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    “數(shù)學(xué)通報(bào)問題2268”的解題聯(lián)想

    2017-12-25 00:22:40崔志榮
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年3期
    關(guān)鍵詞:類比推理對(duì)偶新思路

    崔志榮

    (江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) 224221)

    1 解法聯(lián)想

    證明首先證明結(jié)論

    圖1

    即OA3=OA4,

    從而有

    上述結(jié)論成立.

    cos5α=-cos2α,cos4α=-cos3α.

    所以16sin2α·sin22α·sin23α,

    =2(1-cos2α)(1-cos4α)(1-cos6α)

    =2(1-cos2α)(1+cosα)(1+cos3α)

    =2(1-cos2α)(1+cosα+cos3α+cosαcos3α)

    =(1-cos2α)(3+2cos2α+cos4α+cos2α)

    =3(1-cos22α)+cos4α-cos4αcos2α

    2 方程聯(lián)想

    由一些特殊角的三角等式關(guān)系,聯(lián)想到方程,就可以解方程,求出這個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.再如α=18°,則cos5α=0,所以cos3α+sin2α=0,運(yùn)用倍角公式展開,就能得到關(guān)于sin18°的一元三次方程,從而求出sin18°的值.

    3 結(jié)構(gòu)聯(lián)想

    且cos4α=-cosα,cos3α=-cos2α,

    而 sin2α·sin22α

    所以M=4,

    可能成立.

    上述過程,是由某些角的相似性,聯(lián)想到它們的一些結(jié)論的結(jié)構(gòu)也有相似性,這種思維過程,就是我們所說的類比推理.只不過,我們中學(xué)常見的一些類比推理問題,都是引導(dǎo)下的推理,學(xué)生自覺類比的意識(shí)還很淡薄,我們的課堂教學(xué),還需要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生自覺類比推理的意識(shí).

    4 對(duì)偶聯(lián)想

    猜想1

    猜想2

    設(shè)為Tk.考慮對(duì)偶式的積,得

    而sin2kα=sinα,sin(2k-2)α=sin3α,

    sin(2k-4)α=sin5α等等,

    為證明猜想1、2,聯(lián)想到其對(duì)偶式的乘積,雖未能證明猜想1、2,但卻推出了上述成立.這說明善于聯(lián)想,我們有時(shí)能得到一些意想不到的發(fā)現(xiàn).

    本文案例說明,善于解題聯(lián)想,我們能得到新思路,能揭示問題的本質(zhì),能發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的結(jié)論.聯(lián)想是一種發(fā)散性思維,即求異思維,它具有創(chuàng)新性.巴甫洛夫認(rèn)為:“一切教學(xué)都是各種聯(lián)想的形式.”因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要充分運(yùn)用好“聯(lián)想”這一心理現(xiàn)象,誘導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)聯(lián)想到與之有關(guān)的新的知識(shí)、方法等.這對(duì)學(xué)生的指向性思維有很大的彌補(bǔ)作用,能拓展學(xué)生的新思路,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題.

    當(dāng)前對(duì)創(chuàng)新教育的呼聲比較高,作為教師,要切實(shí)提高自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng),自己要能從已有的知識(shí)方法、數(shù)學(xué)問題的條件等聯(lián)想開去,并把這種思維方式傳授為學(xué)生,這樣才能做到創(chuàng)新教學(xué),為創(chuàng)新教育做點(diǎn)貢獻(xiàn).

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