例談數(shù)形結(jié)合在求曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)、求最值教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)形結(jié)合法不僅在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在近幾年的高考試題中多次出現(xiàn)，因此引起了廣大數(shù)學(xué)教師的重視。筆者在此就數(shù)形結(jié)合法在求曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)或求方程的根，以及求最值教學(xué)中的應(yīng)用談了自己的做法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用舉例

一、 數(shù)形結(jié)合在求曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)或求方程的根教學(xué)中的應(yīng)用

例1 方程lgx=sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

分析：作出y=lgx和y=sinx的圖象如圖1，從圖1可知，當(dāng)0

例2 橢圓（x+1）24+y2=1和拋物線y=1-（x+1）2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

分析：如圖作出橢圓和拋物線的草圖如圖2，從圖可知兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，即選D。

二、 數(shù)形結(jié)合在求最值教學(xué)中的應(yīng)用

例1 如果x、y滿足（x-2）2+y2=3，求yx的最大值（ ）

A. 12

B. 33

C. 32

D. 3

分析：x、y滿足的方程對(duì)應(yīng)的曲線是以（2，0）為圓心，3為半徑的圓（如圖3）。記yx=k，即y=kx，它表示過原點(diǎn)（0，0）斜率為k的直線。顯然，當(dāng)直線與圓相切時(shí)k取最值。由

|2k-0|k2+1=3

得k2=3

∴k=±3

因此，k的最大值為3，故選D。

例2 若點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)F為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，設(shè)P在拋物線上移動(dòng)，為使得|PA|+|PF|取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

A. （0，0）B. （1，1）

C. （2，2）D. （1，2）

分析：拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F（12，0），準(zhǔn)線為l：x=-12（如圖4）。由拋物線的幾何性質(zhì)知PF與P到準(zhǔn)線l的距離相等，于是，若過P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，則|PQ|=|PF|，從而|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|為了使右式最小，其充要條件是A、P、Q三點(diǎn)共線，故yP=2，因此選C。

作者簡(jiǎn)介：

耿娜，遼寧省本溪市，本溪市高級(jí)中學(xué)。