初中數(shù)學(xué)解題思路探討

李星星

[摘 要] 對(duì)于初中數(shù)學(xué)，教師需要從數(shù)學(xué)思想著手，給學(xué)生教授有效的解題思路與解題方法. 本文以人教版初中數(shù)學(xué)為例，結(jié)合具體知識(shí)點(diǎn)以及例題詳細(xì)介紹初中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想與解題方法，供廣大初中數(shù)學(xué)教育工作者參考.

[關(guān)鍵詞] 人教版；初中數(shù)學(xué)；解題思路

創(chuàng)新思路分析

對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，最重要的就是引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，加深理解，學(xué)會(huì)運(yùn)用. 在教學(xué)過(guò)程中，教師要優(yōu)化示范教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)初步的認(rèn)知，在此基礎(chǔ)上形成個(gè)人的思考，嘗試去運(yùn)用所學(xué)知識(shí). 與此同時(shí)，老師也要鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)常見(jiàn)習(xí)題的規(guī)律、學(xué)會(huì)自我歸納，幫助學(xué)生掌握不同題型的解題技巧，進(jìn)而鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維.

認(rèn)真審題，明確方法

初中生的語(yǔ)言理解能力以及邏輯思維能力尚不發(fā)達(dá)，在題干要求比較復(fù)雜的情況下難免會(huì)產(chǎn)生誤解或理解不完全. 因此，教師在強(qiáng)調(diào)審題的同時(shí)，要加強(qiáng)學(xué)生理解能力的培養(yǎng)，結(jié)合習(xí)題與生活.

初中數(shù)學(xué)思想方法及例題解析

1. 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想指的就是利用幾何圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，使得題目的數(shù)量關(guān)系更為直觀地反映出來(lái)，將數(shù)字與圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，在此基礎(chǔ)上尋求解題思路，簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決過(guò)程. 下面以人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“勾股定理”一章為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.

（1）題干要求.

長(zhǎng)方形卡片ABCD中，將B點(diǎn)折疊至與D點(diǎn)重合，EF為折痕，如圖1所示. 其中，AB=3 cm，BC=5 cm. 試求折疊后形成的三角形DEF面積為多少？

（2）思路分析.

分析題干與圖形可知，由于B點(diǎn)折疊到D點(diǎn)，因此直線BF的長(zhǎng)度與直線DF的長(zhǎng)度相等，又因?yàn)槿切蜠CF是直角三角形，根據(jù)勾股定理可求解出DF的長(zhǎng)度. 然后結(jié)合圖形可知∠CDF+∠EDF=90°，∠A′DE+∠EDF=90°，進(jìn)而推導(dǎo)出∠CDF=∠A′DE. 又因?yàn)椤螩=∠A′=90°并且A′D=AB=CD，可得三角形A′DE與三角形CDF全等，最后便可求解得出三角形DEF的面積.

（3）解答過(guò)程.

設(shè)BF=x，則BF=DF=x，所以FC=BC-BF=5-x. 因?yàn)槿切蜠CF是直角三角形，所以根據(jù)勾股定理可知DF 2=CD2+FC2. 又因?yàn)殚L(zhǎng)方形ABCD卡片中AB長(zhǎng)度為3 cm，所以x2=（5-x）2+32，計(jì)算可得x=3.4 cm. 因?yàn)椤螩DF+∠EDF=90°，∠A′DE+∠EDF=90°，所以∠CDF=∠A′DE. 因?yàn)椤螩=∠A′=90°且A′D=AB=CD，所以△A′DE≌△CDF，即DF=DE=3.4 cm. 因?yàn)锳B是三角形DEF的高，所以S=DE·AB=×3.4×5=5.1 cm.

2. 化歸思想

在人教版初中數(shù)學(xué)中，化歸法的一個(gè)重要內(nèi)核就是“化未知為已知”，比如通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化過(guò)程可以將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題等等. 下面以人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)“一元二次方程”一章為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.

（1）降次運(yùn)算.

在人教版初中數(shù)學(xué)中，沒(méi)有直接講授四次方程的求解方法，但老師可以引導(dǎo)學(xué)生利用化歸的思想，將一元一次方程或者一元二次方程的解法與之結(jié)合，轉(zhuǎn)化為方法明確的方程類(lèi)型進(jìn)行求解，例如：

① 題干要求

已知：x2+x=1，求解：x3+2x2+2009.

② 思路分析

利用化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)“化整為零”對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理.

③ 解答過(guò)程

因?yàn)閤2+x=1，所以x2=1-x. 則有：

x3+2x2+2009

=x（1-x）+2（1-x）+2009

=-x2-x+2011

=-（x2+x-1）+2010

=2010.

（2）轉(zhuǎn)化處理.

對(duì)于條件未知或是處理過(guò)程繁雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將未知的、難度較大的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎摹㈦y度較小的問(wèn)題，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，保證求解結(jié)果的準(zhǔn)確性.

① 題干要求

已知：二元一次方程組x+3y=4，x+y=1， 求解：x，y的值.

② 思路分析

在目前的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們還沒(méi)接觸到二元一次方程組的求解，因此可以使用化歸法將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎姆椒?，即一元一次方?

③ 解答過(guò)程

令x+3y=4為式①，令x+y=1為式②，①-②得2y=3，所以y=. 將結(jié)果代入式①或式②，計(jì)算得出結(jié)果為：x=-， y=.

3. 分解組合思想

在解題過(guò)程中，題干已知條件有時(shí)候不能直接應(yīng)用，需要進(jìn)行一定的處理. 對(duì)題目已知條件進(jìn)行觀察，從問(wèn)題的求解出發(fā)有目的地對(duì)已知條件進(jìn)行分解或重新組合，進(jìn)而簡(jiǎn)化解題過(guò)程，這就是分解組合的解題思路. 下面以人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“整式的乘法與因式分解”一章為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.

（1）題干要求.

已知：x=，y=，求解：x2-6xy+y2.

（2）思路分析.

將x，y直接代入原式求解，過(guò)程煩瑣，且容易出錯(cuò). 通過(guò)觀察題干，我們可以發(fā)現(xiàn)x2-6xy+y2可以進(jìn)行分解組合，變?yōu)椋▁+y）2-8xy這一簡(jiǎn)單的式子，此時(shí)只需要計(jì)算x+y與xy的值.

（3）解答過(guò)程.

x2-6xy+y2=（x+y）2-8xy，x+y=+==，xy=·==，所以（x+y）2-8xy=（）2-8×=5-4=1，所以x2-6xy+y2=1.

4. 整體思想

在初中數(shù)學(xué)的范疇內(nèi)，整體代入是一種常見(jiàn)的解題方法，這體現(xiàn)的就是整體思想. 整體代入指的就是將題目的已知條件作為一個(gè)整體，不進(jìn)行拆分處理，將已知條件整體運(yùn)用到問(wèn)題的求解當(dāng)中，省去了無(wú)謂的計(jì)算過(guò)程，同時(shí)也能保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.

（1）題干要求.

已知：x2+x-1=0，求解：x3+2x2+99.

（2）思路分析.

本題若采用常規(guī)解法，先計(jì)算x的值，然后再代入到x3+2x2+99中進(jìn)行計(jì)算，情況比較復(fù)雜，計(jì)算過(guò)程易錯(cuò). 通過(guò)觀察x2+x-1以及x3+2x2+99，可知如果將x3+2x2+99整理成x2+x-1或x2+x的形式，就可以借助x2+x-1=0這一已知條件，大大地降低了計(jì)算難度.

（3）解答過(guò)程.

解法一：x3+2x2+99=x（x2+x-1）2+（x2+x-1）+100，因?yàn)閤2+x-1=0，所以x3+2x2+99=x·0+0+100=100.

解法二：因?yàn)閤2+x-1=0，所以x2+x=1，x3+2x2+99=x（x2+x）+x2+99=x+x2+99=100.

5. 極限思想

在選擇題的解題過(guò)程中，可以不進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)運(yùn)算，結(jié)合題干已知條件進(jìn)行特殊處理，考慮最一般或最極限的情況，采用特殊值法進(jìn)行求解.

（1）題干要求.

已知：菱形ABCD如圖2所示，沿著對(duì)角線AC方向移動(dòng)圖形至A′B′C′D′處，兩者的重疊部分如圖所示，其面積為菱形ABCD面積的一半. AC=，求解：菱形ABCD移動(dòng)的距離AA′.

A. 1 B.

C. -1 D.

（2）思路分析.

在處理時(shí)，可以分析極限情況，即將菱形ABCD看成是正方形.

（3）解答過(guò)程.

因?yàn)檎叫蔚拿娣e等于其對(duì)角線平方的一半，所以S=AC2=1. 因?yàn)橹丿B部分面積為正方形ABCD面積的一半，所以A′C2=，即A′C2=1. 因?yàn)锳A′=AC-A′C=-1，因此結(jié)果選C.

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上的論述，筆者認(rèn)為：初中數(shù)學(xué)內(nèi)容具備抽象性、復(fù)雜性等特點(diǎn)，所以對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度自然比較大. 在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，為了盡可能地降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，教師要以教學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)不同題型的解題思路與解題方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)指明方向.