把時(shí)間還給學(xué)生，把機(jī)會(huì)讓給學(xué)生

金明+賀育林

[摘 要] 本文通過(guò)《正弦、余弦函數(shù)的圖像》教學(xué)實(shí)踐，說(shuō)明課堂教學(xué)中如何注重知識(shí)的形成過(guò)程，如何讓學(xué)生多思考、多動(dòng)手實(shí)踐、多分析對(duì)比、多探究、多合作交流. 課堂教學(xué)中教師重在導(dǎo)，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考、實(shí)踐、交流、體驗(yàn)、感悟. 在教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)有層次地設(shè)置問(wèn)題來(lái)引發(fā)學(xué)生的思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力.有意識(shí)地把本節(jié)課作為一個(gè)很好的提出問(wèn)題的載體，去培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生自主探索和合作學(xué)習(xí)的能力.

[關(guān)鍵詞] 感悟；對(duì)比反思；體驗(yàn)過(guò)程；誘發(fā)探究；教學(xué)思考

[?] 問(wèn)題提出

“課堂教學(xué)以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”是新課標(biāo)教學(xué)理念. 但在實(shí)際的課堂教學(xué)中，我們很多教師由于受應(yīng)試教育的影響較深，總是自覺(jué)或不自覺(jué)地?fù)屨剂藢W(xué)生表現(xiàn)的機(jī)會(huì). 如該學(xué)生“講”的，教師代替了學(xué)生講；該學(xué)生動(dòng)手“做”的，教師代替了學(xué)生做；該學(xué)生動(dòng)腦“思考”的，教師給予時(shí)間較短，學(xué)生末能充分思考；等等.

《正弦、余弦函數(shù)的圖像》這節(jié)課的教學(xué)很多教師認(rèn)為很簡(jiǎn)單，用電腦操作一下，讓學(xué)生體驗(yàn)一下正弦、余弦函數(shù)的圖像的得出過(guò)程，歸納出“五點(diǎn)作圖法”，然后通過(guò)大量的作圖練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)即可. 這種不注重知識(shí)的形成過(guò)程、不重視學(xué)生的體驗(yàn)的教學(xué)在現(xiàn)實(shí)中普遍存在. 課堂教學(xué)如何落實(shí)以學(xué)生為主的理念，如何把時(shí)間還給學(xué)生，把機(jī)會(huì)讓給學(xué)生？筆者通過(guò)一個(gè)課例加以說(shuō)明，以下是《正弦、余弦函數(shù)的圖像》的教學(xué)實(shí)錄及反思.

[?] 課堂教學(xué)實(shí)錄

1. 讓學(xué)生做實(shí)驗(yàn)，感悟函數(shù)圖像

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義及應(yīng)用（同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式），現(xiàn)在我有一個(gè)問(wèn)題：為什么叫三角函數(shù)？如為什么y=sinx叫正弦函數(shù)？

生1：在函數(shù)y=sinx中，y隨x變化而變化，所以是函數(shù).

生2：一個(gè)角確定唯一一個(gè)正弦值，任意一個(gè)給定實(shí)數(shù)x有唯一確定的值sinx與它對(duì)應(yīng)，由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)y=sinx叫正弦函數(shù).

師：非常好，生2結(jié)合函數(shù)的定義理解正弦函數(shù)非常準(zhǔn)確. 要研究函數(shù)，應(yīng)從哪些方面進(jìn)行研究呢？

生3：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等.

生4：先要作圖吧.

師：剛才兩位同學(xué)都說(shuō)得對(duì)，研究函數(shù)必研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，函數(shù)圖像對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究有幫助. 今天這節(jié)課我們重點(diǎn)探討正弦、余弦函數(shù)的圖像. 正弦、余弦函數(shù)的圖像到底是什么樣子的呢？下面，我們先做一個(gè)彈簧振子的實(shí)驗(yàn).

（實(shí)驗(yàn)）請(qǐng)一位同學(xué)搖動(dòng)手柄，帶動(dòng)紙筒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，我們把彈簧拉離平衡位置，放手使其振動(dòng)，彈簧中間的毛筆就會(huì)在紙上記錄下一條曲線，請(qǐng)同學(xué)們欣賞實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

此時(shí)，我們得到了一條非常優(yōu)美的波形曲線，學(xué)生驚呼：居然是這樣的形狀……一臉興奮.

（電腦演示）通過(guò)播放動(dòng)畫(huà)，同學(xué)們可以更清楚地看到曲線形成的過(guò)程.

師：這條曲線描述了彈簧相對(duì)于平衡位置的位移隨時(shí)間變化的情況，在物理中，這種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像就被稱(chēng)為正弦或余弦曲線.

師：同學(xué)們?cè)谏钪羞€見(jiàn)過(guò)哪些形狀類(lèi)似的曲線呢？能否舉一兩個(gè)例子與大家分享一下？

生5：體操運(yùn)動(dòng)員舞動(dòng)的彩帶.

生6：湖面上泛起的層層波浪.

生7：示波器下聲波的圖像，我們生活中用的正弦交流電等.

師：很好，同學(xué)們舉的例子都對(duì)，看樣子同學(xué)們對(duì)這個(gè)圖像并不陌生. 其實(shí)，世界上許多運(yùn)動(dòng)變化都具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，而刻畫(huà)這些現(xiàn)象最好的數(shù)學(xué)模型，就是我們今天要研究的正弦和余弦函數(shù)的圖像.

教學(xué)感悟：?jiǎn)栴}情景的設(shè)置達(dá)到了預(yù)期的效果，新穎的引入讓人眼前一亮，引發(fā)學(xué)生去積極思考，激起了學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和學(xué)習(xí)興趣.通過(guò)學(xué)生親自做實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在第一時(shí)間對(duì)正弦和余弦函數(shù)的圖像有了一個(gè)初步的了解. 讓學(xué)生舉例，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.

2. 讓學(xué)生嘗試作圖，對(duì)比反思

師：試驗(yàn)中的彈簧振子畫(huà)出了這么優(yōu)美的曲線，同學(xué)們想不想也用手中的筆和彈簧振子PK一下呢？

生眾：想！（躍躍欲試）

師：非常好！那我們就先來(lái)作y=sinx在區(qū)間[0，2π]的圖像. 作函數(shù)圖像分哪幾個(gè)步驟??？

生眾：①列表；②描點(diǎn)；③連線.

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)案上先試著畫(huà)出它的圖像.

（學(xué)生活動(dòng)：作完圖像后，同桌之間相互對(duì)比、交流. 教師收集學(xué)生所作圖像. ）

師：請(qǐng)同學(xué)們觀看投影，這是我收到的四位同學(xué)作圖的結(jié)果. 在同一坐標(biāo)系下，作出的圖像并不是很一致，思考產(chǎn)生這些差異的原因是什么.

生8：由于像sin，sin這些點(diǎn)必須取近似值才能描點(diǎn)，有誤差，導(dǎo)致不夠準(zhǔn)確.

教學(xué)感悟：從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，利用作圖通法——列表描點(diǎn)法——作正弦函數(shù)的圖像，培養(yǎng)學(xué)生積極動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦的習(xí)慣. 讓學(xué)生相互交流所作的圖像，發(fā)現(xiàn)其中出現(xiàn)的差異，引導(dǎo)學(xué)生分析差異產(chǎn)生的原因. 教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、合作交流能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)在投影儀上對(duì)學(xué)生所作圖像的展示，能夠很快發(fā)現(xiàn)列表描點(diǎn)法作正弦函數(shù)圖像的缺點(diǎn).

3. 讓學(xué)生思考如何精準(zhǔn)作圖，體驗(yàn)過(guò)程

師：很好，而且非特殊角的三角函數(shù)值，我們更沒(méi)有辦法精確得出，這種描點(diǎn)作圖的方法，我們稱(chēng)為代數(shù)描點(diǎn)法. 既然代數(shù)描點(diǎn)不夠精確，你能提出更好的方法嗎？（學(xué)生沉思，一時(shí)沒(méi)有好的辦法. ）

師：要研究三角函數(shù)值的表示，讓我們回到三角函數(shù)的定義. 在定義中，三角函數(shù)值是用比值來(lái)表示的，除了這種表示方法外，還可以用什么方式來(lái)刻畫(huà)呢？

生9：三角函數(shù)線.

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶三角函數(shù)線的相關(guān)知識(shí)（回顧舊知：正弦線、余弦線）：設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，則sinα==MP，cosα==OM. 有向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線.

為了作三角函數(shù)的圖像，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來(lái)度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù). 在一般情況下，兩個(gè)坐標(biāo)軸上所取的單位長(zhǎng)度應(yīng)該相同，否則所作曲線的形狀就各不相同了，從而影響初學(xué)者對(duì)曲線形狀的正確認(rèn)識(shí).

師：下面我們先以為例，思考：如何利用正弦線在直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)

，sin

的坐標(biāo)？

生10：先作單位圓，把圓心放在x軸負(fù)半軸上，作出對(duì)應(yīng)的正弦線，再平移到x軸右邊與橫坐標(biāo)同起點(diǎn)，就找到了點(diǎn)

，sin

的坐標(biāo).

師：這種描點(diǎn)的方法，我們稱(chēng)為幾何描點(diǎn)法. 與代數(shù)描點(diǎn)相比，幾何描點(diǎn)在精度上有了很大的提高. 作出了

，sin

這一個(gè)點(diǎn)后，其余的點(diǎn)也能用同樣的方法作出嗎？

生眾：一樣平移即可.

教師用動(dòng)畫(huà)演示作圖步驟：①把圓分成12等份，對(duì)應(yīng)x軸右側(cè)13個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②作各角的正弦線；③將正弦線向右平移，得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)；④用光滑的曲線連接正弦線的終點(diǎn).

師：作出了y=sinx在區(qū)間[0，2π]的圖像后，我們不禁要問(wèn)：y=sinx在整個(gè)實(shí)數(shù)集上的圖像又是怎樣的呢？我們先考慮區(qū)間（2π，4π）的圖像與區(qū)間[0，2π]的圖像有什么聯(lián)系.

學(xué)生11板演，作出區(qū)間（2π，4π）的圖像. 并說(shuō)明原因：由于sin（x+2kπ）=sinx，（k∈Z），即終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值，所以區(qū)間（2π，4π）上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)與區(qū)間[0，2π]上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，也就是可以由區(qū)間[0，2π]的圖像向右平移2π個(gè)單位得到.

師：非常好，剛才生11同學(xué)作出了y=sinx在區(qū)間（2π，4π）的圖像并說(shuō)明了理由，我們能否作出y=sinx在定義域R上的圖像呢？

生12：同樣地，我們把[0，2π]區(qū)間的圖像，每次向左或向右平移2π個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=sinx在整個(gè)實(shí)數(shù)集上的圖像了. 原因還是：sin（x+2kπ）=sinx，（k∈Z），即終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值.

師：正弦函數(shù)在定義域R上的圖像，我們稱(chēng)之為正弦曲線. 如圖3所示.

教學(xué)感悟：教師通過(guò)提問(wèn)，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生從作y=sinx的一個(gè)點(diǎn)，到作一個(gè)區(qū)間的圖像，再到作整個(gè)實(shí)數(shù)集上的圖像，由淺入深，步步深入，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思維的樂(lè)趣，問(wèn)題設(shè)計(jì)符合學(xué)生接受新事物的認(rèn)識(shí)規(guī)律. 在教學(xué)中，教師將展示的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，讓學(xué)生思考、讓學(xué)生作圖、讓學(xué)生說(shuō)理等.

4. 作圖引申，誘發(fā)探究

師：我們已經(jīng)作出了正弦函數(shù)y=sinx在定義域R上的圖像，能否作余弦函數(shù)y=cosx的圖像呢？請(qǐng)同學(xué)們思考.

生12：先作y=cosx在[0，2π]上的圖像，再用誘導(dǎo)公式進(jìn)行平移得出y=cosx在定義域R上的圖像.

師：很好，那么怎么作y=cosx在[0，2π]上的圖像呢？

生13：與正弦函數(shù)一樣用余弦三角函數(shù)線進(jìn)行平移. 不對(duì)不對(duì)，在x軸上不能平移.

生14：好像能在y軸上平移，但還是有點(diǎn)不方便.

師：能否轉(zhuǎn)換一下思路，借助我們已經(jīng)作出的正弦函數(shù)的圖像呢？

生15：根據(jù)誘導(dǎo)公式，利用cosx=sin

x+

，所以y=cosx的圖像可由y=sinx的圖像向左平移個(gè)單位得到.

師：非常好，生15根據(jù)誘導(dǎo)公式將余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)作出了它的圖像. 余弦函數(shù)在定義域R上的圖像，我們稱(chēng)之為余弦曲線. 如圖4所示.

教學(xué)感悟：教師提出問(wèn)題促使學(xué)生進(jìn)行思考，給學(xué)生思維空間. 學(xué)生由于受正弦函數(shù)作圖的影響，思維可能出現(xiàn)偏差，當(dāng)學(xué)生想不到時(shí)給一點(diǎn)點(diǎn)提示，繼續(xù)讓學(xué)生思考，相信學(xué)生的能力. 給足夠的時(shí)間、空間讓學(xué)生思考，讓學(xué)生交流展示.

5. 讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，探求作圖的簡(jiǎn)易方法

師：對(duì)函數(shù)圖像形狀的認(rèn)識(shí)，為我們簡(jiǎn)化作圖提供了有利的支持. 知道了這兩個(gè)點(diǎn)，我們就可以很快地作出一次函數(shù)的簡(jiǎn)圖. 知道了拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，我們也可以很快地作出二次函數(shù)的簡(jiǎn)圖. 請(qǐng)同學(xué)們觀察區(qū)間[0，2π]上正、余弦函數(shù)的圖像，有哪些點(diǎn)在決定圖像形狀的過(guò)程中起到了關(guān)鍵性的作用？

生16：觀察正弦函數(shù)的圖像先由原點(diǎn)上升到最高點(diǎn)，再回到x軸，再下降到最低點(diǎn)，最后又回到x軸，也就是有5個(gè)點(diǎn)在決定圖像形狀的過(guò)程中起到了關(guān)鍵作用. 即點(diǎn)（0，0），

，1，（π，0），

，-1，（2π，0）.

師：非常好，觀察能力非常強(qiáng). 同樣，根據(jù)余弦函數(shù)先下降再上升的變化趨勢(shì)，也有5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（生齊答5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)）.

師：有了這5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，函數(shù)圖像的形狀也就基本確定了. 那么，今后在精度要求不太高的前提下，我們還需要像前面的代數(shù)描點(diǎn)法一樣，作出13個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

生眾：不需要，只需列出5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).

師：對(duì)，我們只需列出5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再描點(diǎn)，最后連線. 注意此時(shí)的連線，不僅要用光滑曲線，還要注意到函數(shù)圖像形狀的特點(diǎn)，相對(duì)x軸外凸. 這種作函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法，我們稱(chēng)它為“五點(diǎn)作圖法”. 以后我們作圖就用“五點(diǎn)作圖法”.

教學(xué)感悟：教師通過(guò)回顧一次函數(shù)、二次函數(shù)的作圖啟發(fā)學(xué)生思考如何方便快捷地作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，讓學(xué)生觀察、思考后得出結(jié)論，將結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程讓給學(xué)生.

6. 讓學(xué)生作圖，鞏固知識(shí)

師：既然“五點(diǎn)作圖法”這么方便快捷，我們不妨嘗試一下. 我們先來(lái)用“五點(diǎn)作圖法”作y=sinx+1，x∈[0，2π]的簡(jiǎn)圖. 看哪位同學(xué)做得又快又好. 有沒(méi)有同學(xué)愿意上來(lái)，給大家做一個(gè)示范？

巡視教室，找一位學(xué)生板演，教師對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，并提醒學(xué)生注意思考，如何利用區(qū)間[0，2π]上y=sinx的五點(diǎn)，求出y=sinx+1的五點(diǎn).

板演完畢，教師點(diǎn)評(píng)并強(qiáng)調(diào)，此時(shí)表格中的第一行和第三行，才是我們要描點(diǎn)的五點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)，描點(diǎn)時(shí)，要注意到曲線的走勢(shì)，用光滑曲線連線.

師：下面，請(qǐng)同學(xué)們觀察作出的圖像，與y=sinx在區(qū)間[0，2π]的圖像有什么聯(lián)系呢？

生18：可由y=sinx向上平移一個(gè)單位得到.

師：也就是說(shuō)，我們作y=sinx+1的圖像還可以通過(guò)平移y=sinx來(lái)作圖.

師：接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)與余弦函數(shù)有關(guān)的作圖. 請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)案上作出y=-cosx（x∈[0，2π]）的簡(jiǎn)圖.

學(xué)生板演，再由一位學(xué)生更正作圖過(guò)程中不完善的地方.

師：同樣地，我們可以看出，y=-cosx可由y=cosx如何變換得到呢？

生齊答：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得到.

教學(xué)感悟：通過(guò)例題的講解，加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，鞏固與深化正弦函數(shù)圖像的運(yùn)用，讓學(xué)生真正能夠做到學(xué)以致用，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力. 通過(guò)追問(wèn)使學(xué)生明白利用圖像變換作圖，也是一個(gè)非常實(shí)用的方法.

7. 總結(jié)回顧，人文引申

師：最后，讓我們一起來(lái)回顧一下今天的探究之旅，我們學(xué)到了什么？

生：主要學(xué)到了正弦、余弦函數(shù)的三種描點(diǎn)作圖法，此外，我們還學(xué)到了可以利用圖像的平移和對(duì)稱(chēng)變換來(lái)作圖.

師：很好. 其中，“五點(diǎn)作圖法”是本節(jié)課的重點(diǎn)，同學(xué)們一定要熟練掌握. 不知道大家是否與我有同感，正弦曲線和余弦曲線，就像是我們的人生，有高峰也有低谷. 祝愿同學(xué)們能把握好人生的關(guān)鍵點(diǎn)，畫(huà)出屬于我們自己的精彩人生軌跡！

教學(xué)感悟：教師將正弦曲線和余弦曲線與人生聯(lián)系在一起，豐富了數(shù)學(xué)知識(shí)，體現(xiàn)了人文關(guān)懷，同時(shí)也激勵(lì)了學(xué)生.

[?] 教學(xué)反思

在現(xiàn)實(shí)的課堂教學(xué)中，有的教師為了趕教學(xué)進(jìn)度、多做幾道題，很多時(shí)候不能做到將時(shí)間還給學(xué)生，將機(jī)會(huì)讓給學(xué)生. 筆者聽(tīng)過(guò)很多講解這一節(jié)內(nèi)容的課，有的教師用二十分鐘不到的時(shí)間就講完了：他不花時(shí)間去做實(shí)驗(yàn)，只是用電腦展示（學(xué)生體驗(yàn)不到正弦曲線來(lái)源于生活），不讓學(xué)生去嘗試用描點(diǎn)作圖（學(xué)生體驗(yàn)不到不同學(xué)生作圖的差異和準(zhǔn)確作圖的必要性），只是直接用電腦演示用單位圓中的正弦線去平移作圖（學(xué)生體驗(yàn)不到這樣作圖的好處），然后講解如何作余弦函數(shù)的圖像，總結(jié)出“五點(diǎn)作圖法”，接著就是大量的練習(xí)鞏固. 這樣做學(xué)生也許能掌握本節(jié)課的內(nèi)容，但學(xué)生缺少情感的體驗(yàn)，缺乏學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，沒(méi)有體會(huì)到數(shù)學(xué)思維的魅力.

本節(jié)課筆者在做教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)抓住了一個(gè)突出的特點(diǎn)：把時(shí)間還給學(xué)生，將機(jī)會(huì)讓給學(xué)生. 讓學(xué)生做實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)到正弦曲線、余弦曲線來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活；讓學(xué)生嘗試描點(diǎn)作圖，反思作圖差異形成的原因?yàn)榫珳?zhǔn)作圖作了鋪墊；引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)線，啟發(fā)學(xué)生由作一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)區(qū)間再到整個(gè)R上的圖像，在此過(guò)程中讓學(xué)生說(shuō)、讓學(xué)生思、讓學(xué)生畫(huà)、讓學(xué)生合作交流體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的樂(lè)趣；接著引導(dǎo)學(xué)生如何作余弦函數(shù)的圖像. 在此過(guò)程中學(xué)生思維出現(xiàn)偏差時(shí)，不是教師告知結(jié)論，而是啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生去想、去思考、去展示思維成果，最后讓學(xué)生觀察思考得出“五點(diǎn)作圖法”. 在教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)有層次地設(shè)置問(wèn)題來(lái)引發(fā)學(xué)生的思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力.筆者有意識(shí)地把本節(jié)課作為一個(gè)很好的提出問(wèn)題的載體，去培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生自主探索和合作學(xué)習(xí)的能力.

“將機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，將時(shí)間還給學(xué)生”不應(yīng)是一個(gè)口號(hào)，而應(yīng)付諸行動(dòng). 在教學(xué)時(shí)，把原本屬于學(xué)生的時(shí)間還給學(xué)生：把練習(xí)的時(shí)間還給學(xué)生，把思考的時(shí)間還給學(xué)生……讓他們觀察、歸納、概括、探究、參與舉例、參與再創(chuàng)造……教師不要去爭(zhēng)、去搶、去占，而是要參與到學(xué)生的活動(dòng)中去. 教師將問(wèn)題展示后，最好選擇閉嘴（你作為教師是早就想好了，可學(xué)生才接觸到），不要跟學(xué)生去爭(zhēng)搶?zhuān)褭C(jī)會(huì)讓給學(xué)生，你“休息休息”，學(xué)生有困難你再去啟發(fā)，他們沒(méi)有跌倒你扶他干嘛？巡視后投影，再提問(wèn)、互動(dòng)交流，多暴露學(xué)生的思維過(guò)程.

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