對一道解析幾何競賽題的拓展研究

江蘇省蘇州第十中學(xué) (215006)

陸 崢

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若k1+k2=0，求實(shí)數(shù)k的值.

這是2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題，筆者研究發(fā)現(xiàn)，此題內(nèi)涵豐富，對于問(2)，從特殊到一般，從之和到之積，從橢圓到雙曲線拋物線等諸多方面都可引申拓展，并且所得結(jié)論非常優(yōu)美，現(xiàn)整理如下，供同行參考.

將問題一般化，可得如下命題：

注：上述證明過程中，假設(shè)直線方程為x=ty+c,在應(yīng)用韋達(dá)定理過程中將x-c換成ty，使得運(yùn)算量大大減少.

受解題一般化方法引導(dǎo)，將橢圓上點(diǎn)P再一般化，有

證明與命題1類似，從略.將斜率之和為0變?yōu)橐话愕某?shù)λ，則有

將命題3中的b2換為-b2，則得

命題3、4、5，可統(tǒng)一為如下定理：

考慮到將條件中斜率之和改為之積，通過探究，得

注意到拋物線的離心率為1，于是上面的命題6、7、8有可統(tǒng)一為如下定理：