數(shù)學(xué)問題解答

2017年2月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2346若a≥0,b≥0,c≥0，a+b+c=1，試證：

(1)

(浙江湖州市雙林中學(xué) 李建潮 313012)

證明為證(1)式，先證一個(gè)簡單的結(jié)論：

(2)

事實(shí)上，

?9x2y2≥0，所以，(2)式成立．

再證(1)式：不妨設(shè)a≥b≥c≥0，

則由1-3a2≥0及a+b+c=1，

所以由上式，得

最后，利用(2)式，有

2347在Rt△ABC中，CA≠CB，CD為斜邊AB上的中線，過A作CD的垂線交直線CB于點(diǎn)E，過B作CD的垂線交直線CA于點(diǎn)F，連接EF交線段AB于點(diǎn)P，求證：△AFP的外接圓與△BEP的外接圓在其交點(diǎn)P處的切線互相垂直.

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

證明如圖，在Rt△ABC中，不妨設(shè)CA

延長CD至點(diǎn)Q，使DQ=CD，則四邊形AQBC為矩形.

因∠EGQ=∠EBQ=90°，

故E，G，Q，B四點(diǎn)共圓，QE為此圓的直徑.

因AE⊥CQ，BF⊥CQ，故AE∥BF.

在梯形AFBE中，P為對角線AB和EF的交點(diǎn)，取上底AE的中點(diǎn)M，連接并延長MP交下底BF于點(diǎn)N，易知N為BF的中點(diǎn).

在△DAC中，因DA=DC,MA=MC，故DM⊥AC，又AM⊥CD，從而有CM⊥AD.

在△NBC中，同理得CN⊥BD.

由CM⊥AB及CN⊥AB知CP⊥AB.

在矩形AQBC中，AB和CQ為它的對角線，

因AG⊥CQ于點(diǎn)G，CP⊥AB于點(diǎn)P，

故知四邊形GPQB為等腰梯形，其頂點(diǎn)共圓，

進(jìn)而可知P,Q,B,E,G五點(diǎn)共圓.

綜上，QE為△BEP的外接圓的直徑.

同理，QF為△AFP的外接圓的直徑.

因∠EQF=∠PQE+∠PQF=∠PBE+∠CAP=90°，

故QE⊥QF，且QE,QF分別為△AFP和△BEP的外接圓在其交點(diǎn)Q處的切線.

由對稱性知，上述兩圓在另一交點(diǎn)P處的切線也互相垂直.

2348若△ABC的面積為S,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則

(天津水運(yùn)高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

證明先證鏈中第一個(gè)不等式

(1)

在不等式(1)的兩邊同除以2S,經(jīng)整理可將不等式(1)等價(jià)化為

(1′)

x,y,z>0且xy+yz+zx=1,

那么由萬能公式可得

≥3(x+y+z)

故不等式(1′)成立,從而鏈中第一個(gè)不等式(1)成立.

再證鏈中第二個(gè)不等式的等價(jià)式

(2)

注意到

那么

(3)

由傳遞性知不等式(3)成立,

從而不等式(2)成立,即鏈中第二個(gè)不等式成立.

故知鏈中第三個(gè)不等式也成立.至此原命題不等式鏈全部獲證.

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 張留杰 100020)

證明如圖，分別過點(diǎn)D1、D2作D1F1⊥AC的延長線于點(diǎn)F1，D2F2⊥AC的延長線于點(diǎn)F2，連結(jié)BD1、BD2、CD1、CD2．

因?yàn)?∠BAD1=∠CAD2，

又 ∠BAD2=∠CAD1，

所以Rt△AE2D2～Rt△AF1D1，

由①×②得AE1·AE2=AF1·AF2③

因?yàn)锳、B、D1、C四點(diǎn)共圓，所以∠D1CF1=∠D1BE1，所以Rt△D1E1B～Rt△D1F1C，

因?yàn)椤螧AD1=∠CAD2，所以BD1=CD2；

因?yàn)椤螧AD2=∠CAD1，所以BD2=CD1．

所以 ④×⑤得BE1·BE2=CF1·CF2．

由AE1·AE2=AF1·AF2得

(AB-BE1)(AB-BE2)

=(AC+CF1)(AC+CF2)

?AB2-AB(BE1+BE2)+BE1·BE2

=AC2+AC(CF1+CF2)+CF1·CF2

?AB2-AC2=AB(BE1+BE2)+

AC(CF1+CF2)

當(dāng)且僅當(dāng)AD1、AD2重合為∠BAC的角平分線AE時(shí)取等號．

2350若a,b,c>0,則3(a4+b4+c4)+(ab+bc+ca)2≥6(a2b2+b2c2+c2a2).

(浙江省寧波市甬江職高 邵劍波 315016)

證明

不妨設(shè)a≥b≥c,記兩邊的差為a的函數(shù):

f(a)=3(a4+b4+c4)+(ab+bc+ca)2-

6(a2b2+b2c2+c2a2),

則f′(a)=12a3+2(ab+bc+ca)(b+c)-

6(2ab2+2c2a),

f″(a) =36a2+2(b+c)2-12(b2+c2)

=36a2-10(b2+c2)+4bc>0,

所以f′(a)是增函數(shù),

因此f′(a)>f′(0)=2bc(b+c)>0,

所以f(a)是增函數(shù),

因此f(a)≥f(b)=b4+4b3c+3c4-8b2c2,

同理f(a)≥f(c)=c4+4c3b+3b4-8b2c2,

兩式相加得

2f(a) ≥f(b)+f(c)=4b4+4b3c+4c3b+4c4-16b2c2

≥8b2c2+4bc(b2+c2)-16b2c2

≥4bc·2bc-8b2c2=0,

從而f(a)≥0,原不等式得證.

2017年3月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2351設(shè)a,b,c>0求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

2352設(shè)△ABC的三邊a,b,c上的高分別為ha,hb,hc.外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r.求證：

(四川成都金牛西林巷18號華鑫園A601 宿曉陽 610031)

(江西師范高等專科學(xué)校 王建榮 陳志欽 335000)

2354已知a,b,c是正數(shù)，求證：

(上海市寶山區(qū)寶林六村42號101 姜坤崇 201999)

2355已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xλ+yλ+zλ，求證：當(dāng)λ<1時(shí)xxyyzz≥1，當(dāng)λ>1時(shí)xxyyzz≤1.

(江蘇省常熟市中學(xué) 查正開 215500)