把握問題關(guān)聯(lián)，銜接拓展促解

楊振

[摘? 要] 銜接生長(zhǎng)性幾何題是近幾年中考的常見題型，問題設(shè)置具有層次性、遞進(jìn)性和銜接性. 由于問題的條件、結(jié)論存在緊密的關(guān)聯(lián)，所以求解時(shí)需要充分利用問題的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行思維的遞進(jìn)思考. 本文結(jié)合中考題對(duì)生長(zhǎng)性幾何問題進(jìn)行深度剖析，并開展解后反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流、探討.

[關(guān)鍵詞] 幾何;正方形;生長(zhǎng);銜接

真題解析，解法點(diǎn)評(píng)

考題1 （2017年安徽中考）已知一正方形ABCD，邊AB的中點(diǎn)為M.

（1）如圖1，點(diǎn)G為線段CM上一點(diǎn)，且∠AGB=90°，連接AG，BG，并延長(zhǎng)，分別交邊BC，CD于點(diǎn)E和點(diǎn)F.

①試證明：BE=CF;

②試證明：BE²=BC·CE.

（2）如圖2，在邊BC上取一點(diǎn)E，使其滿足條件BE2=BC·CE，連接AE，交CM于點(diǎn)G，再連接BG并延長(zhǎng)后交CD于點(diǎn)F，試求tan∠CBF的值.

分析 （1）①要證BE=CF，可以將其放在Rt△ABE和Rt△BCF中，通過證明三角形全等來獲得. ②由于涉及邊之間的乘積關(guān)系，所以可嘗試通過三角形相似以及等角代換來證明，即先證明△CEG與△CGB相似，根據(jù)相似性質(zhì)得CG²=CE·CB，然后結(jié)合CG=BE完成證明.

點(diǎn)評(píng)? 本題為涉及正方形的幾何綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及黃金分割點(diǎn)等知識(shí). 本題有兩個(gè)小問，兩者之間有著緊密的聯(lián)系. 第（2）問是對(duì)第（1）問的拓展生長(zhǎng)，即后一問的條件是在前一問結(jié)論上的變式拓展，問題設(shè)計(jì)具有鮮明的層次性和遞進(jìn)性. 在問題的求解過程中，均是基于不同的條件進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，將待求結(jié)論放在基礎(chǔ)圖形中利用三角形全等或相似的性質(zhì)來求解，尤其是第（2）問，巧妙地將第（1）問線段的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的黃金分割點(diǎn)，利用其線段的比例關(guān)系實(shí)現(xiàn)三角形正切的求值. 對(duì)于中考具有拔高生長(zhǎng)性的問題，在求解后一問時(shí)需要充分利用前一問結(jié)論和解題思路的啟示作用，基于問題情境進(jìn)行轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問題條件的銜接性思考，對(duì)待求結(jié)論進(jìn)行拓展性分析.

考題銜接，題型再析

近幾年中考幾何綜合題特別注重設(shè)問的層次性和遞進(jìn)性，初始問題起點(diǎn)較低，平淡中蘊(yùn)含幾何規(guī)律，之后的問題是對(duì)前者的銜接與拓展，可利用前一問題的結(jié)論逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維的深層探索，充分挖掘結(jié)論的一般性. 題型的設(shè)置呈現(xiàn)“低起點(diǎn)，高產(chǎn)出”的特點(diǎn)，下面筆者對(duì)同類型的幾何綜合題進(jìn)行深度剖析.

考題2? （2015年四川甘孜、阿壩中考）現(xiàn)有一正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別位于正方形的邊BC，CD上，且AF與DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)時(shí)，有：①AF=DE;②AF⊥DE成立. 試探究下列問題：

（1）如圖4，如果點(diǎn)E不為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F不為CD的中點(diǎn)，且CE=DF，試探究上述結(jié)論①②是否依然成立，并說明理由.

（2）如圖5，如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB，DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，試判斷上述結(jié)論①②是否依然成立. 如果成立，請(qǐng)寫出具體的證明過程;如果不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖6，在（2）成立的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，如果點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，試判斷四邊形MNPQ是“矩形”“菱形”“正方形”中的哪一種，并證明結(jié)論.

分析 （1）證明結(jié)論①②，可以將其放在三角形中，通過證明三角形全等來獲得證明條件，如證明△ADF≌△DCE. 利用全等性質(zhì)可得AF=DE，∠DAF=∠CDE，通過角度的代換可得∠ADG+∠DAF=90°，從而∠AGD=90°，于是AF⊥DE.

（2）同（1）的證明思路和步驟一樣，此處不贅述.

評(píng)析 本題的設(shè)問采用“移步換景”的變換方式，對(duì)結(jié)論的探究從特殊到一般逐層遞進(jìn)，最終利用所證結(jié)論求證了后者的拓展性問題. 與考題1所不同的是，設(shè)問關(guān)系存在差異，考題1的設(shè)問主要是對(duì)條件與結(jié)論的轉(zhuǎn)化，而考題2的設(shè)問則是對(duì)一般規(guī)律的逐步探索，以“求證—應(yīng)用”的模式完成題型設(shè)置，總體來說均是對(duì)銜接、生長(zhǎng)性問題設(shè)計(jì)的充分體現(xiàn).

解后之思，教學(xué)之思

1. 學(xué)習(xí)銜接問題，提升解題思維

上述所解析的兩道幾何綜合題均是銜接生長(zhǎng)性的典型題，具有低起點(diǎn)、高產(chǎn)出的鮮明特點(diǎn)，問題的設(shè)置層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣，逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的思維活動(dòng). 每一問的條件、結(jié)論、解題策略均不是獨(dú)立存在的，對(duì)于后面的問題探索均有重要的啟示作用. 該類題型的設(shè)計(jì)是對(duì)復(fù)雜問題的簡(jiǎn)化變形，其不僅可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，還對(duì)學(xué)生的思維有一定的引導(dǎo)作用. 在實(shí)際教學(xué)中，教師可以合理地編排練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的結(jié)論和條件進(jìn)行變式、拓展，以提升學(xué)生思維的開放性、連續(xù)性和遞進(jìn)性，從而形成獨(dú)立的解題思維.

2. 掌握基礎(chǔ)知識(shí)，系統(tǒng)歸納整理

幾何綜合題一般來說涉及的知識(shí)點(diǎn)多、圖形復(fù)雜、問題抽象，求解過程需要不斷地對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形，逐步建立起條件與結(jié)論之間的聯(lián)系. 但無論問題的復(fù)雜程度如何，最終都需要利用幾何基本性質(zhì)和定理來求解. 以上述考題為例，解題過程涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的性質(zhì)及判定、三角形中線、三角函數(shù)等知識(shí)，因此基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度直接影響著學(xué)生的解題效率. 教學(xué)中，我們要立足教材基礎(chǔ)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生掌握最基本的知識(shí)、技能、思想，并對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，提升知識(shí)運(yùn)用的靈活度.

3. 解讀概念定義，提煉基本圖形

圖形幾何作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，中考基于該內(nèi)容主要考查學(xué)生的思維能力和推理能力，尤其體現(xiàn)在具有銜接生長(zhǎng)性的問題之中. 對(duì)該類問題的求解離不開對(duì)問題信息條件的整合、轉(zhuǎn)化，以及對(duì)復(fù)合圖形的提煉、分離. 對(duì)圖形語(yǔ)言的表達(dá)、理解，以及對(duì)基本圖形的提煉，都將影響解題思路的探索過程. 因此，在教學(xué)中，教師有必要對(duì)教材的概念、定理進(jìn)行語(yǔ)言符號(hào)的相互轉(zhuǎn)化，以幫助學(xué)生深度理解其本質(zhì)內(nèi)涵，同時(shí)需要結(jié)合直觀的基本圖形對(duì)公式、定理進(jìn)行釋義、解讀，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形特征和性質(zhì)的理解，從而有效提升學(xué)生提煉基本圖形的能力.

結(jié)束語(yǔ)

具有銜接、生長(zhǎng)性的幾何綜合題在問題設(shè)計(jì)上具有緊密的關(guān)聯(lián)性，該類題不僅對(duì)學(xué)生的解題思路具有一定的引導(dǎo)作用，對(duì)學(xué)生的解題思維也具有拓展作用. 求解時(shí)，需要緊密把握問題之間的關(guān)聯(lián)信息，有效利用已有條件、結(jié)論和思路進(jìn)行思維深層拓展. 教學(xué)中，需要教師立足教材內(nèi)容，扎實(shí)學(xué)生基礎(chǔ);開展概念、定義的語(yǔ)言互化，結(jié)合基本圖形加深學(xué)生對(duì)公式、定理的理解，提升學(xué)生基本圖形的提煉能力;適當(dāng)?shù)貙?duì)習(xí)題進(jìn)行變式、拓展，使學(xué)生形成獨(dú)立的解題思維. 總之，初中教學(xué)是知識(shí)內(nèi)容與推理思維的雙重活動(dòng)，結(jié)合考題進(jìn)行實(shí)踐教學(xué)可以提升教學(xué)的實(shí)效性.