基于核心素養(yǎng)視角的數(shù)學測評研究

何萍 章才岔

[摘? 要] 對核心素養(yǎng)的研究應落實到數(shù)學學習評價領域，本文以2017年溫州中考試題為例，進行基于核心素養(yǎng)的數(shù)學測評研究，探究數(shù)學核心素養(yǎng)的教學與評價，并給出建議.

[關鍵詞] 數(shù)學核心素養(yǎng);數(shù)學測評;四基

問題提出

數(shù)學核心素養(yǎng)蘊含在知識的發(fā)生、發(fā)展和應用過程中，又超越具體的知識和技能. 《義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）（以下簡稱《課標》）提出的10個核心概念對應著普通高中數(shù)學課程標準六大數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析. 2014年3月，中國教育部《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中指出，落實立德樹人首要環(huán)節(jié)是明確研究制定學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學業(yè)質量標準，明確學生完成不同學段、不同年級、不同學科學習內(nèi)容后應該達到的程度要求. 這一要求直指需要擴展視野，將對核心素養(yǎng)的研究落實到數(shù)學學習評價領域.

浙江省教育廳教研室頒發(fā)《2017年浙江省初中畢業(yè)升學考試說明·數(shù)學》明確中考命題指導思想：嚴格遵循《課標》重視對“四基”的考查，注重通性通法;適當考查應用意識和用數(shù)學觀點分析、解決問題的能力，適當考查在具體情境中從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力;重視對學習過程的評價，設計有層次的問題考查學生的不同水平，考查通過合情推理探索數(shù)學結論、運用演繹推理證明結論的能力等. 以2017年溫州中考試題為例，進行基于核心素養(yǎng)的數(shù)學測評研究，探究數(shù)學核心素養(yǎng)教學與評價.

對試卷結構與數(shù)學核心素養(yǎng)的

考查

1. 試卷整體結構

2017 年溫州市初中數(shù)學畢業(yè)升學考試試題結構合理，知識覆蓋面廣，重點突出，難易比例適當. 試卷在保持溫州原有中考風格的基礎上，設計了更能體現(xiàn)新課程理念、更為靈活的試題. 在考查學生對核心知識理解、掌握程度的同時，進一步考查學生將知識遷移到類似情境的能力，從而檢測學生已有的和潛在的后續(xù)學習能力，體現(xiàn)考基礎、考能力、考素質的學業(yè)評價目標測試. 對促進《課標》課程目標的落實、教師教學理念的轉變、教師教學行為的改善、學生學習方式的創(chuàng)新、銜接高中學習具有積極的導向作用.

2017年溫州中考試題滿分150分，考試時間120分鐘，共設置24題. 其中客觀題16個，共70分，主觀題8個，共80分. 整套試題閱讀量較大，圖文并茂，難度嚴格按照學業(yè)考試說明的7 ∶ 2 ∶ 1的要求進行編制，著重考查了基礎知識和學生解決實際問題的能力. 同時，該卷對學生探究能力、邏輯推理能力的考查做了很好的嘗試.

2. 數(shù)學核心素養(yǎng)的考查

該套試題充分考查數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學能力，將“四基”“四能”融為一體，結合數(shù)學思想、數(shù)學思維能力與數(shù)學核心素養(yǎng)等方面的要求設計了多樣、靈活的設問形式，全面檢測考生的數(shù)學知識和遷移運用能力，尤其是客觀題第10題、第16題和主觀試題對數(shù)學核心素養(yǎng)考查突出. 主要試題的內(nèi)容領域、“四基”指向和考查的核心素養(yǎng)見表1.

典型試題分析

根據(jù)喻平的核心素養(yǎng)評價框架，把6個核心素養(yǎng)劃分為3個水平，如表2.

下面選擇典型考題對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查進行解讀. 由于數(shù)學核心素養(yǎng)是綜合地體現(xiàn)在每一個問題中，一個題目很難獨立考查某個數(shù)學核心素養(yǎng)，這里關注試題中較為側重的數(shù)學核心素養(yǎng)并進行討論.

1. 數(shù)學抽象素養(yǎng)的考查

第8題：我們知道方程x²+2x-3=0的解是x₁=1，x₂=-3，現(xiàn)給出另一個方程（2x+3）²+2（2x+3）-3=0，它的解是（）

A.x₁=1，x₂=3? ? ? ? ? ? ? ?B. x₁=1，x₂=-3

C.x₁=-1，x₂=3? ? ? ? ? ? ?D. x₁=-1，x₂=-3

數(shù)學素養(yǎng)考查方式分析：數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng). 題目以方程為背景，通過抽象、概括認識兩條方程的本質及聯(lián)系，考查整體思想，考查一元二次方程的概念、方程的解等知識. 本題考查數(shù)學抽象水平A₂，同時考查數(shù)學運算水平C₁ .

學生作答分析：數(shù)學抽象能力薄弱的學生，需要將第二條方程先化簡再求值，容易造成計算錯誤，且浪費時間.

2. 邏輯推理素養(yǎng)的考查

第21題：如圖1，在△ ABC 中， AC=BC ，∠ ACB =90°，⊙O（圓心O在△ABC內(nèi)部）經(jīng)過B ，C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F，延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D. （1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形;（2）若BC =3，tan∠DEF=2，求BG的值.

數(shù)學素養(yǎng)考查方式分析：邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程. 本題改編自八年級下冊教材作業(yè)題，考查圓的性質、直線與圓相切、平行四邊形的判定、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的性質等，反映演繹推理與合情推理的關系，試題結合邏輯推理和數(shù)學運算考查，學生需要對圖形進行分解、提煉、聯(lián)想、重構，有效解決問題. 考查邏輯推理水平R₂.

學生作答分析：邏輯推理素養(yǎng)弱的學生表現(xiàn)為找不到輔助線的添法，說明由條件與基本圖形性質推理相關結論的能力、聯(lián)想相關知識作輔助線構造出相關的“基本圖形”的合情推理能力、問題分析的推理能力都有待提高.

數(shù)學運算薄弱的學生會出現(xiàn)勾股定理應用錯誤，或三角函數(shù)計算錯誤等.

3. 數(shù)學建模素養(yǎng)的考查

第16題：小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖2）. 完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點 A 、出水口 B 和落水點 C 恰好在同一直線上，點 A 到出水管 BD 的距離為12 cm，洗手盆及水龍頭的相關數(shù)據(jù)如圖 3 所示，現(xiàn)用高 10.2 cm 的圓柱形水杯去接水，若水流所在拋物線經(jīng)過點 D 和杯子上底面中心 E ，則點 E到洗手盆內(nèi)側的距離 EH為______cm.

數(shù)學素養(yǎng)考查方式分析：數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程. 本題數(shù)學建模體現(xiàn)在將生活實例抽象成數(shù)學圖形，從圖形與圖形關系、數(shù)量與數(shù)量關系中建立數(shù)學模型，考查二次函數(shù)、方程、直角三角形、平行線、三角函數(shù)等知識. 考查數(shù)學建模M₃，同時考查數(shù)學抽象A₂、邏輯推理R₂、數(shù)學運算C₂.

學生作答分析：學生缺少建模經(jīng)驗，首先表現(xiàn)為自然語言無法抽象為圖形語言，建模出現(xiàn)困難，具體步驟不知如何實施，從圖形信息中找不到解題切入點. 其他常見的錯誤還有：坐標系位置建立不妥當，用近似數(shù)求解，審題不仔細，只求得點 E 到水管的距離，計算素養(yǎng)表現(xiàn)不強. 在數(shù)學建模核心素養(yǎng)的形成過程中，需要加強積累運用數(shù)學知識求解、驗證、完善模型的經(jīng)驗. 數(shù)學建模往往伴隨著數(shù)學抽象，所以也要重視數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的形成，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗.

4. 直觀想象素養(yǎng)的考查

數(shù)學素養(yǎng)考查方式分析：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程. 該題屬于動態(tài)探究綜合題，考查了三角形、圓、方程、三角函數(shù)、對稱性等初中數(shù)學核心知識，蘊含著方程思想、分類討論思想、轉化思想、對稱變換思想等重要的數(shù)學思想方法. 通過動點 P 的位置變化，帶動圓及整個圖形的相對運動，運動中隱含著不變性，巧妙地將圓與三角形有機結合在一起，同時又通過引入另一動點 Q，增加了題目的探究性. 在整個變化過程中更巧妙之處在于始終有AB等于AC，MD平行AP，而學生在解題的全過程中需抓住變化過程中的不變關系. 考查直觀想象水平I₃，還考查邏輯推理R₃、數(shù)學運算C₃等數(shù)學素養(yǎng).

學生作答分析：直觀想象素養(yǎng)較強的學生能根據(jù)文字條件描述畫出運動變化中的圖形，找到變化中的不變性質，從而找到解決此題的突破口. 這既是解決動態(tài)幾何問題的核心，也是函數(shù)研究的主要性質. 而此素養(yǎng)較弱的學生會將此圖看成靜態(tài)圖形，難以在具體情境和圖形之間進行轉化，從而造成思維障礙. 具體表現(xiàn)為不會畫圖（即失去了直觀的工具），分類遺漏，幾何圖形性質選擇不恰當致使推理錯誤. 學生綜合運用數(shù)學知識的能力有待提高，直觀想象、邏輯推理、運算素養(yǎng)現(xiàn)狀不盡人意.

5. 數(shù)學運算素養(yǎng)的考查

數(shù)學素養(yǎng)考查方式分析：數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程. 本題模型來自八年級下冊第5章的作業(yè)題，輔以坐標系和二次函數(shù)為背景，將一次函數(shù)與平行線、三角形有機結合在一起，考查了二次函數(shù)的相關性質、軸對稱變換、三角形三邊關系、一次函數(shù)表達式等知識，體現(xiàn)了對數(shù)學運算素養(yǎng)、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)的綜合考查. 考查數(shù)學運算水平C₂.

在解決BD最小值時，確定D點位置錯誤：認為BD⊥CD，認為CD=BD，認為D是OB中點，認為當四邊形CPOD是正方形時，BD為最小值，認為D落在（8，0）時BD有最小值，這些錯誤均反映出學生的直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)有待提高.

6. 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查

第 19 題：為培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣，某校七年級準備開設“神奇魔方”“魅力數(shù)獨”“數(shù)學故事”“趣題巧解”四門選修課（每位學生必須且只選其中一門）. （1）學校對七年級部分學生進行選課調查，得到如圖6所示的統(tǒng)計圖. 根據(jù)該統(tǒng)計圖，請估計該校七年級 480名學生選“數(shù)學故事”的人數(shù);（2）學校將選“數(shù)學故事”的學生分成人數(shù)相等的A ，B ，C三個班，小聰、小慧都選擇了“數(shù)學故事”，已知小聰不在 A 班，求他和小慧被分到同一個班的概率. （要求列表或畫樹狀圖）

數(shù)學素養(yǎng)考查方式分析：數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程. 主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論. 本題以學生身邊的選課問題為背景設計問題，綜合了平均數(shù)、概率等基本知識，通過對選課的調查，讓學生估計總體的情況，體現(xiàn)了運用數(shù)據(jù)觀念分析解決實際問題的命題意圖. 考生要認真閱讀題目，在理解題意的基礎上通過計算平均數(shù)，用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，通過列表或畫樹狀圖求得答案. 考查數(shù)據(jù)分析水平D₂.

結論與建議

根據(jù)上述研究，得到以下結論：（1）加強核心知識與數(shù)學核心素養(yǎng)的考查是中考命題的主導方向;（2）創(chuàng)新情境下的知識遷移運用能力的考查，是數(shù)學核心素養(yǎng)評價的必要途徑;（3）邏輯推理和數(shù)學運算是問題解決的必備技能，落實在數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的過程中;（4）直觀想象是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)，要在數(shù)學思維活動的過程中有意識地進行滲透和培養(yǎng).

為數(shù)學核心素養(yǎng)教學與評價現(xiàn)狀提供如下建議：（1）研讀《標準》和《說明》，重視和加強四基教學;（2）注重以生為本，立足能力培養(yǎng)和素養(yǎng)提升;（3）加強“過程性”教學，關注知識發(fā)生發(fā)展的過程;（4）理解數(shù)學，重視數(shù)學思想方法的歸納、總結和運用;（5）開展基于核心素養(yǎng)的命題研究，實現(xiàn)甄別性評價向發(fā)展性評價的轉變.