HPM視角下有理數(shù)乘方的教學(xué)設(shè)計

魏月娥

【摘要】數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合已經(jīng)成為新時期數(shù)學(xué)教育改革的重點方向，對提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等具有重要意義。對此，本文以北師大版七年級數(shù)學(xué)教材中的《有理數(shù)乘方》為例，在簡要概述HPM基本內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，指出了HPM視角下教學(xué)設(shè)計原則，并詳細分析了HPM視角下有理數(shù)乘方的教學(xué)設(shè)計，以期為廣大同仁提供有益參考與借鑒。

【關(guān)鍵詞】HPM視角；初中數(shù)學(xué)；有理數(shù)乘方；教學(xué)設(shè)計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）06-0287-02

一、HPM基本內(nèi)涵

HPM，是History and Pedagogy of Mathematics的簡稱，是一個誕生于上世紀(jì)七十年代的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，主要研究目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)史的研究和利用來提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量。具體來講，HPM所涉及的領(lǐng)域包括數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)史在教學(xué)中滲透的價值、數(shù)學(xué)史對教師和學(xué)生的影響等。以建構(gòu)主義理論來講，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個持續(xù)建構(gòu)的過程，數(shù)學(xué)史能夠?qū)?shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)規(guī)律、構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的過程進行直觀呈現(xiàn)，所以，HPM視角下的教學(xué)活動，可以有效激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，并幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)原理和概念的形成過程，在新舊知識對比中完成新知識的內(nèi)化遷移。因此，加強HPM視角下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計與實踐，具有非常重要的現(xiàn)實意義和指導(dǎo)價值。

二、HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原則

（一）客觀性原則

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)生成、演變和規(guī)律的重要學(xué)科分支，所研究的對象都是已經(jīng)發(fā)生或既定存在的客觀事實，如重大歷史事件、研究成果、代表人物等。因此，在進行HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實施時，必須堅持客觀性原則，確保所用數(shù)學(xué)史資料都是真實的。

（二）目標(biāo)性

在教學(xué)設(shè)計與實施中，所采用的數(shù)學(xué)史資料不要太多，否則會出現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)被“喧賓奪主”的問題，影響課堂教學(xué)質(zhì)量。因此，數(shù)學(xué)史的融入既要圍繞教學(xué)目標(biāo)展開，又要滿足教學(xué)內(nèi)容需要，這樣才能達到最佳的應(yīng)用性效果。

（三）生本性

在HPM視角下進行教學(xué)設(shè)計或?qū)嵤r，一定要確保教學(xué)內(nèi)容和流程符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，堅持以學(xué)生為本的原則理念，否則會適得其反，超出學(xué)生認(rèn)知能力范圍不僅會加大學(xué)生學(xué)習(xí)壓力，而且會降低課題教學(xué)質(zhì)量。

三、HPM視角下有理數(shù)乘方的教學(xué)設(shè)計

本文以北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊中的《有理數(shù)乘方》為例，以HPM為視角進行了教學(xué)設(shè)計，具體如下：

（一）設(shè)計思路

本次教學(xué)設(shè)計以有理數(shù)乘方的歷史、概念和應(yīng)用三部分為主線，將與之相關(guān)的數(shù)學(xué)理論、代表人物和歷史故事等融入教學(xué)設(shè)計中，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上，對有理數(shù)乘方形成本質(zhì)理解。

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）明白有理數(shù)乘方的形成過程，掌握有理數(shù)乘方、冪、底數(shù)、指數(shù)的概念；（2）在教師的引導(dǎo)和數(shù)學(xué)史的啟示下，有效培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力，以及有理數(shù)乘方運算能力；（3）通過對有理數(shù)乘方的理解與掌握，體會數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，感受探索真理的不易，在培養(yǎng)學(xué)生求知精神和科學(xué)態(tài)度的基礎(chǔ)上，增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心。

（三）教學(xué)過程及設(shè)計

1.微課預(yù)習(xí)，了解歷史

目前，微課已經(jīng)成為現(xiàn)代教育改革的重要方式和手段，在優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)、提高教學(xué)質(zhì)量方面發(fā)揮了重要作用。對此，教師可在進行《有理數(shù)乘方》教學(xué)前，針對有理數(shù)乘方形成歷史，在充分考慮學(xué)生認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計“有理數(shù)乘方的歷史”微課，簡單介紹阿基米德的大數(shù)記法、丟番圖的冪的符號、斯蒂菲爾的《整數(shù)算術(shù)》，讓學(xué)生通過微課預(yù)習(xí)來感受有理數(shù)乘方發(fā)生、發(fā)展的歷史，感悟其背后蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，為后續(xù)的新知講解奠定堅實基礎(chǔ)。

2.情境導(dǎo)入，激發(fā)興趣

教師可利用多媒體為學(xué)生呈現(xiàn)一張國際象棋棋盤的圖片，并為學(xué)生講了如下經(jīng)典故事：印度舍罕王為了表彰宰相西薩·班·達依爾發(fā)明國際象棋的功績，決定進行賞賜，于是宰相向國王提出：“陛下，請您在這張國際象棋棋盤的第一個小格內(nèi)，賞給我一粒麥子，在第二個小格內(nèi)給兩粒，第三格內(nèi)給四粒，照這樣下去，每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人罷！”隨后，提出如下問題：“國王能否兌現(xiàn)他的承諾？擺滿整個棋盤到底需要多少麥粒呢？”在充分調(diào)動學(xué)生興趣的基礎(chǔ)上，適時引入有理數(shù)乘方的概念：“求n個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方，其中n為正整數(shù)，a為有理數(shù)。即”。

3.實踐操作，深化理解

新課導(dǎo)入后，教師可為學(xué)生簡要介紹笛卡兒在《方法論》中，在阿基米德大數(shù)記法的基礎(chǔ)上創(chuàng)用了冪的新記號，如用a3表示aaa，用a4表示aaaa等，讓學(xué)生了解當(dāng)前有理數(shù)乘方運算法則的直接來源。而后，為加深學(xué)生對有理數(shù)乘方的理解，要求學(xué)生每人手拿一張白紙，然后將其進行對折1次、2次、3次，觀察能夠得到幾層？學(xué)生經(jīng)過觀察紛紛給出正確答案，折1次得到2層，折2次得到4層，折3次得到8層，隨后提出問題：“如果對折5次、10次、20次會得到多少層？請用有理數(shù)乘方運算方式進行表示?！弊詈蠼?jīng)過小組討論和自主思考，大部分學(xué)生都給出了正確答案：對折5次=2×2×2×2×2=25；對折10次=2×2……×2×2=210；對折20次=2×2……×2×2=220。

4.例題講解，探究規(guī)律

教師用多媒體為學(xué)生呈現(xiàn)阿基米德和敘拉古王子蓋羅在海邊散步時談?wù)摗坝钪嫔硵?shù)”的故事，并提出如果沒有冪的符號，如何用平方與立方來表達10次冪呢？借此讓學(xué)生感受到，在沒有冪的現(xiàn)代記號情況下表達高次冪很不方便。在學(xué)生把握有理數(shù)乘方現(xiàn)實重要性的基礎(chǔ)上，教師通過105、（-5）2、（-5）3、-52等例題的講解讓學(xué)生自主探究、歸納出冪的符號的規(guī)律，同時讓學(xué)生思考（-5）2、-52的區(qū)別，最后得出：“負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，括號與符號的位置不同所代表的意義也不同，計算結(jié)果也就不同?！边@樣以來，不僅幫助學(xué)生明確了乘法與乘方的關(guān)系，而且?guī)椭鷮W(xué)生加深了對有理數(shù)乘方概念的理解，并有效培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性思維。

5.課堂練習(xí)，綜合提高

為考查學(xué)生對有理數(shù)乘方的綜合運用，教師要及時開展課堂練習(xí)，通過如34+（-3）4×35、（a-b）4·（a-b）2-（b-a）3·（a-b）3

等習(xí)題，讓學(xué)生以小組形式進行競賽運算，以達到綜合提高的效果。在學(xué)生合作練習(xí)中，教師要提醒學(xué)生注意四則混合運算的順序，即先乘除再加減，對于整式同樣適用。這樣不僅鞏固了學(xué)生以往所學(xué)知識，而且提高了學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

總而言之，在以HPM為視角展開教學(xué)設(shè)計與實施時，一定要堅持客觀性、目標(biāo)性和升本性原則，既要注重數(shù)學(xué)史資料的融入，又要注重數(shù)學(xué)思想的滲透，既要注重學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，又要注重學(xué)生實踐能力的培養(yǎng)。只有如此，才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史服務(wù)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用。

參考文獻

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