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    2016年阿塞拜疆奧賽試題的下界估計(jì)與推廣

    2018-05-07 08:01:26安徽省滁州中學(xué)239000
    關(guān)鍵詞:奧賽下界正數(shù)

    安徽省滁州中學(xué) (239000)

    王瀟軒

    文[1]中兩位老師給出該試題的證明,在微博上,安振平老師提出類似問題:

    本文首先給出式(1)的下界,再將式(1)(2)作統(tǒng)一推廣.

    定理1 已知a,b,c是滿足ab+bc+ca=3的正數(shù),則

    證明:式(3)等價(jià)于128+16(a+b)2+16(b+c)2+16(c+a)2-(a+b)2(b+c)2(c+a)2>0,

    只需證明16[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]-(a+b)2(b+c)2(c+a)2>0,

    易證(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2>(a+b+c)2,從而只需證16(a+b+c)2-(a+b)2(b+c)2(c+a)2>0,等價(jià)于證明4(a+b+c)-(a+b)(b+c)(c+a)>0,齊次化得

    4(a+b+c)(ab+bc+ca)-3(a+b)(b+c)(c+a)>0,

    等價(jià)于證明ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+6abc>0,此為顯然.

    定理2 已知a,b,c是滿足ab+bc+ca=3的正數(shù),λ≥2,則

    只需證明

    等價(jià)于證明(4+λ)(a+b+c)2≥3[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2+λ(ab+bc+ca)],

    整理后知,上式等價(jià)于證明(λ-2)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)≥0,結(jié)論顯然成立.

    [1]李加軍,王永昌.賞析幾道2016年數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2016,10:48-50.

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