若干2017年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的精彩證明

南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047)

陳一君

本文旨在給出幾道2017年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中的不等式題的精彩證明.

例1 (2017年希臘數(shù)學(xué)奧林匹克)

已知a,b,c是正數(shù)，求證：

要證原不等式，只要證4(a+b+c)2≥3(a2+b2+c2+3ab+3bc+3ca)?a2+b2+c2≥ab+bc+ca,最后這一不等式顯然成立，故原不等式成立.

注1：柯西不等式是最常用的基本不等式.

例2 (2017年印度數(shù)學(xué)奧林匹克)

已知x,y,z是兩兩不同的非負(fù)數(shù)，求證：

注2：排序是證明不等式的基本思想.條件的增設(shè)大大地加快了放縮的進(jìn)程.

例3 (2017年越南數(shù)學(xué)奧林匹克)

推而廣之，我們有

已知a,b,c是滿足a+b+c=1的正數(shù)，n是正整數(shù)，求證：

注3：減元是數(shù)學(xué)推理中的高境界.上述證明舉重若輕：將三元不等式的證明化歸為一元不等式來(lái)處理.

例4 (2017年印度數(shù)學(xué)奧林匹克)

由ak+1≥1,S≥k知最后這一不等式成立.

這表明n=k+1時(shí)原不等式亦成立.所以對(duì)任意正整數(shù)n，原不等式都成立.

注4：數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是遞推:無(wú)窮的歸納轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢薜难堇[.

例5 (2017年印度數(shù)學(xué)奧林匹克)

注5：本題的證明與眾不同，當(dāng)悉心體會(huì).

例6 (2017年韓國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克)

已知f:Z→R是一個(gè)滿足下列條件的函數(shù)：不等式f(x)+f(y)+f(z)≥0對(duì)于所有滿足x+y+z=0的整數(shù)x,y,z都成立，求證：f(-2017)+f(-2016)+f(-2015)+…+f(2015)+f(2016)+f(2017)≥0.

證明：令2017=6k+1，則將f(±(2k-0))+f(±(4k+1))+f(?(6k+1))≥0，f(±(2k-2))+f(±(4k+2))+f(?(6k+0))≥0，f(±(2k-4))+f(±(4k+3))+f(?(6k+1))≥0，…，

f(±2)+f(±5k)+f(?(5k+2))≥0，和f(±(2k-1))+f(±(2k+1))+f(?(4k-0))≥0,

f(±(2k-3))+f(±(2k+2))+f(?(4k-1))≥0,f(±(2k-5))+f(±(2k+3))+f(?(4k-2))≥0，…，f(±1)+f(±3k)+f(?(3k+1))≥0，和f(5k+1)+f(0)+f(-5k-1)≥0，相加，便知原不等式成立.

注6：代數(shù)思想就是運(yùn)用字母來(lái)代替具體數(shù)值進(jìn)行思考的思維形式.本題證明是這個(gè)思想運(yùn)用的一個(gè)完美范例.