“數(shù)學(xué)通報(bào)問題2268”的解題聯(lián)想

崔志榮

(江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) 224221)

1 解法聯(lián)想

證明首先證明結(jié)論

圖1

即OA3=OA4，

從而有

上述結(jié)論成立.

cos5α=-cos2α，cos4α=-cos3α.

所以16sin2α·sin22α·sin23α，

=2(1-cos2α)(1-cos4α)(1-cos6α)

=2(1-cos2α)(1+cosα)(1+cos3α)

=2(1-cos2α)(1+cosα+cos3α+cosαcos3α)

=(1-cos2α)(3+2cos2α+cos4α+cos2α)

=3(1-cos22α)+cos4α-cos4αcos2α

2 方程聯(lián)想

由一些特殊角的三角等式關(guān)系，聯(lián)想到方程，就可以解方程，求出這個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.再如α=18°，則cos5α=0，所以cos3α+sin2α=0，運(yùn)用倍角公式展開，就能得到關(guān)于sin18°的一元三次方程，從而求出sin18°的值.

3 結(jié)構(gòu)聯(lián)想

且cos4α=-cosα，cos3α=-cos2α，

而 sin2α·sin22α

所以M=4，

可能成立.

上述過程，是由某些角的相似性，聯(lián)想到它們的一些結(jié)論的結(jié)構(gòu)也有相似性，這種思維過程，就是我們所說的類比推理.只不過，我們中學(xué)常見的一些類比推理問題，都是引導(dǎo)下的推理，學(xué)生自覺類比的意識(shí)還很淡薄，我們的課堂教學(xué)，還需要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生自覺類比推理的意識(shí).

4 對(duì)偶聯(lián)想

猜想1

猜想2

設(shè)為Tk.考慮對(duì)偶式的積，得

而sin2kα=sinα，sin(2k-2)α=sin3α，

sin(2k-4)α=sin5α等等，

為證明猜想1、2，聯(lián)想到其對(duì)偶式的乘積，雖未能證明猜想1、2，但卻推出了上述成立.這說明善于聯(lián)想，我們有時(shí)能得到一些意想不到的發(fā)現(xiàn).

本文案例說明，善于解題聯(lián)想，我們能得到新思路，能揭示問題的本質(zhì)，能發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的結(jié)論.聯(lián)想是一種發(fā)散性思維，即求異思維，它具有創(chuàng)新性.巴甫洛夫認(rèn)為：“一切教學(xué)都是各種聯(lián)想的形式.”因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分運(yùn)用好“聯(lián)想”這一心理現(xiàn)象，誘導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)聯(lián)想到與之有關(guān)的新的知識(shí)、方法等.這對(duì)學(xué)生的指向性思維有很大的彌補(bǔ)作用，能拓展學(xué)生的新思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題.

當(dāng)前對(duì)創(chuàng)新教育的呼聲比較高，作為教師，要切實(shí)提高自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，自己要能從已有的知識(shí)方法、數(shù)學(xué)問題的條件等聯(lián)想開去，并把這種思維方式傳授為學(xué)生，這樣才能做到創(chuàng)新教學(xué)，為創(chuàng)新教育做點(diǎn)貢獻(xiàn).