淺談“建模思想”在二次函數(shù)中的運(yùn)用

李漢平

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）35-0281-01

“建模思想”就是根據(jù)實(shí)際題意，建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，解決實(shí)際問(wèn)題。在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，“建模思想”被得到廣泛的運(yùn)用。下面，以一道填空題為例，談?wù)劇敖Ｋ枷搿痹诙魏瘮?shù)中的靈活運(yùn)用。

問(wèn)題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）自變量x和函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

則該二次函數(shù)的解析式為y=______________________。

分析1：表格中，總共告訴了拋物線上的七個(gè)已知點(diǎn)，因此，可以建立“一般式”的函數(shù)模型，且只需選取其中三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可。由于這些點(diǎn)的坐標(biāo)中，有分?jǐn)?shù)，有整數(shù)，為了便于計(jì)算，盡量選擇數(shù)值小，且為整數(shù)的點(diǎn)，所以選擇（-1，-2）、（0，-2）、和（1， 0）這三個(gè)點(diǎn)比較適合。

解法一：設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把（-1，-2）、（0，-2）和（1， 0）分別代入得：

a-b+c=-2c=-2a+b+c=0 解之得：a=1b=1c=-2

所以，該二次函數(shù)的解析式為： y=x2+x-2。

分析2：通過(guò)觀察表格，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，因此，可建立“頂點(diǎn)式”的函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題。

解法二 ：設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a（x+）2- （a≠0）

把（1， 0）代入得：a（1+）2-=0

解之得：a=1

所以，該二次函數(shù)的解析式為：y=（x+）2-9/4

化成一般式為：y=x2+x-2。

分析3：再仔細(xì)觀察表格，發(fā)現(xiàn)其中已有兩對(duì)點(diǎn)是關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x=-對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)。根據(jù)表格，我們還可以寫(xiě)出點(diǎn)（1， 0）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為（-2， 0），并把這個(gè)點(diǎn)補(bǔ)進(jìn)表格中去。更重要的是，這對(duì)點(diǎn)是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，因此，可以建立“交點(diǎn)式”的函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題。

解法三：設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+2）（x-1） （a≠0），

把（0，-2）代入得：a（0+2）（0-1）=-2

解之得 a=1

所以，該二次函數(shù)的解析式為：y=（x+2）（x-1）

化成一般式為：y=x2+x-2

綜上所述，這道填空題，用三種解法，分別建立了“一般式”、“頂點(diǎn)式”、和“交點(diǎn)式”的函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題。這三種函數(shù)模型，各有千秋。“一般式”，直接從表格中選取三個(gè)點(diǎn)代入，從而得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解出方程組就可以直接得到結(jié)果；但是，計(jì)算量比較大，且選點(diǎn)時(shí)，要盡量選取便于計(jì)算的點(diǎn)?！绊旤c(diǎn)式”，只須選取一點(diǎn)代入即可，計(jì)算量比較小；但是，使用這種方法的前提是必須知道拋物線的頂點(diǎn)，另外選取的那一點(diǎn)，最好是便于計(jì)算?！敖稽c(diǎn)式”，在知道拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可以建立這種函數(shù)模型，這時(shí)，只需要再找一點(diǎn)代入即可；有時(shí)題目中只告訴與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，需要我們根據(jù)題意找出另一個(gè)交點(diǎn)；其最后結(jié)果往往要化成一般式。

因此，在求二次函數(shù)的解析式時(shí)，或者在用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們要根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，從而能更快更簡(jiǎn)潔更輕松的解決問(wèn)題。這樣，我們的智慧不僅能發(fā)揮得淋漓盡致，而且能夠獲得事半功倍的效果。