基于數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)教學(xué)研究

唐小勇++李小春

【摘 要】本文基于數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)從思想上重視數(shù)學(xué)概念、以實(shí)際案例引入數(shù)學(xué)概念、在觀念上強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念、以通俗語言來解釋數(shù)學(xué)概念，結(jié)合多媒體技術(shù)手段進(jìn)行教學(xué)改革，讓學(xué)生深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)本質(zhì)

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）08C-0141-02

受應(yīng)試教育的影響，在數(shù)學(xué)教學(xué)上，輕概念重解題的現(xiàn)象非常突出，這就造成很多教師對數(shù)學(xué)概念基本不解釋，照本宣科地論述一番。甚至還有教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念就是個(gè)語文名詞而已，只需要學(xué)生記下來就好。但實(shí)際上，數(shù)學(xué)概念是眾多數(shù)學(xué)家千錘百煉的結(jié)果，邏輯嚴(yán)密，簡潔明了，它包含了眾多的數(shù)學(xué)大師的心血以及數(shù)學(xué)方法。由于教師有意無意地忽略數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，這就導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念一知半解，有些數(shù)學(xué)題目會(huì)做，但是不知道為什么要這么做。即使有些學(xué)生能做好數(shù)學(xué)題目，但是對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并沒有實(shí)質(zhì)的幫助，對數(shù)學(xué)的本質(zhì)學(xué)習(xí)還是不甚了解的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)上，應(yīng)擺脫以解題為目的的數(shù)學(xué)教學(xué)，而應(yīng)回到追本溯源的探究式教學(xué)上來。

一、從思想上重視數(shù)學(xué)概念

雖然國家提出要加強(qiáng)素質(zhì)教育，不要以應(yīng)試教育為中心，但不管是教師、家長還是學(xué)生都不這么認(rèn)為。他們認(rèn)為能夠考取好的成績就是學(xué)習(xí)這門課程的重要意義，在這樣的氛圍下輕概念重解題現(xiàn)象就難以改變。而圍繞數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)就會(huì)導(dǎo)致功利性的行為發(fā)生，不會(huì)注重概念解釋，也不會(huì)注重其中的邏輯關(guān)系，不斷地解題就是整個(gè)課堂的核心，把數(shù)學(xué)當(dāng)成了算術(shù)。對此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)上要重視數(shù)學(xué)概念的解釋，這樣才會(huì)讓學(xué)生很好地理解數(shù)學(xué)概念，在理解概念的基礎(chǔ)上解題更能學(xué)好數(shù)學(xué)。家長也不應(yīng)把目光緊緊盯著數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，而是要看是否真正學(xué)好數(shù)學(xué)，概念是否理解正確，解題不出是什么原因等。對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)不是解題，解題是為了學(xué)好數(shù)學(xué)。甚至，數(shù)學(xué)的概念理解的重要性要超過數(shù)學(xué)解題。教師重視數(shù)學(xué)概念，學(xué)生就會(huì)透徹理解概念，在理解概念基礎(chǔ)上去解題，在解題中悟透概念，這樣整個(gè)數(shù)學(xué)的教學(xué)就呈現(xiàn)出良性循環(huán)的好局面。當(dāng)然，由于課時(shí)的限制，教師應(yīng)在解釋概念與解題中把握一個(gè)平衡。比如在講解導(dǎo)數(shù)概念的時(shí)候，可以從牛頓、萊布尼茨對導(dǎo)數(shù)的引入開始講解，通過對時(shí)間—位移的動(dòng)態(tài)演變過程，由割線變切線的關(guān)系來定義導(dǎo)數(shù)的概念，這樣，在對函數(shù)用定義求導(dǎo)的時(shí)候，就會(huì)讓學(xué)生明白為什么需要先求出因變量與自變量的增量，然后通過兩者的比值求極限而得到導(dǎo)數(shù)。

二、在實(shí)際案例中引入數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是多年以來數(shù)學(xué)家不斷簡化的結(jié)果，基本滿足兩個(gè)條件，一是概念簡單，二是邏輯性強(qiáng)。數(shù)學(xué)概念追求簡單是遵循奧卡姆剃刀原理，即“如無必要，勿增實(shí)體”的簡單有效原理。同時(shí)，數(shù)學(xué)概念為避免造成不同的解釋，就必須在邏輯上自洽。然而，在教學(xué)中就會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)概念的定義對學(xué)生來說苦不堪言，如果教師還不對概念進(jìn)行詳細(xì)的解釋，概念的抽象性讓很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)難以理解。因此，可以嘗試用實(shí)際的案例來引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。雖然數(shù)學(xué)是一個(gè)獨(dú)立的世界，但還是有很多的數(shù)學(xué)問題是來自實(shí)際生產(chǎn)、工程、運(yùn)輸?shù)?。這樣，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)就可以把書本上那些晦澀難懂的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶鎿Q，用實(shí)際的具體案例來解釋數(shù)學(xué)概念。人對具體事務(wù)的理解往往都超過那些抽象事物的理解，這是因?yàn)榫唧w事務(wù)在現(xiàn)實(shí)中存在，看得見或者摸得著，而抽象事物需要從邏輯上進(jìn)行理解，并不一定在現(xiàn)實(shí)中能夠發(fā)現(xiàn)。所以，對數(shù)學(xué)概念的具體化就是讓學(xué)生把抽象的問題轉(zhuǎn)移到具體的事物上來，加強(qiáng)概念的現(xiàn)實(shí)感，從而讓學(xué)生能夠很好地理解數(shù)學(xué)概念。比如講解二元分布函數(shù)概念的時(shí)候，可以舉例種子的發(fā)芽率，如果只考慮水溫與氣溫的變化，那么任何一個(gè)溫度的變化都會(huì)影響種子的發(fā)芽率。這種直接取材于現(xiàn)實(shí)案例的講解比只講解抽象分布函數(shù)概念的效果會(huì)好很多。

三、從觀念上強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念

人是觀念的產(chǎn)物，但是人的觀念并非一成不變的。研究表明，即使是孩童時(shí)代，沒有學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的兒童，他們的大腦也并非一片空白。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)的游樂玩耍中，兒童就有了自己的數(shù)學(xué)概念。但是，這種學(xué)齡前的數(shù)學(xué)概念與書本上的數(shù)學(xué)概念有不一致之處，甚至有些還是錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)概念，這對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著嚴(yán)重的阻礙，因?yàn)樽晕依斫獾母拍畋韧獠繉W(xué)習(xí)的概念更頑固，也更難糾正。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是有層次性的，前一階段的學(xué)習(xí)會(huì)影響后一階段的學(xué)習(xí)。就比如，數(shù)學(xué)的運(yùn)算貫徹整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，小學(xué)的整數(shù)運(yùn)算、中學(xué)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算以及大學(xué)的導(dǎo)數(shù)、極限等運(yùn)算等等。然而這些運(yùn)算有些是相同的，有些是不同的。但如果不加以細(xì)分與理解，就會(huì)把不同的運(yùn)算混為一談，在教學(xué)中甚至出現(xiàn)1/2+1/3=2/5之類令人啼笑皆非的情形。之所以出現(xiàn)這樣的情況，就是沒有理解好新的概念，觀念上還停留在舊有運(yùn)算概念上。建構(gòu)主義認(rèn)為，知識是一個(gè)主動(dòng)構(gòu)建的過程。要讓學(xué)生從錯(cuò)誤的概念中糾正過來，就必須進(jìn)行概念轉(zhuǎn)變教學(xué)。所謂的概念教學(xué)就是促使學(xué)生原有概念得到糾正的教學(xué)方式。學(xué)生的概念形成主要是來自日常的具體事務(wù)，也來自原有的書本概念。每次進(jìn)行新概念講解的時(shí)候，教師就應(yīng)厘清新舊概念的區(qū)別與聯(lián)系，在舊有概念的基礎(chǔ)上，重組新概念。所以，針對新舊概念混合沖突的情況，教師不應(yīng)從解題上入手，而應(yīng)從概念上入手，把各個(gè)概念的不同與規(guī)則講解透徹，才不會(huì)出現(xiàn)概念理解的差異現(xiàn)象。比如導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，重點(diǎn)講解導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與數(shù)字四則運(yùn)算的異同點(diǎn)，兩者在加減法是相同的，但是在乘除法是不同的，不同點(diǎn)應(yīng)該加以區(qū)別，避免學(xué)生把數(shù)字的乘除運(yùn)算用到導(dǎo)數(shù)的乘除運(yùn)算上來。

四、以通俗語言來解釋數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念的抽象性讓學(xué)生望而生畏，枯燥無味的數(shù)學(xué)理論讓學(xué)生學(xué)習(xí)起來興致索然。因此，在教學(xué)中，如何解釋數(shù)學(xué)概念很考驗(yàn)教師的語言藝術(shù)水平。當(dāng)然，再厲害的數(shù)學(xué)大師也不可能把數(shù)學(xué)課講得像文學(xué)藝術(shù)課程那樣精彩，但數(shù)學(xué)教師可以在降低邏輯要求的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)概念進(jìn)行通俗化。數(shù)學(xué)概念邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，晦澀難懂。嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的第一要求，但是在課程教學(xué)上，數(shù)學(xué)教師可以放寬這個(gè)要求，用通俗易懂的語言讓學(xué)生很好地理解數(shù)學(xué)概念。而且，通俗并不是說沒有邏輯性，只是說用現(xiàn)實(shí)中的日常語言來描述數(shù)學(xué)概念而已。比如對于函數(shù)的概念，數(shù)學(xué)教學(xué)上有一大段邏輯性很強(qiáng)的語言來說明，但在概念理解上用一句話就可以說明：變量之間的一一對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)，現(xiàn)實(shí)中的很多例子都是一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系如門當(dāng)戶對、男才女貌等。甚至可以在班級上就地取材以兩個(gè)男女學(xué)生為例，各自舉例雙方的特征，如果每個(gè)特征相一一對應(yīng)，那么這兩個(gè)同學(xué)的關(guān)系就滿足函數(shù)定義的條件。通俗語言的講解很具體，很形象，也很活躍氣氛，雖然這樣的解釋不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但是比較有趣，而且讓學(xué)生能夠與現(xiàn)實(shí)的具體事務(wù)相對應(yīng)，這對概念的理解非常有幫助。

五、以多媒體技術(shù)手段形象化數(shù)學(xué)概念

人對事物的認(rèn)識過程都是由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，感性認(rèn)識是通過聞、摸、觸、看、聽等直接接觸事物來認(rèn)識事物，感性認(rèn)識是認(rèn)識事物的初級階段與初級形式；理性認(rèn)識是把握事物內(nèi)在規(guī)律與內(nèi)在聯(lián)系，是認(rèn)識過程的高級認(rèn)識與高級形式，也是感性認(rèn)識的升華。而數(shù)學(xué)學(xué)科中的眾多抽象化概念，使得很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)都是一臉茫然，沒有具體化的事物做參考，學(xué)生就難以理解抽象化的數(shù)學(xué)概念，而多媒體等技術(shù)可以幫助學(xué)生理解抽象化的數(shù)學(xué)概念。隨著國家教育投入的加大，大多數(shù)院校的硬件設(shè)施都很完善，基本上，除偏遠(yuǎn)地區(qū)外，各個(gè)學(xué)校都配有多媒體教學(xué)設(shè)備。與傳統(tǒng)教學(xué)相比較，多媒體教學(xué)在視覺效果上明顯突出。在解釋數(shù)學(xué)概念上，多媒體有視覺效應(yīng)的優(yōu)勢，比如一些難以解釋的概念可以先用ppt的動(dòng)畫效果來展示，在學(xué)生的腦海中留下一個(gè)具體的事物形成過程，比如，極限的化圓為方、二重積分的以直代曲。動(dòng)畫效果不但能展現(xiàn)出極限、二重積分等抽象概念是怎么形成的，還突出了數(shù)學(xué)思維模式的改變。對學(xué)生而言，通過影視效果來加深概念的映像，把這些概念具體形象化了。此外，在多媒體上，很多新概念與舊概念可以用圖畫、表格的形式進(jìn)行對比，讓學(xué)生辨清兩者之間的分歧，從而鞏固對新概念的理解。比如，函數(shù)概念從初中開始一直到大學(xué)都在講解，但是初中、高中、大學(xué)的函數(shù)概念的定義并不一樣，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)思維的發(fā)展呈現(xiàn)年齡特征，每個(gè)年齡階段的理解能力不能一概而論，初中學(xué)生還停留在具體化階段，講解函數(shù)是直接通過簡單的函數(shù)圖像進(jìn)行解釋的；高中是具體概念到抽象概念的過渡階段，函數(shù)就通過集合的形式過渡到抽象的概念；而大學(xué)是以抽象思維為主的學(xué)習(xí)階段，就直接給出函數(shù)的抽象化定義。所以，教師可以把三個(gè)階段函數(shù)不同的定義展現(xiàn)出來，既復(fù)習(xí)了原來的知識，還強(qiáng)化了對概念的理解。

總之，數(shù)學(xué)概念的理解對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。從思想上要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，在觀念上要強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的理解，糾正原有的錯(cuò)誤概念，結(jié)合多媒體技術(shù)手段，用通俗的語言來解釋數(shù)學(xué)的概念，讓學(xué)生通過對數(shù)學(xué)概念的深刻理解來達(dá)到認(rèn)識數(shù)學(xué)思想本質(zhì)的目的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李小平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2013

[2]周鐵軍，張朝陽.高等數(shù)學(xué)[M].北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2014

【作者簡介】唐小勇（1973— ），男，湖南洞口人，湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院副教授，博士，研究方向：大數(shù)據(jù)技術(shù)、高等教育理論；李小春（1979— ），男，湖南新邵人，湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院博士研究生，副教授，研究方向：農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)理論、數(shù)學(xué)教育理論。

（責(zé)編 蘇 洋）