探析類比思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

鄭育玲

[摘 要]所謂類比思想，是把兩個(gè)（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們?cè)谀承┓矫嬗邢嗤蝾愃浦?，那么就推斷它們?cè)谄渌矫嬉部赡苡邢嗤蝾愃浦?它是解決數(shù)學(xué)問題常用的方法和途徑，在中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地滲透類比聯(lián)想的思想方法，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并且發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.本文通過探析類比聯(lián)想、類比與數(shù)列以及類比與解析幾何，學(xué)會(huì)舉一反三，觸類旁通，以期指導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地鍛煉自身類比聯(lián)想的思維能力.

[關(guān)鍵詞]類比；數(shù)列；解析幾何

一、類比與聯(lián)想

例1 已知是非零實(shí)常數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說明理由.

解題策略：由已知等式的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到與進(jìn)行類比，所以把看作的一個(gè)具體模型，題中的相當(dāng)于，由函數(shù)的周期，故可猜想的周期可能是.

對(duì)任意，有

；，根據(jù)周期函數(shù)的定義可知是一個(gè)周期為的周期函數(shù).

通過結(jié)構(gòu)關(guān)系上的相似性進(jìn)行類比、聯(lián)想是進(jìn)行探索、創(chuàng)新的一種重要途徑.因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中不僅要重視公式的記憶，更要把握公式中量與量之間所反映出來的結(jié)構(gòu)關(guān)系，這樣才能做到舉一反三，觸類旁通.

二、數(shù)列中的類比

例2 （1）求證：在等差數(shù)列中，若，則有等式成立；（2）類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若則有等式 成立；（3）在第（1）小題中，若將改成，則相應(yīng)的等式應(yīng)該是 .

解題策略：

1.常規(guī)解法是根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分別對(duì)等式兩邊進(jìn)行求和，并由化簡(jiǎn)證明兩式相等.下面給出一種較簡(jiǎn)便的解法：設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.因?yàn)椋?，由是n的二次函數(shù)可知：的圖像的對(duì)稱軸為，所以，即成立.

注：中的n本是正整數(shù)，但為了研究的方便，不妨設(shè)亦可.

2..類比的依據(jù)如下：不妨設(shè)，則數(shù)列就是等差數(shù)列，且，由第（1）小題易知，化簡(jiǎn)后即有

3..

等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中數(shù)學(xué)進(jìn)行類比的典型例子.這是因?yàn)閮烧叩亩x只有一字之差，而定義中的“差”與“比”只是運(yùn)算上的差別，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化：即若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列.所以，從本題中涉及的運(yùn)算關(guān)系看，是加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算的類比.

三、解析幾何中的類比

例3 與圓類似，連接圓錐曲線上兩點(diǎn)的線段叫做圓錐曲線的弦，過有心曲線（橢圓、雙曲線）的中心（即對(duì)稱中心）的弦叫做有心曲線的直徑.對(duì)圓，由直徑所對(duì)的圓周角是直角出發(fā)，可得：若AB是圓O的直徑，M是圓O上的一點(diǎn)（異于A、B），且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行，則.

1.試根據(jù)點(diǎn)M和直徑AB的特殊位置，寫出對(duì)橢圓的類似結(jié)論并證明；

2.類比問題（1），寫出對(duì)雙曲線的類似結(jié)論.

四、解題策略

1.在橢圓上任取，直徑的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為、，，由此可猜想出相應(yīng)的一般結(jié)論是：若AB是橢圓的直徑，M是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，且直線MA、MB與坐標(biāo)軸均不平行，則.

證明如下：設(shè)、是橢圓上不同的兩點(diǎn)，由于橢圓的中心是原點(diǎn)，故直徑AB的另一端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，且滿足，.由此得，，因此.

2.若AB是雙曲線的直徑，為雙曲線上異于A、B的一點(diǎn)，且直線MA、MB與坐標(biāo)軸均不平行，則.

圓錐曲線的方程都是二元二次方程，圓錐曲線的第一定義很相似（特別是橢圓與雙曲線），圓錐曲線還可由第二定義來定義，并把方程統(tǒng)一成極坐標(biāo)形式.因此，根據(jù)一種圓錐曲線所具有的性質(zhì)，通過類比，可在方法或結(jié)論上探索另一種圓錐曲線所具有的性質(zhì)，當(dāng)然這種性質(zhì)不一定是簡(jiǎn)單的“復(fù)制”.

參考文獻(xiàn)：

[1]類比法在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 寧華玲. 讀書文摘. 2015（18） .