類比

楊小強(qiáng)

[摘 要] 隨著新課改的不斷深入，學(xué)生的主體地位愈發(fā)顯得突出. 一方面，由于高中數(shù)學(xué)的實(shí)踐性、探究性以及抽象性等原因，給學(xué)生們的解題帶來(lái)了巨大的困擾，這也正是學(xué)生們成績(jī)很難取得高分的直接性原因之一；另一方面，在以學(xué)生為教學(xué)主體的教學(xué)體制下，教師的教學(xué)也面臨著巨大的挑戰(zhàn)，一貫的“填鴨式”教學(xué)，已不再適應(yīng)當(dāng)下的學(xué)生情況. 如何提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)和學(xué)習(xí)能力“更上一層樓”，成為當(dāng)下教師的主要任務(wù).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；類比思想；數(shù)學(xué)方法

在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)的教師側(cè)重于教會(huì)學(xué)生解題的過(guò)程，而往往忽略了解題的方法，使得大多數(shù)的學(xué)生不能隨機(jī)應(yīng)變，稍微改動(dòng)一下題型，學(xué)生就無(wú)從下手，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一直提升緩慢. 由于高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)共性比較多，有時(shí)一個(gè)題型往往會(huì)涉及好幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而加上學(xué)生們不善于歸納總結(jié)自己的錯(cuò)誤，沒(méi)有養(yǎng)成錯(cuò)題回顧的習(xí)慣，因此，在打牢基礎(chǔ)的情況下，更重要的是數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，這其中，類比教學(xué)的方法，就可以有效地幫助學(xué)生運(yùn)用類比的思想去梳理、整合知識(shí)點(diǎn)，來(lái)提升數(shù)學(xué)能力.

[?] 穿針引線，巧妙連接知識(shí)點(diǎn)

高中的數(shù)學(xué)內(nèi)容不同于初中的數(shù)學(xué)，雖然內(nèi)容看似復(fù)雜，但是基本都是很明確的知識(shí)點(diǎn). 因此，高中生數(shù)學(xué)成績(jī)有差距，究其原因是基礎(chǔ)知識(shí)的差距！正是因?yàn)閷W(xué)生們基礎(chǔ)知識(shí)不牢固的原因，才會(huì)有成績(jī)一直徘徊不定的現(xiàn)象.而作為高中的數(shù)學(xué)教師，不能僅僅關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，而是要透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問(wèn)題以及教學(xué)的問(wèn)題，暴露現(xiàn)象的本質(zhì)，并且為學(xué)生提供合適的改進(jìn)方式，去幫助學(xué)生們發(fā)現(xiàn)自己的問(wèn)題.在課堂上，筆者經(jīng)常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的思想去分析、總結(jié)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，找出其相似的地方，進(jìn)行歸納，再一次強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)！

例如，在教學(xué)圓錐曲線這部分內(nèi)容時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣一道題：已知一橢圓的中心與焦點(diǎn)分別在原點(diǎn)、x軸上，并且此橢圓與雙曲線有著共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，并且

F1F2

=2，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線的實(shí)半軸之差是4，二者的離心率之比是3∶7，試求二者的曲線方程.

這是一道考查橢圓與雙曲線關(guān)系的解析幾何題，這類題抽象性比較強(qiáng). 橢圓與雙曲線的知識(shí)點(diǎn)雖然比較獨(dú)立，但是其之間又有著緊密的聯(lián)系. 因此，筆者通過(guò)設(shè)計(jì)這道題，就是為了讓學(xué)生們?cè)谡n堂上比較橢圓與雙曲線之間的異同. 學(xué)生們通過(guò)討論，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，橢圓與雙曲線有著非常相似的定義，只是在離心率上有著不同，即：橢圓的離心率01；其次，是在符號(hào)上有著不同，橢圓是求平面內(nèi)到兩個(gè)點(diǎn)的“和”，而雙曲線則是求“差”.

通過(guò)設(shè)計(jì)這么一道解析幾何類的題，學(xué)生們就會(huì)通過(guò)兩者間的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)橢圓與雙曲線之間的異同，使得學(xué)生對(duì)類比的思想有了一個(gè)簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí).通過(guò)對(duì)類比思想潛移默化的教學(xué)滲透，大大地提升了學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，對(duì)橢圓與雙曲線的認(rèn)識(shí)有了一個(gè)更深的階段.因此，運(yùn)用類比的思想，是提升學(xué)生們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一把利刃.

[?] 依托概念，學(xué)會(huì)理解性記性

高中數(shù)學(xué)概念性比較強(qiáng)，整個(gè)高中教材的設(shè)計(jì)沒(méi)有過(guò)多的廢話，直接點(diǎn)名主旨. 然而，這也無(wú)形間加大了學(xué)生們理解性記憶的難度，給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來(lái)壓力.而概念支撐著數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，可以說(shuō)概念是一種數(shù)學(xué)的表達(dá). 因此，如何提升學(xué)生們對(duì)概念的掌握與理解成為教師們教學(xué)的重難點(diǎn). 利用類比的思想，就會(huì)加深學(xué)生對(duì)概念的理解，提升學(xué)習(xí)的效率.

例如，當(dāng)給學(xué)生們講到指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)這一節(jié)時(shí)，由于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)較為抽象，故一些基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)有難度.在做題中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在定義運(yùn)用不準(zhǔn)確導(dǎo)致做錯(cuò)題的現(xiàn)象，這時(shí)，筆者就會(huì)慢慢地將“類比”的思想不斷地深入，讓學(xué)生們對(duì)二者的圖像、單調(diào)性、定義域等進(jìn)行對(duì)比，歸納總結(jié)，學(xué)生們彼此交流，發(fā)現(xiàn)：指數(shù)函數(shù)的定義域等于對(duì)數(shù)函數(shù)的值域；對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域等于指數(shù)函數(shù)的值域；底數(shù)決定其單調(diào)性.

通過(guò)學(xué)生間的自主交流與總結(jié)，學(xué)生們收獲了知識(shí)；通過(guò)對(duì)類比思想的滲透，大大地加深了學(xué)生們對(duì)這兩個(gè)知識(shí)的理解性記憶. 利用類比的教學(xué)方法，學(xué)生會(huì)將相關(guān)概念爛熟于心，做到真正的理解性記憶，同時(shí)也會(huì)幫助學(xué)生提升自身的能力，將知識(shí)牢牢掌握在心中.

[?] 玩轉(zhuǎn)公式，用定理舉一反三

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了概念以外，還有一個(gè)比較重要的就是“公式”，高中數(shù)學(xué)中，教材上出現(xiàn)密密麻麻的“公式”，它是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言在傳遞著某個(gè)等價(jià)的關(guān)系. 因此，公式就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，縱使題型千變?nèi)f化，但是無(wú)論如何變化，都是圍繞著公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換的. 在公式的學(xué)習(xí)中，筆者也會(huì)加入“類比”的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生們充分地理解公式并且能夠靈活運(yùn)用.

例如，在講解解三角形這一節(jié)時(shí)，學(xué)生們對(duì)于正弦定理與余弦定理的理解不是很深入.筆者在實(shí)際的教學(xué)中，通過(guò)學(xué)生反饋出來(lái)的信息與情況，讓學(xué)生將正弦定理與余弦定理進(jìn)行比較，學(xué)生間進(jìn)行交流討論，然后歸納總結(jié)，加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式的理解. 而不是像傳統(tǒng)的教學(xué)一樣，只顧著讓學(xué)生死記硬背，只有搞清楚公式的由來(lái)與演變，才能做到真正的運(yùn)用.

學(xué)生們通過(guò)對(duì)正弦定理與余弦定理的類比，發(fā)現(xiàn)了兩者的異同，這對(duì)牢固掌握正弦定理與余弦定理起到了極大的幫助. 學(xué)生們只有正確地掌握了公式，才能在運(yùn)用中不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)用類比的思想去學(xué)習(xí)，極大地減輕了學(xué)生們學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān).

[?] 總結(jié)歸納，讓意識(shí)由淺入深

高中數(shù)學(xué)教材的設(shè)計(jì)是循序漸進(jìn)，由淺入深的，學(xué)習(xí)也是一樣，要不斷地加深自己的難度，才會(huì)有所突破. 高中的數(shù)學(xué)，對(duì)于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握要求非常高，而緊密的一連串的數(shù)學(xué)知識(shí)環(huán)環(huán)相扣，使得學(xué)生隱約間有了許多壓力. 而怎么樣提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，正確的解題思路以及為學(xué)生提供一種正確的思維方式的引導(dǎo)，是教師們一直追求的目標(biāo).筆者在教學(xué)過(guò)程中，就會(huì)不斷地培養(yǎng)學(xué)生的這種意識(shí)，運(yùn)用“類比”的思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)比，不斷地交流，歸納總結(jié)，讓學(xué)生的意識(shí)由淺入深.

例如，在探討解析幾何類問(wèn)題時(shí)，筆者給學(xué)生們?cè)O(shè)計(jì)了這樣的一道題：現(xiàn)有雙曲線方程x2-y2=1，點(diǎn)P（a，b）為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，其到直線y=x的距離是，求出a+b的值.

此道題學(xué)生的正確率不高，而究其原因是學(xué)生們?cè)诮忸}的過(guò)程中忽略了已知條件P（a，b）的位置，才導(dǎo)致直接由=推導(dǎo)出a-b=±2，最后求解出結(jié)果為a+b=±. 這是大多數(shù)學(xué)生犯錯(cuò)的原因，這種解法顯然是錯(cuò)誤的. 通過(guò)學(xué)生對(duì)自己的錯(cuò)誤解法的重新思考，可以從客觀的角度幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到自身的不足，以及考慮問(wèn)題的全面性.

在橢圓與雙曲線的練習(xí)中，拋物線的知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生學(xué)習(xí)的不足之處，較多相似的知識(shí)點(diǎn)綜合在一起考查，容易將學(xué)生們的思維攪亂，這也是對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)是否扎實(shí)的一個(gè)檢測(cè). 筆者在實(shí)際的教學(xué)中，通過(guò)類比的思想，將學(xué)生們的錯(cuò)題進(jìn)行整合，幫助學(xué)生通過(guò)做一道題解決一類題. 升華學(xué)生的意識(shí)，運(yùn)用類比的思想，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)是需要?dú)w納與總結(jié)的，要不斷地反思自己的錯(cuò)題，將其拿出來(lái)，放到一處進(jìn)行類比，潛移默化地加上學(xué)生的意識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

總之，作為教師，我們應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，轉(zhuǎn)變自己傳統(tǒng)觀念，為學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的提升找到合適的方法，提升其學(xué)習(xí)能力. 教會(huì)學(xué)生運(yùn)用好類比思想，不斷將知識(shí)點(diǎn)、定義、公式以及題型進(jìn)行類比，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“更上一層樓”.