老瓶常裝新酒 老題邂逅新解

丁永

摘 要：在解題教學(xué)中，教師運(yùn)用變式或是一題多解進(jìn)行解題教學(xué)是常有的事情，也是課堂教學(xué)的常用手段之一，尤其是在中考復(fù)習(xí)中更為常見。中考復(fù)習(xí)時(shí)，筆者在中考指導(dǎo)用書上遇到了一道老題，本想把已有的解法和參考答案展示給學(xué)生即可。孰知，在課堂上學(xué)生進(jìn)行思考時(shí)，引發(fā)了學(xué)生思維的激烈碰撞，總結(jié)出了出乎意料的多種解法?，F(xiàn)進(jìn)行整理總結(jié)，以圖為今后的解題教學(xué)提供研究素材。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；解題方法

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）23-127-1

一、試題呈現(xiàn)

《南京市中考指導(dǎo)用書（2016版）》第十章專題復(fù)習(xí)例9。如圖所示：

（1）過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A能作1條直線把△ABC的面積等分嗎？

（2）過(guò)梯形ABCD的頂點(diǎn)A能作1條直線把梯形ABCD的面積等分嗎？

（3）過(guò)四邊形ABCD的頂點(diǎn)A能作1條直線把四邊形ABCD的面積等分嗎？

此題收錄在專題一：常見的數(shù)學(xué)思想方法之化歸與轉(zhuǎn)化。題目的三問(wèn)層次遞進(jìn)，立意很好，化規(guī)與轉(zhuǎn)化思想得到充分的體現(xiàn)。

參考答案

《南京市中考指導(dǎo)用書（2016版）》給出的參考答案如下：

解：（1）如圖①，取BC的中點(diǎn)P，作直線AP，把△ABC的面積等分。

（2）如圖②，取CD的中點(diǎn)M，連接AM與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，取BN的中點(diǎn)P，直線AP把梯形ABCD的面積等分。

（3）如圖③，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接AN，取BN的中點(diǎn)P，直線AP把四邊形ABCD的面積等分。

二、與新解的完美邂逅

1.利用平行間之間距離處處相等

作法：連接AC、BD，取BD中點(diǎn)E，作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，直線AF即為所求直線。

思路：由圖①可知，三角形的中線可以等分三角形的面積，所以連接BD，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形。取BD中點(diǎn)E，連接AE、CE，則S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE，所以S△ABE+S△CBE=S△ADE+S△CDE=12S四邊形ABCD。連接AC，作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，則S△AFC=S△AEC，所以S△AFCD=S△ADE+SCDE=12S四邊形ABCD，因此直線AF即為所求直線。

2.巧用數(shù)量關(guān)系

作法：作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，取EC中點(diǎn)F，則直線AF即為所求直線。

思路：因?yàn)锳D∥C、DE∥AB，所以把梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，易得AD=BE。取EC中點(diǎn)F，則BF=BE+EF=12（AD+BE）+12EC=12（AD+BE+EC）=12（AD+BC）。

所以S△ABF=12BF·h=12×[12（AD+BC）]·h

=12S四邊形ABCD（h為四邊形ABCD的高）。

3.延長(zhǎng)梯形兩腰得三角形

作法：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)，取BC中點(diǎn)F，連EF交AD于點(diǎn)G，連接GF并取其中點(diǎn)H，直線AH即為所求直線。

思路：因?yàn)锳D∥BC，所以△EAG相似于△EBF，所以EGEF=AGBF。同理可得，EGEF=DGCF，所以AGBF=DGCF。又因?yàn)镕是BC中點(diǎn)，即BF=FC，所以AG=DG，即G為AD中點(diǎn)。所以F、G是AD、BC中點(diǎn)，所以S四邊形ABFG=12S四邊形ABCD，取GF中點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)I。易得，△AGH≌△IFH，所以S△AGH=S△IFH，所以S△ABI=S四邊形ABFG=12S四邊形ABCD。

三、反思與收獲

1.解題是教學(xué)過(guò)程的基本實(shí)踐活動(dòng)。因?yàn)榛A(chǔ)知識(shí)要通過(guò)解題來(lái)鞏固，解題方法也要通過(guò)實(shí)踐來(lái)強(qiáng)化，這道題之所以學(xué)生又提出這么多的想法，就是在這樣的解題實(shí)踐過(guò)程中產(chǎn)生的，同時(shí)學(xué)生的思維品質(zhì)在這個(gè)過(guò)程中也得到了提高、優(yōu)化。

2.解題是教師專業(yè)成長(zhǎng)的必不可少的前提。在教學(xué)中，教師應(yīng)該更多地去追求一題多解，這樣才能打開自己的思維。也只有教師有一題多解的意識(shí)和能力，才能培養(yǎng)出具備一題多解能力的學(xué)生。教師對(duì)于解題教學(xué)的思考還要進(jìn)一步深入研究，一題多解的教學(xué)意義和實(shí)踐意義往往要比講題大很多。

3.以學(xué)生為主體，更多的關(guān)注學(xué)生。對(duì)于學(xué)生而言，此乃新題，絕大多數(shù)學(xué)生應(yīng)該是沒有見過(guò)，學(xué)生對(duì)此題有著全新的思考，老師不應(yīng)該只關(guān)注自己的教學(xué)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維的形成。此題雖然花了很多時(shí)間，但給了學(xué)生更多的思考的過(guò)程，學(xué)生的思維有了更多的碰撞的機(jī)會(huì)，也就擦出了這么多精彩的火花。endprint