值得商榷的三次函數(shù)零點(diǎn)的一組重要結(jié)論

雷波

[摘 要] 陜西省西安鐵一中劉康寧老師在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2014年第4期（上旬）上發(fā)表的《三次函數(shù)零點(diǎn)的一組重要結(jié)論》一文，文中提出了三次函數(shù)零點(diǎn)的13個(gè)結(jié)論和1個(gè)推論，但其中的部分結(jié)論值得商榷，本文對(duì)值得商榷的部分結(jié)論給出了剖析和修正.

[關(guān)鍵詞] 三次函數(shù)；結(jié)論；商榷；剖析；修正

陜西省西安鐵一中劉康寧老師的《三次函數(shù)零點(diǎn)的一組重要結(jié)論》一文中，針對(duì)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的零點(diǎn)提出了13個(gè)結(jié)論和1個(gè)推論，筆者通過對(duì)這些結(jié)論和推論的反復(fù)研讀，認(rèn)為該文中的結(jié)論2、結(jié)論3、推論、結(jié)論4、結(jié)論5、結(jié)論6的必要性成立，而充分性都不成立.

由于篇幅的原因，現(xiàn)只對(duì)該文中的結(jié)論2、結(jié)論3的證明給予剖析并對(duì)這些結(jié)論給出修正，而對(duì)于推論、結(jié)論4、結(jié)論5、結(jié)論6的剖析和修正可參照本文剖析和修正.

為了行文方便，先列出原文中的說明和結(jié)論1.

若不加說明，系數(shù)a，b，c均為實(shí)數(shù).

結(jié)論1：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c至少有一個(gè)零點(diǎn).

結(jié)論2：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件是a2-3b≥0.

原文證明：由結(jié)論1知f（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)x0是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，則

f（x）=（x-x3）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b].

從而，函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有兩個(gè)實(shí)根，則關(guān)于x的二次方程的判別式Δx=（x0+a）2-4（x+ax0+b）≥0.

即3x+2ax0-a2+4b≤0.①

關(guān)于x0的二次不等式①有實(shí)數(shù)解的充要條件是Δ=4a2-12（-a2+4b）≥0，即a2-3b≥0.

故函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件是a2-3b≥0.

剖析：當(dāng)a=b=0時(shí)，顯然滿足a2-3b≥0，但此時(shí)函數(shù)f（x）=x3+c只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a=c=0，b=-1時(shí)，顯然滿足a2-3b≥0，但此時(shí)函數(shù)f（x）=x3-x2=x2（x-1）只有兩個(gè)零點(diǎn).

那么問題出在什么地方？在上述原文的證明過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)：

“函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有兩個(gè)實(shí)根”是不成立的.現(xiàn)舉特例說明如下：

設(shè)a=-x0，b=-x，則方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0變?yōu)榉匠蘹2-x=0，

而方程x2-x=0有兩個(gè)實(shí)根都是x0和-x0.

所以方程（x-x0）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b]=0有三個(gè)實(shí)根，但有兩個(gè)實(shí)根都是x0，另一個(gè)實(shí)根是-x0.

所以，此時(shí)的函數(shù)f（x）=（x-x0）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b]只有兩個(gè)零點(diǎn)x0和-x0.

所以“函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有兩個(gè)實(shí)根”是不成立的.

從上面證明可以看出，方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有兩個(gè)實(shí)根只能是函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的必要條件，而非充分條件.

修正：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)的必要條件是a2-3b>0.

結(jié)論3：若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)，則這三個(gè)零點(diǎn)均為正數(shù)的充要條件是a<0，b>0，c<0，且a2-3b≥0.

原文證明：由結(jié)論2知函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件是a2-3b≥0.

設(shè)函數(shù)f（x）的三個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，x3，則

x1+x2+x3=-a，

x1x2+x2x3+x3x1=b，

x1x2x3=-c.②

下面證明x1，x2，x3>0的充要條件是a<0，b>0，c<0.

由②知，必要性是顯然的，下面用反證法證明其充性.

假設(shè)x1，x2，x3不全大于0，則由x1x2x3=-c>0知x1，x2，x3必為一正兩負(fù). 不妨設(shè)x1>0，x2<0，x3<0，由x1+x2+x3=-a>0，得x1>-（x2+x3）>0. 于是

b=x2x3+x1（x2+x3）

這與b>0矛盾，故充分性得證. 綜上所述，結(jié)論成立.

剖析：首先其證明的第一步就使用了充分性不成立的結(jié)論2：函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件是a2-3b≥0.

由上對(duì)結(jié)論2的修正知，a2-3b>0只能是函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的必要條件. 因此在此條件下，函數(shù)f（x）不一定有三個(gè)零點(diǎn). 所以證明過程中：“x1，x2，x3>0的充要條件是a<0，b>0，c<0”也是不成立的.其證明也是錯(cuò)誤的.我們用特例說明如下：

取a=-4<0，b=5>0，c=-6<0，則函數(shù)f（x）=x3-4x2+5x-6，

即f（x）=（x-3）（x2-x+2），顯然函數(shù)f（x）=x3-4x2+5x-6只有一個(gè)零點(diǎn)，

其方程（x-3）（x2-x+2）=0也只有一個(gè)實(shí)根，另兩根是虛根.

因?yàn)樘摳菦]有正負(fù)，也不能比較大小的，所以原文用反證法證明其充分性中，假設(shè)x1，x2，x3不全大于0，以及由x1x2x3=-c>0知x1，x2，x3必為一正兩負(fù). 不妨設(shè)x1>0，x2<0，x3<0，都是不成立的.

修正：若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)，則這三個(gè)零點(diǎn)均為正數(shù)的必要條件是a<0，b>0，c<0，且a2-3b≥0.