從線性方程組到線性代數(shù)

楊瀟

【摘要】本文基于線性代數(shù)課程內(nèi)容抽象，知識點豐富，學(xué)生掌握起來比較困難的特點，通過對線性代數(shù)教與學(xué)實踐經(jīng)驗的總結(jié)，在已有教學(xué)方法的基礎(chǔ)上，探討從線性方程組到線性代數(shù)整個課程的一種教學(xué)思路.

【關(guān)鍵詞】線性方程組;線性代數(shù);教學(xué)思路

【基金項目】本文感謝鄭州大學(xué)教學(xué)改革研究與實踐項目的支持，項目名稱：《線性代數(shù)》教學(xué)改革的研究與實踐.

線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個分支，主要研究線性問題.一方面，就課程本身而言，內(nèi)容十分豐富，涉及行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、二次型乃至向量空間多個方面;有相對簡單的“線性”關(guān)系，即從幾何上看表示直的關(guān)系，又有相對困難的增加課程抽象性的“代數(shù)”問題，即用符號代替元素和運算的問題.另一方面，隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，科技的日新月異，各學(xué)科之間的相互融合，線性代數(shù)作為高等院校的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課，其重要性不言而喻;同時教學(xué)上又面臨需在有限課時內(nèi)，使學(xué)生全面掌握課程內(nèi)容，形成較強邏輯思維能力的挑戰(zhàn).因此，講究授課方法，幫助學(xué)生順利完成學(xué)習(xí)任務(wù)成為教學(xué)者普遍關(guān)注的問題.本文將探討一種從線性方程組開始，聯(lián)系整個課程內(nèi)容的教學(xué)思路.該思路是在麻省理工學(xué)院線性代數(shù)課程公開課的啟發(fā)下形成的，其主要內(nèi)容將在下文中一一闡述.

一、線性方程組解的幾何表示

求解線性方程組是線性代數(shù)課程的一個重要內(nèi)容，通過對該內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以把線性代數(shù)各部分內(nèi)容緊密相連.作為開始，我們來討論線性方程組解的幾何表示.

以2×2的線性方程組的解為例.下面的2×2的線性方程組

x-2y=0，2x+y=5.

解的幾何表示分為兩種情形.一是以方程組的行為觀察對象，其解可以看成分以行向量α1=（1，-2），α2=（2，1）為方向向量的兩條直線x-2y=0和2x+y=5的交點;二是以方程組的列為觀察對象，其解可以看成兩個2維列向量β1=（1，2）T和β2=（-2，1）T線性組合的組合系數(shù)，具體表為

x12+y-21=05.

類似地，3×3線性方程組也有兩種幾何表示.行表示：方程組的解是三個平面的交點;列表示：方程組的解是三個3維列向量的線性組合系數(shù).

我們進一步分析方程組的上述幾何表示，得到下面內(nèi)容.

二、向量空間部分概念的引入

對于線性方程組的行表示，方程組的解就是求交點.在2、3維情況下，我們有具體的幾何對象與之對應(yīng)，交點可以通過畫圖求得，然而高維情況就復(fù)雜多了.此時，無法具體畫出圖像，我們將如何判斷是否有交點，以及交點有多少個呢？在上例列表示等式中，右端列向量對應(yīng)的表示系數(shù)為x=2，y=1.我們將列表示擴展一下，提出問題：是否在列表示等式右端任意給定一個列向量都能有相應(yīng)的x，y與之對應(yīng)呢？

為解決這些問題，我們可以引入向量空間中的一些概念，首先是向量組的線性相關(guān)性.對于上述2×2的例子，因向量α1與α2線性無關(guān)，知有唯一交點;因β1與β2無關(guān)，知有唯一表示.這一結(jié)論不僅能推廣至高維，對于方程個數(shù)與未知量個數(shù)不等的方程組一樣適用.對于第二個問題，在左端向量線性無關(guān)的情況下，我們能唯一找到對應(yīng)的x和y.同時，第二個問題實際上反映了向量空間中的維數(shù)，基與坐標問題，這些在課程的學(xué)習(xí)中將具體講述.

上段中我們只說明了向量組線性無關(guān)時的情況，當線性相關(guān)時如何處理呢，我們需學(xué)習(xí)下面內(nèi)容.

三、矩陣與行列式

引入矩陣概念，上述方程組可以通過矩陣乘法來表示

1-221xy=05.

記矩陣A=1-221，則{α1，α2}，{β1，β2}分別稱為矩陣A的行、列向量組.

此時，判斷向量組的相關(guān)性可以用求行列式法，方陣的行列式為零，則其行、列向量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān);也可以用矩陣初等變換法，將矩陣進行初等變換求得矩陣的秩，秩比矩陣的階數(shù)小，則向量組線性相關(guān)，秩與矩陣的階數(shù)相同則無關(guān).

然而行列式的判斷法僅適用于方陣，當矩陣非方陣時，可以用矩陣的初等變換法.

至此，我們在討論2×2線性方程問題解的基礎(chǔ)上，融入了線性代數(shù)課程的其他內(nèi)容.事實上，行列式產(chǎn)生于求解線性方程組，由萊布尼茨和關(guān)孝和發(fā)明.而較為明確完整的行列式的定義和展開法則的闡述則是由克萊姆給出的，同時這位數(shù)學(xué)家還給出了求解未知量和方程個數(shù)相等的利用行列式求解的克萊姆法則.而矩陣的概念由凱萊提出，史密斯和道奇森給出了利用矩陣的初等變換求解任意形式的線性方程組的方法.在矩陣論的形成中，凱萊還提出了特征方程和特征值理論，求解矩陣的特征值及特征向量又要用到計算行列式及求解線性方程組.之后課程內(nèi)容中，二次型的化簡又需要用到特征方程的概念.

總之，線性代數(shù)的內(nèi)容雖然較多，但彼此聯(lián)系，抽象問題都有具體對象與之對應(yīng).因此，我們從線性方程組的求解出發(fā)，由具體到抽象，由點到面地進行講解，是一種可行的思路，對于更好地把握課程內(nèi)容，達到學(xué)習(xí)目標是有意義的.

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