永磁同步電動(dòng)機(jī)電流環(huán)分?jǐn)?shù)階滑?？刂蒲芯?/h1>
2018-04-27 05:05:52錢(qián)春貴左付山
微特電機(jī) 2018年2期
錢(qián)春貴，左付山
(1.揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，揚(yáng)州 225000; 2.南京林業(yè)大學(xué)，南京 210037)
0 引 言
永磁同步電動(dòng)機(jī)是一種強(qiáng)耦合、非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的PI控制精度不高，對(duì)于電機(jī)內(nèi)外部參數(shù)擾動(dòng)的魯棒性不強(qiáng)。滑模控制器可以較好地克服以上不足，但滑模的抗干擾能力是通過(guò)切換項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的[1]，大的切換增益可以加快滑模的運(yùn)動(dòng)速度，但是到達(dá)切換面時(shí)系統(tǒng)的抖振會(huì)加?。恍〉那袚Q增益引起的抖振小，但是響應(yīng)的速度較慢。由于抖振問(wèn)題的存在，滑模控制的應(yīng)用受到了限制。
為了降低滑模控制的抖振現(xiàn)象，許多學(xué)者做了相關(guān)研究，例如SLOTINE J J等引入了“準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)”和“邊界層”的概念，用飽和函數(shù)代替切換函數(shù)，有效地消減了系統(tǒng)抖振。CHUNG S CY 采用Sigmoid連續(xù)函數(shù)代替切換函數(shù)來(lái)降低抖振。針對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)的電流環(huán)，金寧治等人提出了利用交直軸電流的積分滑模面函數(shù)作為調(diào)度變量，在允許邊界范圍內(nèi)對(duì)切換增益系數(shù)進(jìn)行調(diào)度,有效地消弱了系統(tǒng)的抖振[2]。張碧陶、皮佑國(guó)等人針對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)速度環(huán)控制[3]提出了分?jǐn)?shù)階切換滑模面結(jié)合模糊推理算法實(shí)現(xiàn)了軟開(kāi)關(guān)切換增益的自整定，有效地降低了系統(tǒng)的抖振。宋申民、鄧立為等人提出了分?jǐn)?shù)階等速趨近律，并將其用在了航天器姿態(tài)調(diào)整中，取得了較好的控制效果[4]。陳寧、顧文軍等人提出了分?jǐn)?shù)階變階次指數(shù)滑模趨近律，將其成功應(yīng)用于Lorenz混沌同步控制中[5]。本文受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，提出了分?jǐn)?shù)階變階次等速滑模趨近律，并將其用于永磁同步電動(dòng)機(jī)的電流環(huán)，利用分?jǐn)?shù)階微分方程對(duì)等速趨近律增益系數(shù)進(jìn)行“放大”和“縮小”，遠(yuǎn)離滑模面時(shí)對(duì)趨近律增益進(jìn)行放大以加快響應(yīng)速度，靠近滑模面時(shí)對(duì)趨近律增益進(jìn)行縮小從而對(duì)滑模中的抖振進(jìn)行抑制，同時(shí)還保持了傳統(tǒng)等速趨近律滑模的控制效果。
1 分?jǐn)?shù)階理論
1.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義
在1695年LEIBNIZ G W和HOSPITAL L討論了1/2階導(dǎo)數(shù)與微分的問(wèn)題[6]，發(fā)展到今天分?jǐn)?shù)階理論已經(jīng)被廣泛用于科學(xué)各領(lǐng)域[7]。
分?jǐn)?shù)階微積分可以看作整數(shù)階微積分運(yùn)算的一種拓展，有多種定義方法：Grunwald-Letnikov,Riemann-Liouviue,Caputo等。以Caputo型微積分為例，其定義如下[8]：
Caputo微分定義：
Caputo積分定義：
可以證明，對(duì)于很廣的一類(lèi)函數(shù)來(lái)講，Grunwald-Letnikov定義和Riemann-Liouville定義是完全等效的。Caputo定義更加適合于分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題描述，同時(shí)它對(duì)常數(shù)的求導(dǎo)是有界的。
1.2 分?jǐn)?shù)階微積分濾波算法
根據(jù)介紹的分?jǐn)?shù)階微積分的各種定義，需要函數(shù)f(t)為已知函數(shù)，但在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)內(nèi)部的解析表達(dá)式通常是不知道的，所以一般轉(zhuǎn)換為其他方式來(lái)求解分?jǐn)?shù)階微積分的值，例如通過(guò)構(gòu)造濾波器的方式來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)值微分，文獻(xiàn)[9]中列舉了多種連續(xù)濾波器的實(shí)現(xiàn)方法，本文選用其中的Oustaloup算法[10]。
2 永磁同步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型
永磁同步電動(dòng)機(jī)在d-q坐標(biāo)系下的定子電壓方程：
式中：ud,uq為d,q軸定子電壓；id,iq為定子d,q軸電流；R為定子相繞組電阻；Ld,Lq為d,q軸電感；ωe為轉(zhuǎn)子的電角速度；ψf為永磁體磁鏈。
電磁轉(zhuǎn)矩方程：
式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；p為電機(jī)的極對(duì)數(shù)。
運(yùn)動(dòng)方程：
式中：J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωm為轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度；ωe=pωm；B為摩擦系數(shù)；TL為電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。
3 電流控制器設(shè)計(jì)
令ed=idr-id，eq=iqr-iq，建立d,q軸的電流誤差狀態(tài)方程[11]。
(1)
考慮到電機(jī)電阻、電感、磁鏈等參數(shù)變化對(duì)電流環(huán)控制系統(tǒng)的影響，選取積分滑模面：
(2)
式中：sd，sq為d，q軸滑模面，c1，c2為大于0的實(shí)數(shù)。
趨近律方法可以有效改善滑模運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，常用的趨近律有冪次趨近律、等速趨近律、指數(shù)趨近律等。與其他形式的趨近律相比，等速趨近律具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、更加容易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)[12]，所以本文以等速趨近律為基礎(chǔ)，將其改造為分?jǐn)?shù)階等速趨近律。
對(duì)于d，q軸電流控制系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階等速趨近律表示:
(3)
與傳統(tǒng)的等速趨近律相比，分?jǐn)?shù)階等速趨近律在原有基礎(chǔ)上多了一個(gè)可調(diào)參數(shù)α，這樣可以改變系統(tǒng)到達(dá)滑模面的速度，從而改變系統(tǒng)的抖振。
對(duì)式(3)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得:
(4)
利用Oustaloup濾波器方法進(jìn)行分?jǐn)?shù)階求解α分別為0.85和1.05時(shí)D1-αsgn(s)的值，結(jié)果如圖1所示。
圖1 sgn(s)函數(shù)的D1-0.85，D1-1.05次導(dǎo)數(shù)的值
隨著時(shí)間t的變化，滑模面s在一定的范圍內(nèi)變化，根據(jù)符號(hào)函數(shù)sgn(s)的定義：s>0時(shí)，sgn(s)=1；s<0時(shí)，sgn(s)=-1；s=0時(shí)，sgn(s)=0。所以隨著時(shí)間t的變化sgn(s)的值始終在-1，0，1之間進(jìn)行變化。當(dāng)α=0.85時(shí)，D1-0.85sgn(s)的值如圖1中點(diǎn)劃線所示，此時(shí)分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)后存在|D1-0.85sgn(s)|﹥|sgn(s)|，起到了“放大”作用；當(dāng)α=1.05時(shí)，D1-1.05sgn(s)的值如圖1中虛線所示,此時(shí)分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)以后存在|D1-1.05sgn(s)|﹤|sgn(s)|，起到了“縮小”增益系數(shù)的作用。此外可以發(fā)現(xiàn)sgn(s)，D1-0.85sgn(s)，D1-1.05sgn(s)三者的符號(hào)是一致的，可以證明存在如下等式[13]：
sgn[Dγsgn(s)]=sgn(s),-1<γ<1
由上式可得：
D1-αsgn(s)=|D1-αsgn(s)|sgn(s) 0<α<2
在等速滑?？刂浦?，當(dāng)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)我們希望趨近滑模面的速度快一些，即增益ε1，ε2大一些；當(dāng)接近滑模面時(shí)，希望趨近的速度慢一些，即增益ε1，ε2小一些，以便盡量減小系統(tǒng)抖振。利用分?jǐn)?shù)階等速趨近律ε1D1-αsgn(s)，ε2D1-αsgn(s)，可以通過(guò)控制分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階次α隨著滑模面s值的變化進(jìn)行變化，從而對(duì)增益ε1，ε2進(jìn)行“放大”和“縮小”，以滿足遠(yuǎn)離滑模面時(shí)加快趨近速度，靠近滑模面時(shí)降低速度減小抖振的要求。
將d1，d2作為擾動(dòng)，同時(shí)滿足|d1|≤d1max，|d2|≤d2max，根據(jù)式(1)、式(2)、式(4)可得電流控制律:
選擇Lyapunov函數(shù)：
則存在：
根據(jù)Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)，當(dāng)ε1|D1-α·sgn(sd)|-d1﹥0，ε2|D1-αsgn(sq)|-d2﹥0時(shí)可以滿足滑模存在性和可達(dá)性條件。
4 仿真分析
本文以表貼式永磁同步電動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，采用id=0控制策略，在MATLAB/Simulink環(huán)境下建立了永磁同步電動(dòng)機(jī)矢量控制模型，并進(jìn)行了仿真研究，其具體結(jié)構(gòu)如圖2所示，外環(huán)速度環(huán)采用傳統(tǒng)的PI控制器，內(nèi)環(huán)電流環(huán)換成了變階次分?jǐn)?shù)階滑模控制器。
圖2 伺服系統(tǒng)仿真平臺(tái)
經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，本文以滑模面s的絕對(duì)值作為分?jǐn)?shù)階等速趨近律階次切換的判斷依據(jù)，當(dāng)滑模面s的絕對(duì)值接近穩(wěn)定狀態(tài)0時(shí)，分?jǐn)?shù)階的階次α取1.05，反之分?jǐn)?shù)階的階次α取0.85。
永磁同步電動(dòng)機(jī)的主要參數(shù)[14]：功率為1.1 kW，額定電壓為220 V，額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，額定扭矩為3.5 N·m，相電阻為2.875 Ω，d,q軸電感為0.008 5 H，永磁體磁鏈為0.175 Wb，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.008 kg·m2，極對(duì)數(shù)為4。
控制參數(shù)如下：速度環(huán)比例、積分系數(shù)分別為0.023，0.25。電流環(huán)d,q軸等速趨近律增益系數(shù)分別為1，23 529，滑模面積分系數(shù)均為3.5。
考慮到電機(jī)轉(zhuǎn)速在基速以上時(shí)涉及到弱磁控制，本文目前只討論目標(biāo)轉(zhuǎn)速在基速以下時(shí)電流環(huán)的跟蹤效果和電機(jī)的轉(zhuǎn)矩輸出情況。電機(jī)的初始負(fù)載設(shè)定為1 N·m，目標(biāo)轉(zhuǎn)速設(shè)定為1 000 r/min，在t=0.5 s時(shí)突加負(fù)載至2 N·m，目標(biāo)轉(zhuǎn)速始終保持在1 000 r/min。
圖3為電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖，圖中實(shí)線為傳統(tǒng)等速趨近律控制，點(diǎn)橫線為變階次分?jǐn)?shù)階等速趨近律控制。從仿真結(jié)果來(lái)看，初始時(shí)刻快接近穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，兩者的差值始終在±1 r/min內(nèi)，0.5 s時(shí)刻突加負(fù)載時(shí)，兩者的誤差始終在±0.8 r/min內(nèi)，所以變階次分?jǐn)?shù)階等速滑模基本保留了傳統(tǒng)等速滑模的控制效果。
圖3 永磁同步電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖
圖4是圖3相對(duì)應(yīng)的電流狀態(tài)收斂軌跡。圖中橫坐標(biāo)為切換面s，縱坐標(biāo)為切換面變化率ds。圖中實(shí)線部分為傳統(tǒng)整數(shù)階等速趨近律滑模控制電流收斂軌跡，點(diǎn)橫線為變階次分?jǐn)?shù)階等速趨近律電流環(huán)誤差收斂軌跡。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分?jǐn)?shù)階的抖振幅值分為兩個(gè)部分，為了保證系統(tǒng)的快速響應(yīng)能力，在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)采用的分?jǐn)?shù)階的階次α=0.85，此時(shí)的抖振如圖4所示，其幅值大于整數(shù)階等速趨近律幅值；當(dāng)靠近滑模面時(shí)采用的分?jǐn)?shù)階的階次α=1.05，系統(tǒng)最終達(dá)到平衡狀態(tài)，穩(wěn)定在這個(gè)幅值，此時(shí)的抖振幅值是低于整數(shù)階抖振的幅值，降幅達(dá)到了28.7%，實(shí)現(xiàn)了降低電流環(huán)抖振幅值的目的。
圖4 兩種滑?？刂葡到y(tǒng)電流收斂軌跡
圖5是圖3相對(duì)應(yīng)的永磁同步電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)圖，虛線為傳統(tǒng)整數(shù)階等速趨近律，實(shí)線為分?jǐn)?shù)階轉(zhuǎn)矩響應(yīng)。在0.5 s時(shí)負(fù)載由1 N ·m增加至2 N ·m。從圖5中可以看出，變階次分?jǐn)?shù)階等速趨近律轉(zhuǎn)矩輸出的脈動(dòng)程度低于整數(shù)階等速趨近律，平均降幅可達(dá)到5.3%，進(jìn)一步證明了變階次滑模在降低電流環(huán)抖振方面的作用。
圖5 電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)軌跡
5 結(jié) 語(yǔ)
本文針對(duì)等速趨近律滑模變結(jié)構(gòu)在永磁同步電動(dòng)機(jī)電流環(huán)控制中的抖振現(xiàn)象，提出了一種變階次分?jǐn)?shù)階等速滑?？刂?，利用分?jǐn)?shù)階微分方程對(duì)等速趨近律增益系數(shù)進(jìn)行“放大”和“縮小”，遠(yuǎn)離滑模面時(shí)對(duì)趨近律增益進(jìn)行放大以加快響應(yīng)速度，靠近滑模面時(shí)對(duì)趨近律增益進(jìn)行縮小以抑制抖振。在Simulink環(huán)境下建立了矢量控制模型進(jìn)行仿真研究，在基速以下進(jìn)行了仿真研究。仿真結(jié)果表明，本文的控制方法在保留傳統(tǒng)方法控制效果的同時(shí)，在一定程度上減小電流環(huán)的抖振幅值，降低電機(jī)轉(zhuǎn)矩輸出脈動(dòng)的程度，達(dá)到了良好的控制效果。
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為了降低滑模控制的抖振現(xiàn)象，許多學(xué)者做了相關(guān)研究，例如SLOTINE J J等引入了“準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)”和“邊界層”的概念，用飽和函數(shù)代替切換函數(shù)，有效地消減了系統(tǒng)抖振。CHUNG S CY 采用Sigmoid連續(xù)函數(shù)代替切換函數(shù)來(lái)降低抖振。針對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)的電流環(huán)，金寧治等人提出了利用交直軸電流的積分滑模面函數(shù)作為調(diào)度變量，在允許邊界范圍內(nèi)對(duì)切換增益系數(shù)進(jìn)行調(diào)度,有效地消弱了系統(tǒng)的抖振[2]。張碧陶、皮佑國(guó)等人針對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)速度環(huán)控制[3]提出了分?jǐn)?shù)階切換滑模面結(jié)合模糊推理算法實(shí)現(xiàn)了軟開(kāi)關(guān)切換增益的自整定，有效地降低了系統(tǒng)的抖振。宋申民、鄧立為等人提出了分?jǐn)?shù)階等速趨近律，并將其用在了航天器姿態(tài)調(diào)整中，取得了較好的控制效果[4]。陳寧、顧文軍等人提出了分?jǐn)?shù)階變階次指數(shù)滑模趨近律，將其成功應(yīng)用于Lorenz混沌同步控制中[5]。本文受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，提出了分?jǐn)?shù)階變階次等速滑模趨近律，并將其用于永磁同步電動(dòng)機(jī)的電流環(huán)，利用分?jǐn)?shù)階微分方程對(duì)等速趨近律增益系數(shù)進(jìn)行“放大”和“縮小”，遠(yuǎn)離滑模面時(shí)對(duì)趨近律增益進(jìn)行放大以加快響應(yīng)速度，靠近滑模面時(shí)對(duì)趨近律增益進(jìn)行縮小從而對(duì)滑模中的抖振進(jìn)行抑制，同時(shí)還保持了傳統(tǒng)等速趨近律滑模的控制效果。
1 分?jǐn)?shù)階理論
1.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義
在1695年LEIBNIZ G W和HOSPITAL L討論了1/2階導(dǎo)數(shù)與微分的問(wèn)題[6]，發(fā)展到今天分?jǐn)?shù)階理論已經(jīng)被廣泛用于科學(xué)各領(lǐng)域[7]。
分?jǐn)?shù)階微積分可以看作整數(shù)階微積分運(yùn)算的一種拓展，有多種定義方法：Grunwald-Letnikov,Riemann-Liouviue,Caputo等。以Caputo型微積分為例，其定義如下[8]：
Caputo微分定義：
Caputo積分定義：
可以證明，對(duì)于很廣的一類(lèi)函數(shù)來(lái)講，Grunwald-Letnikov定義和Riemann-Liouville定義是完全等效的。Caputo定義更加適合于分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題描述，同時(shí)它對(duì)常數(shù)的求導(dǎo)是有界的。
1.2 分?jǐn)?shù)階微積分濾波算法
根據(jù)介紹的分?jǐn)?shù)階微積分的各種定義，需要函數(shù)f(t)為已知函數(shù)，但在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)內(nèi)部的解析表達(dá)式通常是不知道的，所以一般轉(zhuǎn)換為其他方式來(lái)求解分?jǐn)?shù)階微積分的值，例如通過(guò)構(gòu)造濾波器的方式來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)值微分，文獻(xiàn)[9]中列舉了多種連續(xù)濾波器的實(shí)現(xiàn)方法，本文選用其中的Oustaloup算法[10]。
2 永磁同步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型
永磁同步電動(dòng)機(jī)在d-q坐標(biāo)系下的定子電壓方程：
式中：ud,uq為d,q軸定子電壓；id,iq為定子d,q軸電流；R為定子相繞組電阻；Ld,Lq為d,q軸電感；ωe為轉(zhuǎn)子的電角速度；ψf為永磁體磁鏈。
電磁轉(zhuǎn)矩方程：
式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；p為電機(jī)的極對(duì)數(shù)。
運(yùn)動(dòng)方程：
式中：J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωm為轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度；ωe=pωm；B為摩擦系數(shù)；TL為電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。
3 電流控制器設(shè)計(jì)
令ed=idr-id，eq=iqr-iq，建立d,q軸的電流誤差狀態(tài)方程[11]。
(1)
考慮到電機(jī)電阻、電感、磁鏈等參數(shù)變化對(duì)電流環(huán)控制系統(tǒng)的影響，選取積分滑模面：
(2)
式中：sd，sq為d，q軸滑模面，c1，c2為大于0的實(shí)數(shù)。
趨近律方法可以有效改善滑模運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，常用的趨近律有冪次趨近律、等速趨近律、指數(shù)趨近律等。與其他形式的趨近律相比，等速趨近律具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、更加容易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)[12]，所以本文以等速趨近律為基礎(chǔ)，將其改造為分?jǐn)?shù)階等速趨近律。
對(duì)于d，q軸電流控制系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階等速趨近律表示:
(3)
與傳統(tǒng)的等速趨近律相比，分?jǐn)?shù)階等速趨近律在原有基礎(chǔ)上多了一個(gè)可調(diào)參數(shù)α，這樣可以改變系統(tǒng)到達(dá)滑模面的速度，從而改變系統(tǒng)的抖振。
對(duì)式(3)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得:
(4)
利用Oustaloup濾波器方法進(jìn)行分?jǐn)?shù)階求解α分別為0.85和1.05時(shí)D1-αsgn(s)的值，結(jié)果如圖1所示。
圖1 sgn(s)函數(shù)的D1-0.85，D1-1.05次導(dǎo)數(shù)的值
隨著時(shí)間t的變化，滑模面s在一定的范圍內(nèi)變化，根據(jù)符號(hào)函數(shù)sgn(s)的定義：s>0時(shí)，sgn(s)=1；s<0時(shí)，sgn(s)=-1；s=0時(shí)，sgn(s)=0。所以隨著時(shí)間t的變化sgn(s)的值始終在-1，0，1之間進(jìn)行變化。當(dāng)α=0.85時(shí)，D1-0.85sgn(s)的值如圖1中點(diǎn)劃線所示，此時(shí)分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)后存在|D1-0.85sgn(s)|﹥|sgn(s)|，起到了“放大”作用；當(dāng)α=1.05時(shí)，D1-1.05sgn(s)的值如圖1中虛線所示,此時(shí)分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)以后存在|D1-1.05sgn(s)|﹤|sgn(s)|，起到了“縮小”增益系數(shù)的作用。此外可以發(fā)現(xiàn)sgn(s)，D1-0.85sgn(s)，D1-1.05sgn(s)三者的符號(hào)是一致的，可以證明存在如下等式[13]：
sgn[Dγsgn(s)]=sgn(s),-1<γ<1
由上式可得：
D1-αsgn(s)=|D1-αsgn(s)|sgn(s) 0<α<2
在等速滑?？刂浦?，當(dāng)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)我們希望趨近滑模面的速度快一些，即增益ε1，ε2大一些；當(dāng)接近滑模面時(shí)，希望趨近的速度慢一些，即增益ε1，ε2小一些，以便盡量減小系統(tǒng)抖振。利用分?jǐn)?shù)階等速趨近律ε1D1-αsgn(s)，ε2D1-αsgn(s)，可以通過(guò)控制分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階次α隨著滑模面s值的變化進(jìn)行變化，從而對(duì)增益ε1，ε2進(jìn)行“放大”和“縮小”，以滿足遠(yuǎn)離滑模面時(shí)加快趨近速度，靠近滑模面時(shí)降低速度減小抖振的要求。
將d1，d2作為擾動(dòng)，同時(shí)滿足|d1|≤d1max，|d2|≤d2max，根據(jù)式(1)、式(2)、式(4)可得電流控制律:
選擇Lyapunov函數(shù)：
則存在：
根據(jù)Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)，當(dāng)ε1|D1-α·sgn(sd)|-d1﹥0，ε2|D1-αsgn(sq)|-d2﹥0時(shí)可以滿足滑模存在性和可達(dá)性條件。
4 仿真分析
本文以表貼式永磁同步電動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，采用id=0控制策略，在MATLAB/Simulink環(huán)境下建立了永磁同步電動(dòng)機(jī)矢量控制模型，并進(jìn)行了仿真研究，其具體結(jié)構(gòu)如圖2所示，外環(huán)速度環(huán)采用傳統(tǒng)的PI控制器，內(nèi)環(huán)電流環(huán)換成了變階次分?jǐn)?shù)階滑模控制器。
圖2 伺服系統(tǒng)仿真平臺(tái)
經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，本文以滑模面s的絕對(duì)值作為分?jǐn)?shù)階等速趨近律階次切換的判斷依據(jù)，當(dāng)滑模面s的絕對(duì)值接近穩(wěn)定狀態(tài)0時(shí)，分?jǐn)?shù)階的階次α取1.05，反之分?jǐn)?shù)階的階次α取0.85。
永磁同步電動(dòng)機(jī)的主要參數(shù)[14]：功率為1.1 kW，額定電壓為220 V，額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，額定扭矩為3.5 N·m，相電阻為2.875 Ω，d,q軸電感為0.008 5 H，永磁體磁鏈為0.175 Wb，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.008 kg·m2，極對(duì)數(shù)為4。
控制參數(shù)如下：速度環(huán)比例、積分系數(shù)分別為0.023，0.25。電流環(huán)d,q軸等速趨近律增益系數(shù)分別為1，23 529，滑模面積分系數(shù)均為3.5。
考慮到電機(jī)轉(zhuǎn)速在基速以上時(shí)涉及到弱磁控制，本文目前只討論目標(biāo)轉(zhuǎn)速在基速以下時(shí)電流環(huán)的跟蹤效果和電機(jī)的轉(zhuǎn)矩輸出情況。電機(jī)的初始負(fù)載設(shè)定為1 N·m，目標(biāo)轉(zhuǎn)速設(shè)定為1 000 r/min，在t=0.5 s時(shí)突加負(fù)載至2 N·m，目標(biāo)轉(zhuǎn)速始終保持在1 000 r/min。
圖3為電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖，圖中實(shí)線為傳統(tǒng)等速趨近律控制，點(diǎn)橫線為變階次分?jǐn)?shù)階等速趨近律控制。從仿真結(jié)果來(lái)看，初始時(shí)刻快接近穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，兩者的差值始終在±1 r/min內(nèi)，0.5 s時(shí)刻突加負(fù)載時(shí)，兩者的誤差始終在±0.8 r/min內(nèi)，所以變階次分?jǐn)?shù)階等速滑模基本保留了傳統(tǒng)等速滑模的控制效果。
圖3 永磁同步電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖
圖4是圖3相對(duì)應(yīng)的電流狀態(tài)收斂軌跡。圖中橫坐標(biāo)為切換面s，縱坐標(biāo)為切換面變化率ds。圖中實(shí)線部分為傳統(tǒng)整數(shù)階等速趨近律滑模控制電流收斂軌跡，點(diǎn)橫線為變階次分?jǐn)?shù)階等速趨近律電流環(huán)誤差收斂軌跡。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分?jǐn)?shù)階的抖振幅值分為兩個(gè)部分，為了保證系統(tǒng)的快速響應(yīng)能力，在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)采用的分?jǐn)?shù)階的階次α=0.85，此時(shí)的抖振如圖4所示，其幅值大于整數(shù)階等速趨近律幅值；當(dāng)靠近滑模面時(shí)采用的分?jǐn)?shù)階的階次α=1.05，系統(tǒng)最終達(dá)到平衡狀態(tài)，穩(wěn)定在這個(gè)幅值，此時(shí)的抖振幅值是低于整數(shù)階抖振的幅值，降幅達(dá)到了28.7%，實(shí)現(xiàn)了降低電流環(huán)抖振幅值的目的。
圖4 兩種滑?？刂葡到y(tǒng)電流收斂軌跡
圖5是圖3相對(duì)應(yīng)的永磁同步電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)圖，虛線為傳統(tǒng)整數(shù)階等速趨近律，實(shí)線為分?jǐn)?shù)階轉(zhuǎn)矩響應(yīng)。在0.5 s時(shí)負(fù)載由1 N ·m增加至2 N ·m。從圖5中可以看出，變階次分?jǐn)?shù)階等速趨近律轉(zhuǎn)矩輸出的脈動(dòng)程度低于整數(shù)階等速趨近律，平均降幅可達(dá)到5.3%，進(jìn)一步證明了變階次滑模在降低電流環(huán)抖振方面的作用。
圖5 電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)軌跡
5 結(jié) 語(yǔ)
本文針對(duì)等速趨近律滑模變結(jié)構(gòu)在永磁同步電動(dòng)機(jī)電流環(huán)控制中的抖振現(xiàn)象，提出了一種變階次分?jǐn)?shù)階等速滑?？刂?，利用分?jǐn)?shù)階微分方程對(duì)等速趨近律增益系數(shù)進(jìn)行“放大”和“縮小”，遠(yuǎn)離滑模面時(shí)對(duì)趨近律增益進(jìn)行放大以加快響應(yīng)速度，靠近滑模面時(shí)對(duì)趨近律增益進(jìn)行縮小以抑制抖振。在Simulink環(huán)境下建立了矢量控制模型進(jìn)行仿真研究，在基速以下進(jìn)行了仿真研究。仿真結(jié)果表明，本文的控制方法在保留傳統(tǒng)方法控制效果的同時(shí)，在一定程度上減小電流環(huán)的抖振幅值，降低電機(jī)轉(zhuǎn)矩輸出脈動(dòng)的程度，達(dá)到了良好的控制效果。
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