對(duì)一道函數(shù)最值問(wèn)題的思考

樊鑫培

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)離不開題，題中有日月，題中有乾坤，我們教師只有把題玩好，才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力。本文以一道函數(shù)題出發(fā)，得到它的最值的幾種精彩方法，打開思路，感受數(shù)學(xué)魅力！

關(guān)鍵詞： 柯西不等式；數(shù)形結(jié)合；對(duì)偶式

中圖分類號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-9129（2017）12-0135-02

Abstract： mathematics teaching cannot leave the topic， the topic of the sun， the topic of the tide， we have only to play good， teachers can make students feel the charm of mathematics Problem in this paper， a function， get it several kinds of methods， the value of the open thought， understand mathematical charm

Key words： cauchy inequality； Number combination； Dual type

（2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽）函數(shù) 的最大值是

解法一：（導(dǎo)數(shù)法）

記 ，

所以令 ，得 ，

而 ，所以 。

解法二：（柯西不等式）

因?yàn)?，由柯西不等式得，

，

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，等號(hào)成立，所以 。

解法三：（柯西不等式的向量形式）

因?yàn)?，所以構(gòu)造平面向量

則

因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng) 同向時(shí)取等號(hào)，

所以 ，所以 。

解法四：（數(shù)形結(jié)合）

因?yàn)?，設(shè)

所以 ，即轉(zhuǎn)化為目標(biāo)直線 與圓 在第一象限的圖形相切時(shí)取得最大值，由 得 即為所求最大值。

解法五：（三角換元）

因?yàn)?，所以 則

記 ，所以 ，

所以

其中 當(dāng) 時(shí)，

解法六：（構(gòu)造對(duì)偶式）

因?yàn)?/p>

因?yàn)?在 上單調(diào)遞減，則 則

又因?yàn)?/p>

所以 ，因?yàn)?，故 ，所以 。

解法七：（構(gòu)造方差）

因?yàn)?/p>

令 ，則 ，所以9個(gè) 與2個(gè) 的平均數(shù)為 ，

方差為 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，

解法八：（構(gòu)造概率分布列）

因?yàn)?/p>

令 ，則 ，構(gòu)造隨機(jī)變量 的概率分布列為

所以

，

因?yàn)?所以 ，

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡小雄《一題多解與一題多變》 （浙江大學(xué)出版社）