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      數學學習就是一場深度對話

      2017-12-25 00:23:04張格波
      數學通報 2017年3期

      張格波

      (南京市江寧高級中學 211100)

      人們通過對話實現信息的傳遞、思想的交流和情感的表達.就這個角度而言,我們可以認為數學學習就是老師與學生、學生與學生之間的深度對話.通過深度對話,可以讓學生經歷表達一步步完善的過程;通過深度對話,可以讓學生的思考層層深入,逐步抓住本質;通過深度對話,可以讓數學課堂充分發(fā)揮出自己的教育價值.本文試借助于蘇教版《函數周期性》的教學過程,闡述筆者的理解.

      1 數學學習就是深度對話

      事實上,由于各個學生的生活經歷、體驗都不相同,關于周期現象的前概念也不相同,因此即使面對相同的情景,他們說出的理解也不相同.這樣恰好為多角度地理解周期現象提供了可能,教師通過不斷的追問:還可以怎么看?使得學生不斷轉換思路,在不斷的對話中,學生對周期現象的理解走向了深入,逐步完成對函數周期性概念的建構.以下是對話的片段.

      1.1 還可以怎么看?——引領對話走向深入

      教學環(huán)節(jié)1:展現周期現象與周期函數圖像

      1)周期現象很多:時針、天干、地支、屬相、寒來暑往、潮起潮落等.山海關城門對聯刻畫的也是這種現象:海水朝 朝朝朝 朝朝朝落;浮云長 長長長 長長長消.

      2)函數作為對實際生活的一種數學表達,也具有周期性,比如正余弦函數.

      3)問題:這些現象有何共同的特點?

      學生1:很多出現了重復.

      師:什么意思?

      學生1:有些現象一段一段地出現了重復.

      師:什么是一段一段地出現重復?

      學生1:……

      師:還可以怎么看?

      學生2:周而復始.

      師:好,一句話高度概括,簡潔明了,抓住了關鍵.

      師追問:周而復始中的關鍵詞是什么?

      學生2:周,就是間隔;復,就是重復,再次出現.

      師追問:很好,能否說得更加具體呢?比如周是一個間隔,它具有何種特征?

      學生3:它是固定的,不變的.

      師:什么意思?相對誰不變?

      學生3:相對于整個變化過程是不變的,也就是說它是一個常數,常量.

      師追問:很好,周是一個常量,常數.還能認識到其它特征吧?

      學生4:它不能等于零,等于零沒有意義.

      師追問:大家的認識越來越深入,還可以認識到什么?

      學生4:周的整數倍還是周,比如海水漲潮,一天是周期,一月也是周期,整數倍都是周期.

      師:他的結論正確嗎?大家都是這樣認識的?

      學生(眾):是的.

      師:看另一關鍵詞:復,還可以進一步地理解吧?比如,是什么在重復?是怎樣重復的?

      學生5:是某種現象,全部重復出現.

      師追問:進一步解釋清楚,對函數來說:1)你這里“全部”什么意思?2)是什么在重復?

      學生5:所有函數值都重復.就是說,所有函數值每間隔一個周期后,就重復一次.

      師:好,我們將剛才的結論匯總一下,填寫在這張表中再來體會一下.

      周期現象關于周的認識關于復的認識周是什么?誰在重復?怎樣重復?潮起潮落寒來暑往正弦函數余弦函數

      評析在此教學環(huán)節(jié)中,教師通過展現生活中的周期現象與熟悉的周期函數圖像,激活學生原有的生活經驗與前概念;通過在師生之間、生生之間的對話讓學生形成了整體的、模糊的、粗略的認識——周而復始.在這個過程中間,我們發(fā)現口頭語言其實是學生數學思維外顯的載體.讓學生“對話”,就是讓學生通過語言表達他們的思維.

      1.2 這可以作為一般性的判斷依據嗎?——在質疑中,抓住本質

      學生6:雖然我們畫不出它的圖像,但我們還是可以判斷出它是周期函數.

      師:為什么呢?

      師:這能作為一般性的判斷依據嗎?外函數是周期函數的時候,原函數就是周期函數?

      學生:……

      師:前面的經驗是什么?這個函數有“周而復始”的現象嗎?

      師:你怎么就看出來函數值相等的?

      學生7:計算后發(fā)現的.

      師:我想問的是,你怎么想到去看函數值是否相等的?

      師追問其他人:他的判斷方法能作為一般性的判斷依據嗎?

      學生8:不行,他列舉的只是一些特例,不能說明所有都有這種特征.

      學生7:我找不到反例.

      師:找不到反例,說明這個函數可能真的是周期函數,但如何進行一般性的說明呢?

      學生7:……

      學生9:我想起來了,這個函數是周期函數,周期就是2π.

      師:怎么說?

      日語形容詞“旨い”可表示多個義項,如①表示美味,香甜,好吃,飲食物的味道好;②好,巧,善于,順利。對自己有利,自己所期望的狀態(tài);③用于慣用句“旨い汁を吸う”中表示揩油,占便宜,不勞而獲,自己不付出辛苦而得到利益等。④用于慣用句“旨い話し”中表示有利可圖的事情,條件合適和非常方便的事。對于日語形容詞的多個義項現象,學者們進行過較充分的研究。例如,武藤(2001)從認知語言學視角出發(fā),分析了形容詞“甘い”的語義拓展方式,指出其各個義項并非彼此孤立存在而是相互關聯,拓展義基本上都是通過隱喻或轉喻等認知機制對原型義進行的拓展。本文將以“旨い”的多個義項為基礎,通過考察其后續(xù)名詞的詞性來進行分析。

      師:沒有反例?每個人都這樣認為的?

      學生10:沒有反例,上述等式中的自變量可以是任意的,即它是一個恒等式.

      學生11:周期還可以改為π.因為

      師:其他人的認識呢?有不同意見嗎?

      學生:……

      師:受此啟發(fā),回頭看,能否從恒等式的角度來說明y=sinx,(x∈R)是周期函數呢?

      學生12:能,因為sin(x+2π)=sinx,所以y=sinx,(x∈R)是周期函數,周期是2π.

      師(追問):那函數y=cosx,(x≠π)是周期函數嗎?

      學生12:是,因為cos(x+2π)=cosx,所以y=cosx是周期函數,周期也是2π.

      師(追問):其他人的認識呢?有不同意見嗎?

      學生13:不對,它不是周期函數.因為cos(-π)=cosπ,但x≠π,也就是說有一個點無法被重復,因此它不應該是周期函數.

      師(追問):那將函數y=cosx,(x≠π)的定義域怎樣修改,又變成了周期函數呢?

      學生(眾):去掉限制,定義域改為R.

      師(追問):還可以怎樣呢?

      學生:……

      學生14:把那一串都去掉,改為y=cosx,(x≠kπ,k∈Z).

      師(追問):為什么呢?

      學生14:這樣就沒有反例,也就是說cos(x+2π)=cosx,對定義域任意自變量恒成立.

      師(總結):所以說,周而復始,是指所有函數值都要重復,就是等式要恒成立.

      評析在本教學環(huán)節(jié)中,教師通過讓學生判斷一個暫時畫不出圖像的函數是否是周期函數,逼著學生從抽象的解析式這個角度來研究周期性.這樣,學生就必須要想辦法實現用符號化的代數恒等式來刻畫“周而復始”.在學生尋找辦法的過程中,教師反復用“這能作為一般性的依據嗎?”、“其他人的認識呢?有不同意見嗎?”、“為什么?”引導發(fā)言者表述自己的思維過程,同時也引導其他學生去理解、去質疑別人的表述,從而使得所有學生深入理解.因此,“對話”不僅僅意味著讓學生講出不同的想法給他人聽,更重要的是要在理解他人的想法中做出比較和判斷.實際上學習就是在一個群體中互動的體驗過程,就是一個具有“社會協商”性質的主動建構過程[1].

      1.3 我們都知道了什么?——在概括中建立概念,形成理性思維意識

      師:從上述過程來看,關于周期函數,我們都知道了什么?

      學生11:就是周而復始,其中“周”是一個常數,不能為零,它的整數倍也是周期;“復”就是函數值出現重復,就是自變量增加周期后,函數值不變.

      師:還有補充的嗎?

      學生12:要全部重復,即自變量要能取遍定義域內的每一個值.

      師:很好,那么一般地,函數y=f(x)要滿足什么條件才能是周期函數呢?

      學生13:滿足f(x+T)=f(x)恒成立,其中T是一個非零常數即可.

      師:很好,在尋找周期函數的本質特征的過程中,你有什么收獲?

      學生14:透過現象抓本質.

      師:具體一點呢?

      學生14:就是要看出“周而復始”就是等式f(x+T)=f(x)恒成立.

      師:還有呢?

      學生14:判斷時,必須要有一個一般性的依據,要以理說話.

      評析經過前兩個階段的對話、討論,學生對于函數周期性已經積累了一定的認識,初步完成了對本質的抽象.因此,本教學環(huán)節(jié)主要就是讓學生將周期函數的各個方面性質聯合起來考察,也就是進行概括.教師通過“我們都知道了什么?”、“還有補充嗎?”來啟發(fā)學生進行概括.事實上,在教師的啟發(fā)下,學生不僅完成了對知識的概括,還談到了對整個思維過程的體驗——要以理說話,這就是理性思維意識.

      2 深度對話就是學生與數學本質的對話

      從上述過程我們可以看出,通過對話,學生的表達一步步走向完善;通過對話,學生的思考層層深入,逐步抓住本質.因此,數學課堂上的對話就不僅僅表現為學生與教師、學生與學生之間的語言交流,更是學生與數學本質的一種對話[1].換句話說,就是因為對話走向了數學的本質,我們才稱之為深度對話.

      我們知道,周期現象的數學本質就是等式f(x+T)=f(x)恒成立.要形成這種認識,學生必須要經歷兩次抽象.第一次是形成對周期函數的初步抽象——周而復始.第二次抽象,就是建立形式化、符號化的數學表征——等式恒成立.在第二階段,學生需要突破三個思維上的關鍵點,第一個就是為什么要進一步形式化.作為教師,我們知道只有達到這種符號化、形式化的程度,才可以進行推理論證.但是怎樣才能讓學生也體會到呢?第二個關鍵點是要將生活中的“重復出現”改用數學中的等式來表達.第三個關鍵點就是學生要認識到等式是恒成立的,定義域中的每一個自變量都要滿足這個等量關系.

      這兩次抽象,是一個認識上的飛躍,如果讓學生獨立地、完全自主地去完成,是困難的.雖然“重復”本身蘊涵相等的含義,但如果教師不點撥,不讓學生給予關注,學生往往意識不到.于是,對話與交流就為思維的展開提供了基礎.在第一階段抽象中,教師借助于周期現象與周期函數圖像,讓學生談自己的認識,通過“還可以怎么說?”,讓學生多角度闡述自己的觀點,在多角度的對話中學生形成了“周而復始”的初步印象.通過對“周而復始”關鍵詞的辨析,更進一步能清楚了細節(jié):周是什么;誰重復,怎樣重復?雖然都是用自然語言表達的,但為第二次抽象做好了準備.

      在第二階段,教師通過讓學生判斷一個暫時畫不出圖像的函數是否是周期函數,使他們意識到自己能力上的缺陷,從而引發(fā)了認知上的不平衡,感受到有必要用抽象的解析式來表達出函數的“周而復始”.這時,學生也不是一下子就成功的,而是在不斷的嘗試與對話中,相互啟發(fā)、質疑,才使得學生逐步意識到為了用解析式來刻畫“重復”,必須要用數學中的等式來表達“重復”.學生先是從外函數的角度來試探,由于無法深入,教師及時糾正了方向:能否從周而復始的已知經驗來說明?然后,學生想到了特殊值檢驗函數值是否相等,這樣,數學本質出現了.后來再通過反例,教師的追問,這樣大部分學生才認識到這個等式還必須是恒成立的,從而讓學生不斷地接近于符號化,形式化.顯然,沒有前面的對話,這個學生不可能直接想到它.這一場對話就是要讓學生多角度理解自然界中的“周而復始”與數學恒等式之間的關系,從而實現用“代數恒等式”來形式化地刻畫“周而復始”.這場對話就是學生與數學本質的對話,在此過程中學生也體驗到了數學抽象的意義與價值.

      3 深度對話需要教師的引導

      學習就是學生與數學本質逐步對話的過程,在此過程中,學生要將模糊的思維理順后再清晰表達出來,要讓自己的認識不斷條理化、清晰化,逐步走向概念的本質.那如何組織好數學課堂上的對話,以促進學生思維走向深入,逐步接近于數學的本質呢?結合本人的教學實踐,我覺得可以努力做好以下幾點.

      3.1 做好深度對話的主持人

      第一、通過激勵,形成平等、積極的對話氛圍.1)我們要理解學習的心理機制,給予學生表達的機會.就數學概念而言,學生要面對大量的實例,通過觀察,比較,分析和綜合,抽象與概括等思維過程,才能將感性的認識上升為理性,這個過程就包括討論,交流,互動等組織活動.沒有對話,就沒有思想的相互啟發(fā);沒有社會協商,就沒有深度理解.2)學會等待,做好平等中的首席.我們知道問題是有挑戰(zhàn)性的,解決它是需要時間的,給足時間,才能使學生的發(fā)言是經過充分準備的,主動性才能得到保護.3)學會評價,呵護學生的自尊.教師對學生的對話要及時點評,好在什么地方,錯在什么地方,要用簡潔、明了的語言給與評價.同時要學會救場,為回答不出的學生提供適度的支持與幫助.

      第三、引導歸納、總結.本節(jié)課中,教師先是通過一張表來讓學生進行知識上的總結,形成初步的認識;后來,又通過提出問題“我們都知道了什么?”讓學生再次進行概括,從而建立了概念.當然,我們不能忘記讓學生對認識過程進行表達,只有這樣,才能讓學生逐步形成理性認識方式.

      3.2 關注深度對話的教育價值

      從教學過程可知,師生通過對話,拉長了“抽象”過程,完成了 “社會協商”,實現了意義建構,對話的作用是顯著的.首先在對話的過程中學生獲得了啟發(fā):對話就是思想的交換,學生在理解了別人的交流后,就多了一個理解數學的角度.其次,在交流與討論中理會越辯越明:學生通過質疑、對比、推敲是否能推廣到一般,加深了對數學概念的理解;同時通過對事物多方面性質的概括,抓住了概念的本質.

      但我們不僅要關注對話的內容,更要關注深度對話的教育價值.比如,學生通過對整個思維、對話過程的概括、內省,提高了理性思維的意識.再者,在對話過程中學生也逐步學會表達:為了說明自己的想法,為了更好地表達自己,必須要深思,力爭抓住關鍵,在表達過程中,還要注意到語言的邏輯性,縝密性,簡潔性.所有這些,都體現了數學的教育價值.因此,在引導進行總結、概括時,我們不能僅僅滿足于讓學生進行知識上的總結與對話,還要對整個思維過程進行交流,表達自己對思維過程的感受、體驗,以形成穩(wěn)定的認識方式,建立理性思維意識.

      總之,我們認為數學學習就是一場深度對話,就是學生與數學本質的對話,在對話的過程中學生建立了對數學的深刻理解,發(fā)展了理性思維意識,實現了數學的教育價值.

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