姚廷監(jiān)
【摘 要】數(shù)學(xué)思想方法反映著數(shù)學(xué)觀(guān)念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質(zhì),是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的橋梁?;瘹w思想就是把待解決的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程,歸結(jié)到已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題中去,最終求得原問(wèn)題之解答的一種手段和方法?;瘹w思想是初中數(shù)學(xué)中一種常用的重要的數(shù)學(xué)思想,它能使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),化難為易,提高學(xué)生的綜合解題能力。文章從化歸思想的特性出發(fā),結(jié)合具體案例進(jìn)行分析并提出了培養(yǎng)學(xué)生化歸思想的有效策略。
【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);化歸思想;案例研究
數(shù)學(xué)思想方法反映著數(shù)學(xué)觀(guān)念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質(zhì),是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的橋梁。在數(shù)學(xué)中,我們通常采用化歸思想方法,提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。化歸思想,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想,它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)。對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō),能熟練、靈活運(yùn)用這一方法,可減輕不少負(fù)擔(dān),更會(huì)因此而愛(ài)上數(shù)學(xué)。因此,化歸思想為提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)揮著重要的作用。
一、化歸思想的特性
(一)設(shè)計(jì)化歸目標(biāo),確保化歸實(shí)效
化歸作為一種思想方法,包含了化歸的目標(biāo)以及化歸的方法和途徑三個(gè)要素。因此,化歸思想方法的實(shí)施應(yīng)有明確的對(duì)象,要設(shè)計(jì)好目標(biāo),選擇好方法。而設(shè)計(jì)目標(biāo)是問(wèn)題的關(guān)鍵。設(shè)計(jì)化歸目標(biāo)時(shí),要把要解決的問(wèn)題化歸為規(guī)律問(wèn)題,同時(shí)還要考慮到化歸目標(biāo)的設(shè)計(jì)與化歸方法的可行性、有效性。
(二)力求等價(jià)性,確保邏輯正確
化歸包括等價(jià)化歸和非等價(jià)化歸。中學(xué)數(shù)學(xué)中的化歸多為等價(jià)化歸,等價(jià)化歸要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為原題的結(jié)果。
(三)注重多樣性,研究轉(zhuǎn)化方案
在轉(zhuǎn)化過(guò)程中,同一轉(zhuǎn)化目標(biāo)的達(dá)到,往往可能采取多種轉(zhuǎn)化途徑和方法。因此研究設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)單便捷的轉(zhuǎn)化途徑是十分必要的,必須避免什么問(wèn)題都生搬硬套的方法,以免造成繁難不堪。
二、化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用案例
(一)把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊問(wèn)題
把新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題,運(yùn)用學(xué)生熟悉的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決。同樣,能將待解決的新問(wèn)題化歸為一個(gè)比較熟悉的問(wèn)題,就可以將已知的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)用于面臨的新問(wèn)題,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍學(xué)生的思維,那么就更有利于問(wèn)題的解決。
例如,教材中解二元一次方程是通過(guò)降次化歸成一元一次方程;解二元一次方程組或三元一次方程組是通過(guò)消元化歸成一元一次方程或二元一次方程組;解分式方程是化歸成整式方程;異分母分?jǐn)?shù)的加減法,通過(guò)通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法;多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來(lái)解決;梯形的中位線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線(xiàn)來(lái)解決。這些問(wèn)題都是通過(guò)化新問(wèn)題為舊問(wèn)題,從而使問(wèn)題得以解決。
(二)特殊問(wèn)題與一般問(wèn)題的轉(zhuǎn)化
特殊問(wèn)題與一般問(wèn)題的轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)化歸的常用方法之一,其主要是利用學(xué)生學(xué)過(guò)的各種知識(shí)和數(shù)學(xué)的整體統(tǒng)一思想,將碰到的難解決的特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的知識(shí)點(diǎn),或?qū)⒁话愕膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題,然后通過(guò)套用公式或定理等解決問(wèn)題。
例如:如圖,已知兩個(gè)半圓,大半圓的弦AB與小半圓相切,且AB∥CD。AB=6cm,求圖中陰影部分的面積。
(三)化代數(shù)問(wèn)題為幾何問(wèn)題
化代數(shù)問(wèn)題為幾何問(wèn)題,即為數(shù)形結(jié)合。我們往往把函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)形式中的量與量的關(guān)系,與幾何圖形的位置關(guān)系相結(jié)合,以形論數(shù)或以數(shù)論形。因數(shù)能入微,形可直觀(guān),二者結(jié)合起來(lái)能使隱含的條件明顯化,使抽象的概念形象化,使繁雜的運(yùn)算簡(jiǎn)捷化,最終靈活、直觀(guān)地解決問(wèn)題。
三、化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略
(一)注重基礎(chǔ)知識(shí),完善知識(shí)結(jié)構(gòu)
具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、掌握完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)化歸的基礎(chǔ)。教學(xué)實(shí)踐告訴我們,區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)等生與差生的第一標(biāo)準(zhǔn)就是基礎(chǔ)知識(shí)及知識(shí)結(jié)構(gòu)掌握的程度。教師在教學(xué)過(guò)程中要夯實(shí)基礎(chǔ)、完善知識(shí)結(jié)構(gòu),重視概念、公式、法則等基本數(shù)學(xué)模型的教學(xué),為尋求化歸目標(biāo)奠定基礎(chǔ);養(yǎng)成整理、總結(jié)數(shù)學(xué)方法的習(xí)慣,為尋求化歸方法奠定基礎(chǔ);完善知識(shí)結(jié)構(gòu),為尋求化歸方向奠定基礎(chǔ)。
(二)培養(yǎng)化歸意識(shí),提高轉(zhuǎn)化能力
數(shù)學(xué)各部分之間的相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透,使之構(gòu)成了縱橫交錯(cuò)的立體空間,我們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,常需要利用這些聯(lián)系對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,使之達(dá)到簡(jiǎn)單化、熟悉化的目的。要實(shí)施轉(zhuǎn)化,首先須明確轉(zhuǎn)化的一般原理,掌握基本的化歸思想和方法,并通過(guò)典型的問(wèn)題加以鞏固和練習(xí)。因此,在平時(shí)的教學(xué)中,我們不斷教會(huì)學(xué)生解題,通過(guò)仔細(xì)地觀(guān)察、分析,由問(wèn)題的條件、圖形特征和求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關(guān)問(wèn)題解法,由此不斷轉(zhuǎn)化,建立條件和結(jié)論之間的橋梁,從而找到解題的思路和方法。
(三)深入數(shù)學(xué)教材,反復(fù)提煉與總結(jié)
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要善于挖掘教材中蘊(yùn)含的化歸思想方法,注意不斷總結(jié)化歸法解題的一般原理,提煉其中蘊(yùn)含的思想方法,把化歸思想方法的教學(xué)融于各個(gè)環(huán)節(jié)之中,讓學(xué)生切實(shí)感受到化歸思想方法的存在形式及其發(fā)揮的作用。在概念形成、運(yùn)用的過(guò)程中滲透化歸思想;在定理、公式的探究和發(fā)現(xiàn)過(guò)程中深化化歸思想方法;在問(wèn)題解決過(guò)程中領(lǐng)悟化歸思想方法;在知識(shí)的歸納總結(jié)過(guò)程中概括化歸思想方法。在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生逐漸悟出數(shù)學(xué)中常常把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)、把一般轉(zhuǎn)化為特殊的解決問(wèn)題的思路和方法。
總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要重視數(shù)學(xué)思想教育,特別是化歸思想在數(shù)學(xué)課中的運(yùn)用,發(fā)揮其功效,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,要讓學(xué)生知道知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程,應(yīng)盡力向?qū)W生滲透化歸思想,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸思想的能力,充分發(fā)揮化歸思想方法的指導(dǎo)作用。對(duì)學(xué)生進(jìn)行化歸思想的培養(yǎng),其目的就是讓學(xué)生形成良好的思維品質(zhì),讓學(xué)生能接受扎實(shí)的素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育,讓學(xué)生健康、全面地發(fā)展。