初中數(shù)學(xué)思維情境創(chuàng)設(shè)的若干思考

儲(chǔ)松苗

[摘 要] 良好的思維情境能夠引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知失衡，需要學(xué)生在情境中有所感悟、有所發(fā)現(xiàn)，需要在質(zhì)疑追問(wèn)中體味數(shù)學(xué)，而思維情境價(jià)值的彰顯則需要學(xué)生在情境中善于總結(jié)與反思. 本文以滬科版初中數(shù)學(xué)函數(shù)概念教學(xué)為例，闡述上述觀點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；思維情境；正比例函數(shù)

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程一定是數(shù)學(xué)思維得到充分利用并提升的過(guò)程. 教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生在調(diào)動(dòng)思維的時(shí)候并不是輕而易舉的，一定是需要外力策動(dòng)的——比如說(shuō)我們通過(guò)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維，這就是最基本的策動(dòng)方式之一. 但可以肯定的是，簡(jiǎn)單甚至機(jī)械的問(wèn)題提出，對(duì)學(xué)生的思維驅(qū)動(dòng)作用是有限的，有時(shí)甚至是起相反作用的. 真正有效策動(dòng)學(xué)生思維的應(yīng)當(dāng)是“情境”，因而思維情境的創(chuàng)設(shè)才是數(shù)學(xué)教學(xué)中需要重點(diǎn)思考的內(nèi)容. 筆者有限的實(shí)踐表明，思維情境的有效創(chuàng)設(shè)，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程處于良好的心境當(dāng)中，從而可以保證學(xué)生學(xué)得有趣、學(xué)得有效. 本文試以滬科版初中數(shù)學(xué)“正比例函數(shù)”的教學(xué)為例，進(jìn)行相關(guān)觀點(diǎn)的總結(jié)與闡述.

思維情境的創(chuàng)設(shè)需要認(rèn)知失衡

思維情境不同于一般的學(xué)習(xí)情境，后者往往以形象的事與物作為情境創(chuàng)設(shè)的重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“物境”，比如說(shuō)具體的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)器材、一個(gè)相對(duì)真實(shí)的與數(shù)學(xué)相關(guān)的生活情境等. 思維情境更多地側(cè)重于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的思維，強(qiáng)調(diào)的是圍繞學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)營(yíng)造一個(gè)“思維場(chǎng)”. 思維情境要想發(fā)揮作用，首先需要學(xué)生入境，從思維的角度來(lái)看，學(xué)生走入思維情境的關(guān)鍵在于認(rèn)知上的失衡. 因?yàn)橹挥姓J(rèn)知失衡了，學(xué)生才會(huì)自然地產(chǎn)生追求認(rèn)知平衡的念頭. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維情境需要具有驅(qū)動(dòng)學(xué)生興趣、吸引學(xué)生注意、引發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而讓學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生失衡的作用.

滬科版數(shù)學(xué)教材中，“正比例函數(shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)是以“函數(shù)的概念”教學(xué)為基礎(chǔ)的，而函數(shù)概念的教學(xué)又是以理解變量與函數(shù)兩個(gè)基本概念為基礎(chǔ)的，因此在創(chuàng)設(shè)思維情境的時(shí)候，就不能離開這兩個(gè)要素. 更具體地說(shuō)，就是要研究學(xué)生建構(gòu)函數(shù)概念時(shí)已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，然后結(jié)合函數(shù)教學(xué)目標(biāo)來(lái)創(chuàng)設(shè)思維情境. 基于這樣的思考，筆者的設(shè)計(jì)是這樣的：首先，讓學(xué)生基于自己熟悉的場(chǎng)景進(jìn)行描述，如描述自己的身高、體重，描述教室的長(zhǎng)度、高度，估計(jì)課桌的面積等，這是一個(gè)將“數(shù)”與“量”結(jié)合起來(lái)描述某一事物特征的過(guò)程. 在這個(gè)描述中，學(xué)生會(huì)自然總結(jié)出這一描述方式的特征；其次，給學(xué)生提供一個(gè)智力題：如果有一根長(zhǎng)為l的繩子緊繞在赤道上，現(xiàn)在要讓繩子處于離赤道1米的高度，那這根繩子要增加多長(zhǎng)？學(xué)生在思考這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，通常會(huì)直覺(jué)性地認(rèn)為需要增加的長(zhǎng)度是很長(zhǎng)的，而計(jì)算下來(lái)實(shí)際上只增加π的長(zhǎng)度，于是學(xué)生在驚訝之余就開始思考“增高1米”與“增長(zhǎng)多少”的關(guān)系，而這正是函數(shù)概念建立所需要的變量與函數(shù)的概念.

在這個(gè)思維情境創(chuàng)設(shè)的過(guò)程中，學(xué)生原本是有認(rèn)知基礎(chǔ)的，而在探究之后，這個(gè)認(rèn)知又被打破了，并建立了新的認(rèn)識(shí)，有了這個(gè)認(rèn)識(shí)作為基礎(chǔ)再去建立變量與函數(shù)的概念，效果就是很好的，學(xué)生的思維是高效的.

思維情境的利用需要感悟發(fā)現(xiàn)

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維常常有形象思維與抽象思維兩種，前者通常以抽象后的數(shù)學(xué)形象（表象）作為加工對(duì)象，而后者更多的是基于數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系做出的推理. 當(dāng)然，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中也離不開一些直覺(jué)思維，而由于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與思維方式不同，直覺(jué)思維在發(fā)揮作用的時(shí)候總有對(duì)錯(cuò)，但這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)說(shuō)都是有積極意義的，我們?cè)谘芯克季S情境的時(shí)候，一個(gè)基本認(rèn)識(shí)就是：只要學(xué)生進(jìn)入了思維的狀態(tài)，那數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程就一定是高效的.

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，在進(jìn)入思維情境之后，學(xué)生的感悟是非常重要的. 感悟是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的過(guò)程，有多種思維方式在發(fā)揮綜合性作用，有感悟才會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有感悟那就談不上真正的思維情境.

例如，在學(xué)生經(jīng)由上一點(diǎn)的思維情境認(rèn)識(shí)到函數(shù)是通過(guò)變量來(lái)描述的之后，怎樣才能讓學(xué)生建立由數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的函數(shù)、自變量、解析式等概念呢？顯然，這個(gè)思維情境是需要進(jìn)一步推進(jìn)的，而這個(gè)思維情境則是可以由具體的實(shí)例來(lái)實(shí)現(xiàn)的. 比如說(shuō)給學(xué)生一個(gè)汽車行駛耗油量與行駛里程的關(guān)系：一輛在高速公路上行駛的汽車，每百公里耗油10 L，如果汽車?yán)镌?0 L油，那剩余油量與行駛里程之間滿足什么樣的關(guān)系呢？

這樣的問(wèn)題拋出之后，學(xué)生的思維就會(huì)圍繞“剩余油量”“每百公里油耗”“行駛里程”等概念進(jìn)行思考，同時(shí)也會(huì)利用此前所習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)，建立三者之間的關(guān)系. 待學(xué)生用文字或自設(shè)的符號(hào)表示出這一關(guān)系之后，再引導(dǎo)學(xué)生從變量角度思索這一實(shí)例，不少學(xué)生就開始了感悟：消耗的油量決定于每百公里耗油量與行駛里程，而剩下的油量決定于原有總油量與消耗的油量，那這個(gè)關(guān)系就明確了……這樣的一個(gè)思維過(guò)程中，學(xué)生在教師簡(jiǎn)要的指導(dǎo)之下，迅速感悟到不同量之間的關(guān)系，并下意識(shí)地用表達(dá)式來(lái)表達(dá)這樣的關(guān)系. 這樣一個(gè)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，其實(shí)就是處于思維情境中的學(xué)生通過(guò)感悟有所發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.

在實(shí)際教學(xué)中，這樣的情形并不鮮見，但很少有從思維情境角度來(lái)予以解析的. 在筆者看來(lái)，這樣的成功教學(xué)案例，給教學(xué)最大的啟發(fā)就是思維情境要高度重視學(xué)生的自主感悟，盡量讓學(xué)生通過(guò)感悟有所發(fā)現(xiàn)，這樣可以讓學(xué)生的主體地位得到保證，可以讓學(xué)生的自主建構(gòu)過(guò)程支撐重要數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的學(xué)習(xí).

思維情境的拓展需要質(zhì)疑追問(wèn)

思維情境并不是讓學(xué)生被動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)，事實(shí)上一旦學(xué)生真正在思維情境中發(fā)動(dòng)思考，那質(zhì)疑幾乎就是必然的結(jié)果，而如果教師的教學(xué)足夠民主，在學(xué)生質(zhì)疑的同時(shí)進(jìn)行追問(wèn)也就是水到渠成的事情. 筆者以為，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中多讓學(xué)生處于這樣的狀態(tài)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的效果以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)也是有好處的.

在函數(shù)的定義得出之后，學(xué)生開始了對(duì)定義表述的內(nèi)化：在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，設(shè)為x和y，如果在變量x的允許取值范圍內(nèi)，變量y隨著x的變化而變化，它們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量y叫作x的函數(shù)，x叫作自變量.

有學(xué)生提出：這個(gè)定義中為什么前面說(shuō)是“兩個(gè)變量”，后面又說(shuō)x叫作自變量，y叫作函數(shù)，還是x的函數(shù)？到底x和y是變量還是函數(shù)？這樣的質(zhì)疑表現(xiàn)出的是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用的困惑，或者說(shuō)學(xué)生是被函數(shù)定義的語(yǔ)言給“繞”住了. 還有學(xué)生提出：這樣理解函數(shù)的定義太過(guò)復(fù)雜，不如結(jié)合一個(gè)具體的例子，如將上面例子中的剩余油量記作y，將汽車的行駛里程記作x，那直接用這個(gè)例子說(shuō)y是x的函數(shù)，x叫作自變量還簡(jiǎn)單一些.

對(duì)于這些質(zhì)疑與追問(wèn)，教師要肯定其中合理的地方，同時(shí)又要指出不合理之處，尤其是對(duì)于后者，往往是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 譬如對(duì)上面兩個(gè)質(zhì)疑的回答，就要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在描述一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，必須用專業(yè)、純粹的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，因?yàn)檫@樣才能讓數(shù)學(xué)定義具有概括性，而具體例子的列舉，只能作為理解定義的手段，本身并不能作為定義.

通常情況下，筆者以為學(xué)生能夠質(zhì)疑，就說(shuō)明學(xué)生在思維，學(xué)生質(zhì)疑如果發(fā)生在當(dāng)疑之處，就說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)抓住了知識(shí)構(gòu)建的關(guān)鍵點(diǎn)，如果學(xué)生的質(zhì)疑還伴隨著其一定的邏輯表述，則更說(shuō)明學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是高效的. 因而學(xué)生的質(zhì)疑與追問(wèn)，往往代表著學(xué)生在思維情境中的深入程度.

思維情境的價(jià)值需要反思概括

初中數(shù)學(xué)要追求的一種教學(xué)境界，就是“不教而教”，即學(xué)生能夠通過(guò)數(shù)學(xué)方法的掌握，進(jìn)而具有自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 顯然，這種能力的形成并非輕而易舉的.

在筆者看來(lái)，這其實(shí)也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)或者說(shuō)思維品質(zhì)的重要體現(xiàn)，其需要學(xué)生在思維的同時(shí)還具有一種元認(rèn)知的能力，即關(guān)注自身思維過(guò)程并總結(jié)自身思維特點(diǎn)的意識(shí)與能力. 這種能力，只能來(lái)自于學(xué)生對(duì)身處思維情境中的自己的思維過(guò)程的總結(jié)、反思與概括.

滬科版函數(shù)概念以及表示方法是在正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，是在對(duì)生活中函數(shù)實(shí)例的理解中得以深化的. 可以肯定地講，如果只滿足于概念記憶，是無(wú)法真正理解函數(shù)的，只有對(duì)具體的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)進(jìn)行分析，對(duì)實(shí)例進(jìn)行比較，尤其是對(duì)能夠引發(fā)自己深度思考的概念、實(shí)例進(jìn)行分析比較，才能建立起對(duì)函數(shù)的內(nèi)在理解. 這種理解常常伴隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、生活語(yǔ)言甚至是默會(huì)知識(shí)的運(yùn)用，往往因?qū)W生個(gè)體差異而異，但可以肯定的是，只要學(xué)生在反思、在概括，那思維就在深入，思維品質(zhì)就在提升，思維情境的價(jià)值也就能夠得到進(jìn)一步彰顯.