一道不等式的評(píng)講歷程

季長(zhǎng)征

摘 要：在當(dāng)今課堂教學(xué)中，需要教師采用最恰當(dāng)?shù)牟呗詫?duì)知識(shí)進(jìn)行加工重組，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)并激發(fā)學(xué)生的求知欲，高三復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的歸納整理，通過(guò)問(wèn)題引入、題型設(shè)計(jì)建立不同解題思路，讓學(xué)生有全新的認(rèn)識(shí)，不斷提高他們提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：不等式；數(shù)學(xué)歸納法；解題過(guò)程；課堂教學(xué)

在高三考試中經(jīng)常遇到這類不等式，筆者嘗試以專題的形式加以評(píng)講，旨在從紛繁的解法中找到一些可以掌握的規(guī)律，提煉一些模型，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，本著以“以學(xué)生為主體，師生合作”的原則，和學(xué)生一起探索。

下面是一道原題“數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且an，Sn，a2n成等差數(shù)列。（3）正數(shù)數(shù)列{cn}，令ab=（cn）n+1，（n∈N*）。求數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)。”此題共有三問(wèn)，我截取了最后一問(wèn)，由第一問(wèn)可知an=n，因此cn=，要求數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)，即轉(zhuǎn)化為研究數(shù)列{cn}的單調(diào)性，就變?yōu)樽Cnn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*），筆者就如何用專題課講解此不等式同大家一起分享。

證明：nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）

師：該不等式是在什么條件下成立？是否有提示語(yǔ)在里面？

生1：大于等于3的正整數(shù)。

師：對(duì)，在遇到與正整數(shù)的有關(guān)命題，我們通常想到什么方法？

生1：數(shù)學(xué)歸納法。

師：下面請(qǐng)生1用數(shù)學(xué)歸納法完成此題。

生1：①當(dāng)n=3時(shí)，34>43，所以原不等式顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)結(jié)論成立，即kk+1>（k+1）k成立，也就是>1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

師：生1在此卡住了，你覺(jué)得怎么由向轉(zhuǎn)化。

生1：（k+1）2>k（k+2）由此得>，

故（）k+1·（k+1）>（）k+1·（k+1）=>1

即（k+1）k+2>（k+2）k+1，故當(dāng)n=k+1時(shí)亦成立，綜上原不等式成立。

師：數(shù)學(xué)歸納法是一種由特殊到一般，從有限到無(wú)限思想的重要數(shù)學(xué)方法，是數(shù)學(xué)界的“多米諾骨牌”，此方法難點(diǎn)在想到用真分?jǐn)?shù)性質(zhì)，及如何運(yùn)用好假設(shè)。學(xué)生解決此題能夠體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)所在。

生2：老師，我覺(jué)得不等式nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）右邊是正數(shù)，所以我把右邊除了過(guò)來(lái)，我下面沒(méi)走下去。

師：你卡殼的地方是？

生2：我把原數(shù)列作商后得==，此式和1比較很困難。

師：你是否嘗試帶大于等于3的幾個(gè)數(shù)試一試的？

生2：老師我算過(guò)了，我想到了！它是一個(gè)遞減數(shù)列。

師：那下面怎么處理呢？

生2：構(gòu)造新的數(shù)列dn=變?yōu)檠芯繑?shù)列{dn}的單調(diào)性，

∵===[]n+1<1

∴dn+1

所以<1（n≥3，n∈N*），即nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）。

師：數(shù)學(xué)解題過(guò)程是在曲折中前進(jìn)的，遇到問(wèn)題從而產(chǎn)生新的思路，在思維不斷求變的過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的能力得以提高，解題能力得到錘煉。

生3：老師我也想到證明單調(diào)性，但開(kāi)始時(shí)我就轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=的單調(diào)性，然后不知道怎么處理了。

師：原數(shù)列cn=，只要知道數(shù)列{cn}的單調(diào)性，最值自然解決。問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=的單調(diào)性，問(wèn)題對(duì)符合函數(shù)的求導(dǎo)你們還記得嗎？

生4：我知道！∵y=x，∴l(xiāng)ny=lnx兩邊求導(dǎo)得·y′=故y′=·x

這樣的求導(dǎo)方式讓很多學(xué)生覺(jué)得驚奇不已，我讓學(xué)生4到黑板上演示了詳細(xì)過(guò)程，班級(jí)的氣氛再次熱烈起來(lái)。

師：現(xiàn)在請(qǐng)生3繼續(xù)完成吧。

生3：好的，當(dāng)x∈[e，+∞]時(shí)，y′<0，即y=在[3，+∞）上單調(diào)遞減，

所以cn（n+1）n（n≥3，n∈N*）。

師：生4用的知識(shí)我們暫時(shí)不會(huì)，大家想想我們就沒(méi)有其他方法了嗎？

班級(jí)一片寂靜……過(guò)了一會(huì)兒，我看到學(xué)生一籌莫展，做了一點(diǎn)提示，我們能不能將函數(shù)變變形，將它變成大家熟悉的函數(shù)求導(dǎo)呢？

生5：老師我覺(jué)得可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，由lny=lnx，變形為y=e，然后對(duì)它求導(dǎo)。

y′=（e）′e·，當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)y′<0，即y=在[3，+∞）在上單調(diào)遞減，同上。立即班級(jí)響起了雷鳴般的掌聲，班級(jí)的氛圍再次掀起了高潮。

師：研究數(shù)列單調(diào)性時(shí)，注意不能直接求導(dǎo)，數(shù)列雖是特殊的函數(shù)，但它不連續(xù)，所以要轉(zhuǎn)化為函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)對(duì)求導(dǎo)遇到困難時(shí)，在將函數(shù)y=x變?yōu)閥=e過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的化歸思想，化未知為已知，化陌生為熟悉。

師：這時(shí)，我趁熱打鐵。常規(guī)方法你們都已經(jīng)說(shuō)了，而且講的非常棒?，F(xiàn)在我來(lái)問(wèn)大家對(duì)這個(gè)函數(shù)f（x）=熟悉嗎？大家異口同聲說(shuō)：“熟悉?！蹦敲次覀兡懿荒馨堰@道題向這個(gè)方面轉(zhuǎn)化呢？

生6：老師，我想到了，他激動(dòng)得站了起來(lái)。將不等式nn+1>（n+1）n兩邊取自然對(duì)數(shù)，得到（n+1）lnn>nln（n+1），即<，因此可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x∈[3，+∞）），∵f′（x）=<0，∴f（x）在x∈[3，+∞）上單調(diào)遞減。

當(dāng)n+1>n≥3時(shí)，f（n+1）（n+1）n。

師：太棒了，將一道陌生的題目轉(zhuǎn)化為我們大家再熟悉不過(guò)的題目了。要證此不等式nn+1>（n+1）n成立，想到數(shù)學(xué)的對(duì)稱性，把n+1和n各放在一側(cè)，想到了兩邊取自然對(duì)數(shù)，從而領(lǐng)悟出數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系可以通過(guò)對(duì)題目的結(jié)構(gòu)理解而產(chǎn)生，利用數(shù)學(xué)上結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美產(chǎn)生了思維的火花。化未知為已知，化陌生為熟悉。

課堂教學(xué)要基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使所有學(xué)生都有所發(fā)展，盡量利用課本后課中出現(xiàn)的一些好素材，同時(shí)根據(jù)教學(xué)目的，采取橫向或縱向的發(fā)散，讓問(wèn)題落腳點(diǎn)在大家熟悉的區(qū)域，通過(guò)教師引導(dǎo)，師生共同探究，師生共同感受到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和完整美，最終目的是學(xué)生探究感悟數(shù)學(xué)的精髓，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

編輯 劉瑞彬