“勾股定理”基本圖形美學(xué)賞析

張春華

[摘 要] “勾股定理”是代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合的典型例證，因此關(guān)于這一章的教學(xué)不僅僅是簡(jiǎn)單的知識(shí)的傳遞與接受，更重要的是要向?qū)W生展示幾何知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容背后所蘊(yùn)藏的美感.

[關(guān)鍵詞] 勾股定理；基本圖形；美學(xué)賞析；人教版

在我國(guó)古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫作勾，長(zhǎng)的直角邊叫作股，斜邊叫作弦，根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，在約公元前1100年，人們就已經(jīng)知道，如果勾是三、股是四，那么弦就是五，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于直角三角形三邊之間的關(guān)系——兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是勾股定理.

教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解勾股定理的兩種證明方法——畢達(dá)哥拉斯證法和趙爽的弦圖證法；應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的直角三角形三邊計(jì)算問題.

（2）通過對(duì)直角三角形三邊關(guān)系的猜想驗(yàn)證，經(jīng)歷從特殊到一般的探索過程，發(fā)展合情推理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

（3）在勾股定理的探索過程中感受數(shù)學(xué)圖形的美感，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

2. 教學(xué)重點(diǎn)

探究并理解勾股定理.

3. 教學(xué)難點(diǎn)

探索勾股定理的驗(yàn)證方法.

“勾股定理”基本圖形之美

1. 勾股定理基本圖形1

圖1是勾股定理的一個(gè)重要的基本圖形，表明了勾股定理的幾何意義，即分別以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)作正方形，滿足直角邊正方形面積之和等于斜邊正方形面積.

（1）形式之美

以上述基本圖形為基礎(chǔ)，繼續(xù)向外作類似的幾何圖形，直角邊正方形面積之和始終等于斜邊正方形面積，持續(xù)向外作圖，可以形成如圖2所示的樹狀圖形，即“畢達(dá)哥拉斯樹”，又被稱為“勾股樹”，三個(gè)正方形之間的三角形，其面積小于等于大正方形面積的四分之一，大于等于一個(gè)小正方形面積的二分之一. 根據(jù)所作的三角形的形狀不同，重復(fù)作這種三角形的畢達(dá)哥拉斯樹的“枝干”茂密程度就不同. 這些外在的形式給我們帶來了強(qiáng)烈的視覺沖擊以及美學(xué)感受.

（2）和諧之美

如果把圖1中的正方形換為其他圖形，勾股定理仍然成立體現(xiàn)出了幾何圖形相互轉(zhuǎn)變的“和諧”之美.

如圖3、圖4，將正方形分別變成半圓形及等邊三角形，仍滿足s3=s1+s2 . 進(jìn)一步進(jìn)行推廣，只要以直角三角形三邊向外作相似的圖形，這一結(jié)論都成立.

2. 勾股定理基本圖形2

我國(guó)對(duì)勾股定理的證明采取的是割補(bǔ)法，最早的形式見于公元三、四世紀(jì)趙爽的《勾股圓方圖注》. 在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“弦圖”，其中每一個(gè)直角三角形稱為“朱實(shí)”，中間的一個(gè)正方形稱為“中黃實(shí)”，以弦為邊的大正方形叫“弦實(shí)”，所以，如果以a，b，c分別表示勾、股、弦之長(zhǎng)，那么

c2=4·+（b-a）2，

則可得：a2+b2=c2.

統(tǒng)一之美——

圖6是畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理的示意圖，顯然后面的圖形就是勾股定理基本圖形2，證明方法如下：

作8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.

從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是（a+b），所以面積相等，即a2+b2+4×ab=c2+4×ab，

整理可得a2+b2=c2.

圖7是伽菲爾德證明勾股定理的示意圖，證明方法如下：

以a，b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖7所示的形狀，使A，E，B三點(diǎn)在一條直線上.

因?yàn)?Rt△EAD ≌ Rt△CBE，

所以∠ADE =∠BEC.

因?yàn)椤螦ED +∠ADE=90°，

所以∠AED +∠BEC=90°.

所以∠DEC=180°-90°=90°.

所以△DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于c2.

又因?yàn)椤螪AE=90°， ∠EBC=90°，

所以AD∥BC.

所以ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于（a+b）2.

所以（a+b）2=2×ab+c2.

所以a2+b2=c2.

由此可見，基本圖形集中了趙爽、加菲爾德等人的證明方法，三種證法聞名中外，異曲同工，三位數(shù)學(xué)家采用的方法都是面積轉(zhuǎn)換的方法，參考圖形也具備一定的相同點(diǎn). 從古老的中國(guó)到20世紀(jì)的西方，數(shù)學(xué)家的思想結(jié)晶實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一.

3. 勾股定理數(shù)形結(jié)合之美

勾股定理的另一個(gè)重要意義就是實(shí)現(xiàn)了幾何和代數(shù)的有機(jī)結(jié)合，可以將復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化成直角三角形問題，下面以案例進(jìn)行說明.

（1） 題干要求

已知：a，b，c，d都是正數(shù)，

求證：+>.

（2）思考分析

對(duì)于初中生來說，由于沒有開始學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容，因此想要用代數(shù)的方法進(jìn)行證明是比較困難的. 根據(jù)題干中表達(dá)式的特征，聯(lián)想勾股定理的有關(guān)內(nèi)容，可以將題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，聯(lián)系到勾股定理的證明過程. 證明時(shí)，可以先構(gòu)造3個(gè)直角三角形，采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明這一不等式. 在教學(xué)過程中，教師可以一步步引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維，由純代數(shù)向數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化，在這個(gè)過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奇異美.

（3）解答過程

構(gòu)造長(zhǎng)為（a+b）、寬為（c+d）的矩形ABCD，E為長(zhǎng)邊AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)為短邊CD上的一點(diǎn).

在Rt△ABE中，BE===，

在Rt△BCF中，BF===，

在Rt△DEF中，EF==，

在△BEF中，BE+EF>BF，

即+>.

結(jié)語

數(shù)學(xué)教育不僅僅要向?qū)W生講授數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法，更要將數(shù)學(xué)蘊(yùn)含的“美”感傳遞給學(xué)生，包含“美”的數(shù)學(xué)教學(xué)才是富有生機(jī)與活力的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程才不會(huì)顯得枯燥無味，學(xué)生會(huì)由于數(shù)學(xué)的神秘與豐富而積極主動(dòng)地進(jìn)行探究.

與此同時(shí)，數(shù)學(xué)的美不僅僅指代數(shù)學(xué)本身的數(shù)量關(guān)系以及空間關(guān)系，數(shù)學(xué)題的求解也能顯現(xiàn)出其美感. 相比于機(jī)械求解，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)模型與思想方法就能使得整個(gè)求解過程具備數(shù)學(xué)的美感，得到的結(jié)果就是“美”的，這樣的解答方法也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強(qiáng)大動(dòng)力. 因此，不管是勾股定理還是其他內(nèi)容，教師在教學(xué)過程中都要注意向?qū)W生灌輸美學(xué)思想，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問題解決過程蘊(yùn)含的“美”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.