數(shù)列在高考試卷中的存在形式分析

摘要：本文對(duì)數(shù)列在選擇題、填空題、解答題等三種題型中的存在形式進(jìn)行分析，旨在幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)列這一知識(shí)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；高考；選擇題；填空題；解答題

數(shù)列這一知識(shí)內(nèi)容豐富，在高考中基本涉及所有的題型，每一種題型考察的知識(shí)都不一樣，而且還會(huì)和其他的題型進(jìn)行混合應(yīng)用，考驗(yàn)學(xué)生的綜合解題能力。以下是對(duì)數(shù)列在各類題型中的存在形式分析，供大家參考交流。

一、 以選擇題為例

數(shù)列在選擇題中出現(xiàn)的方式多種多樣，考察的知識(shí)點(diǎn)也是五花八門，可能會(huì)單純地進(jìn)行數(shù)列的運(yùn)算。比如求前n項(xiàng)和的公式，或者是根據(jù)條件推出某項(xiàng)的表達(dá)式，或者進(jìn)行數(shù)列類型的判斷；也可能和其他的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)合起來(lái)考察，比如以數(shù)列相關(guān)知識(shí)為命題，推斷命題之間的關(guān)系；還可能會(huì)將數(shù)列融合到實(shí)際的應(yīng)用中。所以，教師在訓(xùn)練學(xué)生數(shù)列選擇題的時(shí)候，應(yīng)該從多個(gè)方面為學(xué)生考慮，從而讓學(xué)生在多類選擇題中應(yīng)對(duì)自如。

例如，在2016年數(shù)學(xué)高考全國(guó)一卷中，有一個(gè)關(guān)于數(shù)列的選擇題如下：

已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8，則a100=（）

A. 100B. 99C. 98D. 97

解題思路：通過已知條件得9a1+36d=27，a1+9d=8，所以，可以得出a1=-1，d=1，a100=a1+99d=98。

經(jīng)過分析，此題考察了數(shù)列基本的運(yùn)算，是通過前n項(xiàng)和求某項(xiàng)值的題目，主要是鍛煉學(xué)生獲取信息、解決問題的能力。可見，教師在鍛煉學(xué)生做選擇題的時(shí)候，應(yīng)該讓學(xué)生充分利用已知條件，從而進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算。

二、 以填空題為例

數(shù)列在填空題中出現(xiàn)的形式要少于選擇題，由于受到題型的限制，多數(shù)填空題對(duì)數(shù)列考察的重點(diǎn)在于數(shù)列的運(yùn)算，但考察的往往是數(shù)列最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)。比如由已知條件推斷出數(shù)列的最值；或者求前幾項(xiàng)或者前n項(xiàng)和以及數(shù)列中某項(xiàng)的表達(dá)式；或者將數(shù)列的知識(shí)變一種表達(dá)，從而變相的考察相關(guān)的知識(shí)，而數(shù)列在填空題部分很少有實(shí)際應(yīng)用題的出現(xiàn)。所以，教師在讓學(xué)生備考數(shù)列填空題的時(shí)候，首先要夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)列任何一部分的基礎(chǔ)知識(shí)都能夠熟練運(yùn)用，進(jìn)而進(jìn)行真題的演練，才能對(duì)填空題做到了如指掌。

例如，在2016年數(shù)學(xué)高考全國(guó)一卷中，有一個(gè)關(guān)于數(shù)列的填空題如下：

設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為。

解題思路：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知條件可以得出a1（1+q2）=10，a1q（1+q2）=5，從而解得a1=8，q=1/2，所以a1a2…an=a1nq1+2+…（n-1）=8n*（1/2）n（n-1）/2=2-n2/2+7n/2，得出當(dāng)n=3或者n=4時(shí)，a1a2…an取得最大值為26=64。

通過以上可以看出，數(shù)列在填空題中的考察對(duì)數(shù)列的基本運(yùn)算進(jìn)行了一點(diǎn)延伸，并且緊密圍繞著基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行題目的設(shè)計(jì)，可見，要做好填空題，需要教師訓(xùn)練學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用。

三、 以解答題為例

一般的解答題是選擇題和填空題的結(jié)合，即考察數(shù)列中基礎(chǔ)的知識(shí)，比如求前n項(xiàng)和的公式或者求數(shù)列中某項(xiàng)的值，也可能會(huì)將數(shù)列知識(shí)與其他知識(shí)結(jié)合到一起，比如進(jìn)行相關(guān)公式的論證，或者在集合、函數(shù)等知識(shí)中對(duì)數(shù)列進(jìn)行運(yùn)算，甚至?xí)蛨D像、坐標(biāo)系等進(jìn)行融合，變相地考查數(shù)列的知識(shí)。因此，教師需要讓學(xué)生對(duì)每一種題型做好充分的準(zhǔn)備，并進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練，另外也要注意強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)列本身基礎(chǔ)的運(yùn)算，要保證簡(jiǎn)單的題做到萬(wàn)無(wú)一失，才能在面對(duì)難題的時(shí)候臨危不懼。

例如，2016年四川數(shù)學(xué)高考中，有一個(gè)關(guān)于數(shù)列的解答題如下：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列的{an}的前n項(xiàng)和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈N*。

（1）若2a2，a3，a2+2成等比數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)雙曲線x2-y2/an2=1的離心率為en，且e2=5/3，證明：e1+e2+…+en>4n-3n/3n-1。

解題思路：

（1）由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，兩式相減得到an+2=qan+1（n>1），又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan對(duì)所有n>1都成立。

所以，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，an=qn-1。

由2a2，a3，a2+2成等比數(shù)列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2，則（2q+1）（q-2）=0，由已知，q>0，故q=2。

所以an=2n-1（n∈N*）。

（2）雙曲線的離心率為en=1+q2（n-1），由q=1+q2=5/3可得q=4/3。

因?yàn)?+q2（k-1）>q2（k-1），所以1+q2（k-1）>qk-1（n∈N*）。

因此，e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1/q-1，故e1+e2+…+en>4n-3n/3n-1。

通過以上試題可以看到數(shù)列和雙曲線聯(lián)合起來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行考查，由簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)知識(shí)推廣到負(fù)責(zé)的邏輯運(yùn)算，可見，教師應(yīng)該注意學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)推廣問題的訓(xùn)練。

綜上所述，數(shù)列是一類需要教師和學(xué)生花時(shí)間和精力去研究的知識(shí)，不僅是選擇、填空中考察的小知識(shí)點(diǎn)，還是在解答題中的綜合應(yīng)用，都需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行專門的訓(xùn)練。這樣，學(xué)生才能在數(shù)學(xué)高考中做到臨危不懼，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]葉景輝.高考數(shù)列題的解題策略研究與試題評(píng)析[D].廣州大學(xué)，2016.

[2]王暉.高考數(shù)列問題解析[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2017（11）：39.

作者簡(jiǎn)介：

劉文輝，湖北省孝感市，湖北省孝感市漢川市福星中學(xué)。