基于響應(yīng)曲面法優(yōu)化永磁輪轂電機(jī)輔助槽尺寸的研究

李化影，李明明，遲長(zhǎng)春，劉紅松，籍海亮

(上海電機(jī)學(xué)院，上海 200240)

0 引 言

永磁輪轂電機(jī)由于定子齒槽的存在，導(dǎo)致氣隙不均勻分布，氣隙磁場(chǎng)隨轉(zhuǎn)子變化會(huì)引起電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩[1]。在永磁電機(jī)低速輕載運(yùn)行時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩較為明顯，影響著電機(jī)的運(yùn)行穩(wěn)定性和性能；在永磁電機(jī)變速行駛時(shí)，當(dāng)定轉(zhuǎn)子的機(jī)械共振頻率與轉(zhuǎn)矩的脈動(dòng)頻率一致時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的噪聲及振動(dòng)將被放大[2]。因此，在永磁輪轂電機(jī)的設(shè)計(jì)中，必須削弱電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。

目前，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱進(jìn)行了大量的研究，并取得了一定的研究成果。齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱方法主要有斜槽、采用不等寬槽口、定子開(kāi)輔助凹槽及極槽配合等；斜槽法在實(shí)際工程應(yīng)用中，增加了電機(jī)的加工制造難度，同時(shí)是以犧牲電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩為代價(jià)，實(shí)際很少使用；不等槽口寬法，槽口寬度的確定受導(dǎo)線線徑、嵌線方式等因素影響，很難做到結(jié)構(gòu)上槽口寬度的合理性；極槽配合法很難保證理論與實(shí)際極槽數(shù)相符合，且機(jī)械加工受很多實(shí)際因素的影響；而定子齒開(kāi)輔助凹槽由于增加了永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的基波周期數(shù)，對(duì)原槽口的齒槽轉(zhuǎn)矩起抵制作用[3]，只需改變定子齒的形狀，就可以削弱永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單可靠。因而，定子齒開(kāi)輔助凹槽是抑制電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩較為可行的方法。文獻(xiàn)[4-6]中分析了輔助槽槽型、尺寸及輔助槽個(gè)數(shù)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，并由分析結(jié)果可知輔助凹槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱是有條件的，合適的輔助槽尺寸和個(gè)數(shù)可以有效地降低電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，反之會(huì)增大原來(lái)電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，且定子齒開(kāi)矩形輔助槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制效果最佳。文獻(xiàn)[7]分析了對(duì)于單元電機(jī)槽數(shù)Z0為奇數(shù)的電機(jī)，輔助凹槽數(shù)Nn=2時(shí)，可明顯削弱電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。

本文以54槽48極永磁無(wú)刷輪轂電機(jī)為例，所設(shè)計(jì)的單元電機(jī)模型Z0=9為奇數(shù)，由文獻(xiàn)[7]知，開(kāi)兩個(gè)輔助凹槽可以顯著減少電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，開(kāi)一個(gè)或開(kāi)3個(gè)輔助槽反而增大原來(lái)電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，故本文研究考慮開(kāi)2個(gè)輔助凹槽時(shí)槽寬、槽深和槽中心線夾角對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。

由于目前一些參考文獻(xiàn)對(duì)于開(kāi)輔助槽尺寸的選取，一般通過(guò)有限元法對(duì)輔助槽尺寸進(jìn)行參數(shù)化仿真，通過(guò)齒槽轉(zhuǎn)矩峰峰值的對(duì)比分析，再選取合適的輔助槽尺寸，此法對(duì)電腦運(yùn)行速度要求高,計(jì)算精度難以保證，且很難保證同時(shí)運(yùn)行時(shí)得到多變量之間的關(guān)系。本文提出了采用響應(yīng)曲面法對(duì)輔助槽的槽寬b、槽深h及槽中心線夾角β尺寸進(jìn)行最優(yōu)化分析，運(yùn)用Design-Expert軟件對(duì)輔助槽尺寸三自變量值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，進(jìn)而得到最優(yōu)輔助槽尺寸。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩的原理分析

齒槽轉(zhuǎn)矩是當(dāng)電機(jī)沒(méi)通電時(shí)磁場(chǎng)能量W相對(duì)于位置角的α的負(fù)導(dǎo)數(shù)[8]，即：

(1)

在分析表貼式永磁無(wú)刷輪轂電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)，通常認(rèn)為定子鐵心的磁導(dǎo)率無(wú)窮大，即μFe=，同一型號(hào)電機(jī)中永磁體的尺寸大小相同、性能參數(shù)相同，形狀分布均勻；且永磁體的磁導(dǎo)率與空氣相同。

式(1)中α為某一指定的齒中心線和永磁體磁極中心線的夾角，即定轉(zhuǎn)子之間的相對(duì)位置角，其中θ=0在永磁體磁極的中心線上位置[9]。如圖1所示。

圖1 永磁體與電樞的相對(duì)位置圖

假設(shè)電機(jī)內(nèi)部存儲(chǔ)能量近似為電機(jī)氣隙與永磁體中的磁場(chǎng)能量[10]，即：

(2)

磁場(chǎng)能量W的大小與電機(jī)定轉(zhuǎn)子相對(duì)位置、結(jié)構(gòu)尺寸、及永磁體的性能緊密相關(guān)[11]。氣隙磁密B與相對(duì)位置角α之間的關(guān)系近似表示：

(3)

式中：Br(θ)，hm(θ)，δ(θ,α)分別為永磁體剩磁、永磁體沿充磁方向長(zhǎng)度、氣隙有效長(zhǎng)度。式(2)可表示：

(4)

(5)

2 有限元設(shè)計(jì)

2.1 電機(jī)模型

本文借助Ansoft有限元仿真軟件對(duì)54槽48極電機(jī)進(jìn)行建模分析，電機(jī)的主要參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)主要參數(shù)

為了便于分析，提高運(yùn)算速度，取電機(jī)的1/6模型進(jìn)行仿真。電機(jī)的分析模型如圖2所示。

圖2 輪轂電機(jī)的1/6模型圖

2.2 定子齒開(kāi)槽法

本文采用在定子齒開(kāi)兩個(gè)輔助矩形凹槽來(lái)分析齒槽轉(zhuǎn)矩，其中b為輔助槽槽口寬，h為輔助槽槽深，β為兩相鄰輔助凹槽的中心線夾角。為避免不恰當(dāng)?shù)拈_(kāi)輔助槽引進(jìn)新的諧波，本文所開(kāi)輔助凹槽均沿定子齒中心線嚴(yán)格對(duì)稱。

(a) 輔助槽口寬和槽口深

(b) 輔助槽中心線夾角

3 響應(yīng)曲面法優(yōu)化輔助凹槽尺寸

響應(yīng)曲面法(RSM)是近年來(lái)優(yōu)化永磁電機(jī)的一種方法，它是在合理試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)上得到的一組數(shù)據(jù)，采用多元二次回歸方程擬合因素與響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)回歸方程的分析來(lái)尋求最優(yōu)工藝參數(shù)，解決多變量問(wèn)題的一種統(tǒng)計(jì)方法[12]。即將體系的響應(yīng)作為一個(gè)或多個(gè)因素函數(shù)的一種最優(yōu)化方法，因素個(gè)數(shù)一般不超過(guò)4個(gè)，且因素均為計(jì)量值數(shù)據(jù)。

研究表明輔助槽尺寸的選取對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制有著很大的影響，合理的輔助槽尺寸可以有效地削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。本文避免了采用常規(guī)有限元法仿真尋求輔助槽尺寸，而是通過(guò)響應(yīng)曲面法對(duì)輔助槽的槽寬b、槽深h及槽中心線夾角β尺寸進(jìn)行最優(yōu)求解，進(jìn)而得到最優(yōu)輔助槽尺寸。

響應(yīng)曲面法設(shè)計(jì)方法有很多，最常用的方法是BBD和CCDs法[13]。本文的輪轂電機(jī)，由于非線性因素的影響，自變量和響應(yīng)之間的關(guān)系是未知的，且自變量之間是交互的，故采用二階響應(yīng)模型去求得合適的響應(yīng)擬函數(shù)。本文采用BBD法，借助Design-Expert軟件對(duì)輔助槽的槽寬b、槽深h及槽中心線夾角β三自變量進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，尋求最優(yōu)輔助凹槽尺寸。

本文永磁輪轂電機(jī)的響應(yīng)曲面模型考慮了交互效應(yīng)和二次效應(yīng)，且試驗(yàn)區(qū)域接近響應(yīng)面的最優(yōu)區(qū)域，故采用二階模型去逼近：

(6)

式中：βi為xi的線性效應(yīng)；βii為xi二次效應(yīng)；βij為xixj之間的交互效應(yīng)。

本文自變量的取值范圍：1≤b≤3,0.2≤h≤1.5,1.5≤β≤3。

三自變量用x1，x2，x3來(lái)表示，其中thet即為β，齒槽轉(zhuǎn)矩用y表示，利用Design-Expert軟件設(shè)計(jì)求得二階回歸方程：

y=+10.511 20-0.311 94x1-

2.526 95x2-6.026 16x3-0.193 69x1x2+

0.140 47x1x3-0.795 44x2x3+

(7)

由二階回歸模型方程求解分析，如圖4與圖5所示。

圖4 二階回歸模型的Rankit圖

圖5 回歸模型方程曲線

由圖4可以看出，順序殘差與期望值之間的關(guān)系接近線性關(guān)系，由此可知永磁輪轂電機(jī)的回歸模型是合適有效的。同時(shí)由圖5可知，輔助槽寬的尺寸對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的作用最不顯著，變化極為平緩，而輔助槽深對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的變異度最大，槽中心線夾角類似，故可以通過(guò)改變槽深和槽中心夾角使齒槽轉(zhuǎn)矩發(fā)生顯著的變化。

同時(shí)可得到三變量之間的交互作用三維圖，將其中一個(gè)自變量固定不變，得到另外兩個(gè)自變量的交互作用對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響曲面三維圖，如圖6～圖8所示。

(a) 等高線圖

(b) 三維響應(yīng)圖

(a) 等高線圖

(b) 三維響應(yīng)圖

(a) 等高線圖

(b) 三維響應(yīng)圖

由圖6～圖8可知，輔助槽槽寬對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的變異影響較小，而槽深和槽中心線夾角對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的變異影響較為顯著，驗(yàn)證了永磁輪轂電機(jī)回歸模型的合理性，同時(shí)也反映了輔助凹槽尺寸合理性程度。

利用Design-Expert軟件對(duì)二階回歸模型分析求解得響應(yīng)曲面優(yōu)化的最優(yōu)輔助槽尺寸為(x1,x2,x3)=(1.58,0.87,2.35)，響應(yīng)函數(shù)的齒槽轉(zhuǎn)矩為y=2.217 35 N·m。

對(duì)響應(yīng)曲面法求得最優(yōu)解b=1.58 mm,h=0.87 mm,β=2.35°，進(jìn)行有限元仿真如圖9所示。

圖9 齒槽轉(zhuǎn)矩的仿真結(jié)果圖

有限元仿真得到齒槽轉(zhuǎn)矩隨著不同輔助槽尺寸的變化曲線如圖10所示。

由圖10可知，輔助槽尺寸對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的變化趨勢(shì)。齒槽轉(zhuǎn)矩隨著輔助槽寬的增大而呈拋物線形式變化，在輔助槽深為0.9 mm和槽中心夾角為2.5°時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩最小。與響應(yīng)曲面法求得結(jié)果類似，驗(yàn)證了該方法的正確性。

(a) 不同輔助槽寬時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩

(b) 不同輔助槽深時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩

(c) 不同輔助槽中心線夾角時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩

如圖11所示，開(kāi)2個(gè)輔助槽有效地減少了輪轂電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，且優(yōu)化前后輔助槽的齒槽轉(zhuǎn)矩峰峰值由4.009 1 N·m下降到2.159 4 N·m，齒槽轉(zhuǎn)矩下降了46%。通過(guò)有限元仿真結(jié)果與響應(yīng)曲面優(yōu)化后的結(jié)果對(duì)比可知，永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的峰峰值大小基本一致，驗(yàn)證了該方法的有效性。

圖11 輔助槽優(yōu)化前后的齒槽轉(zhuǎn)矩波形圖

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)永磁無(wú)刷輪轂電機(jī)開(kāi)輔助槽時(shí)，輔助槽尺寸選取的問(wèn)題，提出了采用響應(yīng)曲面法優(yōu)化輔助槽尺寸的新方法，新方法簡(jiǎn)單有效，運(yùn)算精度高，能同時(shí)保證多變量之間的運(yùn)行關(guān)系，且適用性強(qiáng)。通過(guò)比較有限元仿真結(jié)果與響應(yīng)曲面優(yōu)化結(jié)果，齒槽轉(zhuǎn)矩的峰峰值基本一致，有效地驗(yàn)證了響應(yīng)曲面法優(yōu)化永磁輪轂電機(jī)輔助槽尺寸的可靠性和優(yōu)越性。且從齒槽轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果圖和優(yōu)化前后的齒槽轉(zhuǎn)矩波形圖可知開(kāi)兩個(gè)輔助槽有效地減少了輪轂電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，且優(yōu)化前后輔助槽的齒槽轉(zhuǎn)矩峰峰值下降了46%。

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