實變函數(shù)極限的求法

鄧琴

【摘要】本文主要研究高等數(shù)學(xué)中函數(shù)極限的求法，對函數(shù)極限的求法做較系統(tǒng)的歸納總結(jié)，給出了幾種常用的方法和技巧.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)極限;高等數(shù)學(xué);實變函數(shù)

一、十三種常用的方法

函數(shù)極限的求法是高等數(shù)學(xué)中的重點和難點.函數(shù)極限的求解方法靈活多樣，而且目前的教科書對函數(shù)極限的求法沒有做較系統(tǒng)的歸納.本文主要研究函數(shù)極限法，對其求法做較系統(tǒng)的歸納總結(jié)，給出十三種常用方法.

1.利用函數(shù)極限定義求極限.

2.利用函數(shù)極限的四則運算法則求極限.

3.利用左極限和右極限求極限.

4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限.

5.若極限為00型，可通過因式分解或有理化的方法，然后消去分子、分母的零因子，再求極限或利用已知結(jié)果求極限.

6.若極限為∞∞型的有理分式的形式，則利用下面這個公式來求極限：

limx→∞a0xm+a1xm-1+…+amb0xn+b1xn-1+…+bn=a0b0，當n=m，0，當n>m，∞，當n<m，

其中，a0≠0，b0≠0，m，n為非負整數(shù).

7.若極限為∞-∞型，一般通過通分或有理化，消去零因子，再求極限.

8.利用兩個重要極限公式求極限.

9.利用無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小的性質(zhì)求極限.

10.利用等價無窮小代換的方法求乘積的極限.

11.利用夾逼準則求極限.

12.利用洛必達法則求極限.

13.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限.

二、應(yīng)用舉例

例1 求 limx→1xn+1-（n+1）x+n（x-1）2.

解 此函數(shù)極限屬于00型，利用因式分解消去分子、分母的零因子，所以，

原式=limx→1x（xn-1）-n（x-1）（x-1）2

=limx→1x（x-1）（xn-1+xn-2+…+x+1）-n（x-1）（x-1）2

=limx→1[（xn-1+xn-2+…+1）+（xn-2+xn-3+…+1）+…+1]（x-1）2（x-1）2

=n+（n+1）+…+1

=n（n+1）2.

例2 求 limx→∞cosxex-e-x.

解 利用無窮小與有界量的乘積還是無窮小的性質(zhì)，所以，原式=0.

例3 求 limx→0ax+bx+cx31x.

解 此函數(shù)極限屬于1∞型，利用重要極限公式和等價無窮小替換定理，所以，

原式=limx→01+ax+bx+cx-333ax+bx+cx-3ax+bx+cx-33x，

又因為 limx→0ax+bx+cx-33x

=13limx→0ax-1x+bx-1x+cx-1x

=13lnabc，

所以，原式=e13lnabc=（abc）13.

三、小 結(jié)

在求函數(shù)極限之前，我們需要先判斷此函數(shù)極限是屬于什么類型的極限，再用對應(yīng)的方法去求.而且，有些函數(shù)的極限是可以采用幾種方法求解，或者必須有幾種方法的結(jié)合才能解出來，這就需要大家在做題時靈活運用這些方法.

【參考文獻】

[1]李偉.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程[M].天津：天津大學(xué)出版社，2004.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]劉玉蓮.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.