一道全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題的多角度探究

江西省石城縣壩口中小學(xué) (342701)

黃愛(ài)平

2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試B卷第三題是一道平面幾何題，題目為：

圖1

命題者提供的參考答案是通過(guò)證兩次四點(diǎn)共圓，然后由三角形相似得出AD·AF的值.筆者通過(guò)對(duì)D點(diǎn)在直線BC上的不同位置的探究，得到其一般性結(jié)論.

現(xiàn)將探究過(guò)程展示如下，供參考.

1.當(dāng)點(diǎn)D位于線段BC中點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖2.

圖2

2．當(dāng)點(diǎn)D位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3.

圖3

3．當(dāng)點(diǎn)D位于BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4.

圖4

綜上，我們得到試題的一般性結(jié)論，即定理：

在ΔABC中，AB=AC，D為直線BC(除線段BC中點(diǎn))上任一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，EB的連線交AD于點(diǎn)F,則AD·AF=AB2.