用帕斯卡線解答數(shù)學(xué)問題2284

李偉健

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

帕斯卡線是圓錐曲線中一條重要性質(zhì)，反映了射影變換的不變性質(zhì)—結(jié)合性，本文擬從帕斯卡線的角度解答數(shù)學(xué)問題2248，解答過程中，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題2248存在另一對平行的直線．

Pascal線對于任意一個內(nèi)接于非退化的二階曲線的簡單六點形，它的三對對邊的交點在一條直線上，即Pascal線．

數(shù)學(xué)問題2284如圖，非退化二次曲線c內(nèi)接三角形ABC內(nèi)接四邊形DEFG滿足：DE∥AB，EF∥BC，F(xiàn)G∥CA．過點A作直線l∥DG．求證：直線l是二次曲線c的切線．

證明將這一問題放入射影空間，從射影空間看，互相平行的直線是交于無窮遠點的直線，設(shè)M=DE×AB，Q=EF×BC，N=FG×CA，且設(shè)K=AE×BG，T=AA×DG，無窮遠直線記為l，

(1)曲線c的簡單六點形AEFGBC，其帕斯卡線為三點AC×FG=N，BC×FE=Q，AE×BG=K連線，此帕斯卡線為直線l，所以K∈l；

(2)曲線c的簡單六點形ABGDEA，其帕斯卡線為三點AB×ED=M，EA×GB=K，AA×GD=T連線，此帕斯卡線為直線l，所以T∈l；

因此，從歐幾里得平面看非退化二次曲線c在點A處的切線平行于直線DG，所以直線l是二次曲線c的切線．

從證明的過程看，由于K∈l，一旦連接AE、BG，直線AE與直線BG必然平行．

因此說數(shù)學(xué)問題2284實際上是一個射影命題，因而它的本質(zhì)解答必然是屬于射影幾何的，原解答從曲線方程的角度解答，計算量實在是太大了，所以筆者在此呼吁，中學(xué)階段的圓錐曲線問題的探究活動，迫切需要射影幾何指導(dǎo)．師范大學(xué)應(yīng)對此重視，畢竟這對提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師對圓錐曲線的探究水平，乃至教學(xué)水平都是一件經(jīng)得起時間考驗的事情．