計(jì)啟發(fā)學(xué)生思考，在面對一個新的概念時，應(yīng)該研究什么？

在研究概念時，教師沒有直接強(qiáng)調(diào)三要素，而是通過設(shè)計(jì)畫圖活動，讓學(xué)生自己去感悟出三要素缺一不可.

在研究性質(zhì)時，教師沒有直接指向結(jié)論，沒有直接提問OA與OA′是否相等，而是放手讓學(xué)生去研究，出現(xiàn)了許多課堂生成性的結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生由繁雜無序的許多性質(zhì)，回歸到最基本的“點(diǎn)”的性質(zhì).同時，也體現(xiàn)了對一個新事物由混沌到清晰的認(rèn)識過程.教師尊重學(xué)生，提升學(xué)生敢于提出問題的意識，從細(xì)節(jié)去培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

第二，通過讓學(xué)生親自摸索和探究性質(zhì)，讓學(xué)生去體會研究一個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)時，使用的一般性的研究方法和角度.

本節(jié)課對性質(zhì)的研究是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在這里教師引導(dǎo)了三點(diǎn)：一是研究性質(zhì)是基于概念，可利用概念中的核心要素來研究；二是研究性質(zhì)就是去尋找圖形變化當(dāng)中的不變性；三是研究角度既要有宏觀上的整體把握，如形狀大小方面的全等，又要有微觀的，如我們可以先從一個點(diǎn)出發(fā)來研究一個復(fù)雜的圖形.“宏觀觀念”教學(xué)在課堂中是必不可少的，不能總低頭走路，一定要抬頭看路、認(rèn)路.

第三，通過評價的多元化，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

對學(xué)生的縱向評價，不但要關(guān)注學(xué)生的內(nèi)容掌握情況，而且還要關(guān)注學(xué)生的上課表現(xiàn).如何讓學(xué)生在自己的最近發(fā)展區(qū)得到最大發(fā)展，也要依靠評價的多元化.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.