初中數(shù)學(xué)幾何證明解題思路探析

葛敏潔

[摘 要] 幾何比純代數(shù)知識更為復(fù)雜，幾何證明題不僅涉及計算，對于學(xué)生的邏輯思維能力也是巨大的考驗. 在教學(xué)中，教師應(yīng)著重分析常見的幾何證明解題思路與解題方法.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；幾何證明；解題思路；人教版

初中幾何證明解題基本思路

（一）仔細(xì)讀題，理清題意

幾何證明題以幾何定理為基礎(chǔ)，通過對已知條件進行分析，推導(dǎo)出題目給定的結(jié)論. 幾何證明題的難點在于用已知的定理不能直接推導(dǎo)出答案，這也就造成部分學(xué)生知道定理但還是不會證明. 在這樣的情況下，教師需要做的就是鼓勵學(xué)生分析題目條件，結(jié)合自身掌握的定理，充分利用已知條件，有時候也可以通過結(jié)論倒推條件，將思考過程用幾何證明的規(guī)范語言反過來寫一遍就是證明過程. 在這個過程中，學(xué)生的聯(lián)想能力、邏輯思維能力都得到了提升.

例如，人教版九年級數(shù)學(xué)上冊第24章“圓”中有這樣一道習(xí)題：

已知AB為圓O的直徑，ED與圓O相切于點C，AC是弦，滿足AD⊥CE，垂足為D，求證：∠BAD被AC平分.

在讀題時，看到“AB為圓O的直徑”這一條件，就要知道∠ACB=90°；“ED與圓O相切于點C”這一條件可以說明OC⊥ED且∠ACD=∠B. 通過對已知條件進行轉(zhuǎn)化，能夠得到證明需要的圖形關(guān)系，最終將本題解答出來.

（二）識圖，解析圖形

多數(shù)的幾何證明題涉及的圖形都比較復(fù)雜，并不是所有圖形都會用到，有實際作用的只是其中一部分. 因此，教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會簡化圖形，掌握分解以及組合的解題技巧. 學(xué)生在面對復(fù)雜的幾何圖形時如果表現(xiàn)出較強的畏難情緒，無法展開聯(lián)想或者一點解答思路也沒有，教師就需要給予適當(dāng)?shù)膸椭笇?dǎo)學(xué)生弄明白復(fù)雜的幾何圖形由哪些基本圖形組成，這些基本圖形分別具備哪些重要性質(zhì)，有什么規(guī)律. 長此以往，學(xué)生在遇到比較復(fù)雜的幾何題時就會自主地進行分析，對一些常見的基本圖形會產(chǎn)生熟知感，便于解題思路的形成.

（三）審題，明確要求

在解決幾何證明的問題時，學(xué)生看到題目后的第一感覺往往就是去找解題的關(guān)鍵，當(dāng)然這種感覺的產(chǎn)生是建立在認(rèn)真讀題、讀圖的基礎(chǔ)上的. 只有做好這兩方面的準(zhǔn)備，學(xué)生的思維才會打開. 在進行幾何證明題的訓(xùn)練時，教師要指導(dǎo)學(xué)生堅持這種思考方式，在掌握基礎(chǔ)知識的前提下充分鍛煉思維張性. 時間一長，學(xué)生在能解答好幾何題的基礎(chǔ)上，對其他題型也能做到有的放矢，部分學(xué)習(xí)能力較強、思維較活躍的學(xué)生在解題過程中能充分利用幾何知識，大大簡化求解過程.

還是以上面的習(xí)題為例，學(xué)生在老師的指導(dǎo)下得出∠BAC=∠CAD，即本題證明完畢. 但如果學(xué)生不看清楚要求，就會繼續(xù)做下去，繼而得出其他結(jié)論，比如△ACB∽△ADC，=，最終得出AC2=AB×AD.

（四）準(zhǔn)確書寫，規(guī)范解答

并不是所有的幾何題都具備較大難度，學(xué)習(xí)內(nèi)容的設(shè)置肯定是難易結(jié)合的. 盡管如此，部分學(xué)生在書寫時過于隨意，證明過程不規(guī)范，使得整個推導(dǎo)過程缺乏條理性. 因此，教師要重視學(xué)生幾何語言的規(guī)范性，在日常的作業(yè)中就要嚴(yán)格要求，引導(dǎo)學(xué)生鍛煉文字組織能力，教導(dǎo)學(xué)生書寫證明過程要依據(jù)思路展開，遵循幾何證明題的書寫規(guī)則. 下面以人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第27章“相似”為例，展示規(guī)范的幾何證明過程.

1. 題干要求

如圖2，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，試證明△ABC與△ADE相似.

2. 分析演繹

易知，△ADE與△ABC相似，因此可以采用相似的定義進行證明，即證明∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，==. 因為DE不在△ABC的邊BC上，不能直接利用結(jié)論. 但從要證明的=可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的邊上，只需將DE平移到BC邊上去，使得BF=DE，再證明=就可以了. 只要過點E作EF∥AB，交BC于點F，BF就是平移DE所得到的線段.

3. 解答過程

因為DE∥BC，

所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

過點E作EF∥AB，交BC于點F，

因為DE∥BC，EF∥AB，

所以=，=.

因為 四邊形DBFE是平行四邊形，

所以 BF=DE.

所以=.

所以==.

因為∠A=∠A，

所以△ABC∽△ADE.

（四）學(xué)習(xí)反思，總結(jié)經(jīng)驗

由于幾何證明題條件較多，圖像較復(fù)雜，因此部分學(xué)生在完成證明后就徹底松懈了，但是解題過程到這里并沒有完全結(jié)束，一個完整的解答過程還包含解析驗證. 在日常的解題過程中，老師就需要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成答題后二次審題的習(xí)慣，重新審題，確定題目中沒有其他的隱含條件. 在這個過程中學(xué)生會收獲到更多的知識，同時也是對其學(xué)習(xí)思維的有效鞏固. 通過學(xué)習(xí)反思，學(xué)生能夠?qū)ψ约旱淖C明過程進行核查，強化了學(xué)生的信息收集、問題解析能力.

初中幾何證明解題思考方法

（一）綜合法

綜合法指的就是充分利用已知條件，在個人分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合相應(yīng)幾何內(nèi)容的定義、定理以及法則等知識，一步步向需要證明的結(jié)論推進，最終推導(dǎo)出命題的結(jié)論.

1. 題干要求

如圖4，已知AB，CD相交于O，△ACO≌△BDO，AE=BF，求證：CE=FD.

2. 分析演繹

對題干進行觀察分析，本題適用綜合法進行證明.

AB、CD相交于O？圯∠AOC=∠BOD，

△ACO≌△BDO？圯

CO=DOAO=BOAE=BF？搖？圯EO=FO

？圯△ECO≌△FDO？圯CE=DF.

按照這一思考過程進行解答，就能得到本題的證明結(jié)果.

（二）分析法

從一定程度上來說，分析法就是綜合法的逆過程，首先就是從待證明的結(jié)論出發(fā)，假設(shè)命題為真，分析命題為真的原因，探求命題成立的條件，像這樣一步步逆推，向已知條件靠攏，最終回歸到證明過程需要的條件以及題目的已知條件上.

1. 題干要求

如圖5，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求證：AB=DE，AC=DF.

2. 分析演繹

在本題中，欲證AB=DE，AC=DF，即證△ABC≌△DEF，

AB=DEAC=DF △ABC≌△DEF∠B=∠DEFAB∥DEBC=EFBE=CF∠ACB=∠FAC∥DF

（三）聯(lián)想法

除了以上方法，聯(lián)想法也比較常用. 在解題過程中，學(xué)生需要聯(lián)想題目和其他題目有沒有相同的地方. 如果有，可以試著把之前題目的解法運用到待證明的題目中，當(dāng)然這個聯(lián)想過程是需要學(xué)生注意不同題目之間的不同點的，萬不可盲目套用. 例如在解答平面幾何題時，我們經(jīng)常會遇到示意圖復(fù)雜或無規(guī)律的情況，這就使得題目的已知條件無法與結(jié)論產(chǎn)生聯(lián)系. 在這種情況下，可以試著添加輔助線，構(gòu)造出基本圖形來加強已知條件與待證結(jié)論之間的聯(lián)系. 輔助線的畫法因題而異，但是常用的畫法并不多，因此很多題型之間存在共同之處.

1. 題干要求

如圖6，已知在△ABC中，AB=AC，D是CB延長線上的一點，∠ADB=60°，E是AD上的一點，且有DE=DB，求證：AE=BE+BC.

2. 分析演繹

要證明一條線段等于其他兩條線段長度之和，最容易想到的處理方法就是把兩條線段通過各種方式移到一起，先得到兩條線段的“和”，然后再證明題目中的相等關(guān)系. 而證明兩條線段相等的方法比較固定，可以借助三角形的全等來證明. 因此，本題的關(guān)鍵就是添加輔助線并構(gòu)造全等三角形.

3. 解答過程

將DC延長至F，使CF=BD，連接AF.

因為 AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB.

因為∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACF=180°，

所以∠ABD=∠ACF.

所以△ABD≌△ACF.

所以 AD=AF.

因為∠D=60°，

所以△ADF是等邊三角形，

所以 AD=DF，AE=BF.

因為BE=DB=CF，

所以 AE=BE+BC.

結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，如果不講求方法的科學(xué)性，學(xué)生解決問題就無從下手，不知怎么解答. 因此，教師一定要不斷反思總結(jié)，優(yōu)化自身的教學(xué)方式，堅持因材施教，追求教學(xué)的實效性，通過科學(xué)的練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生自主歸納總結(jié)解題思路. 本文系統(tǒng)地分析了幾何證明題的解題思路，列舉了幾種常見的幾何證明解題思路與解題方法，希望能夠?qū)V大的中學(xué)教師與學(xué)生形成參考.