求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

武良云

摘 要 數(shù)列不僅是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考的重點(diǎn)考查的內(nèi)容，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容，而根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是常見的而且又比較困難的問題。研究該內(nèi)容，不但能夠拓寬解題思路，而且也有助于提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。本文重點(diǎn)介紹六類簡單的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法。

關(guān)鍵詞 數(shù)列 通項(xiàng)公式 遞推公式

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2017）16-0069-01

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，每年高考都會(huì)出現(xiàn)有關(guān)數(shù)列方面的試題，一般分為小題和大題兩種題型，而數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法是常考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一般常出現(xiàn)在大題的第一小問中，因此掌握好數(shù)列通項(xiàng)公式的求法不僅有利于我們掌握好數(shù)列知識(shí)，更有助于提高高考成績。

一、通用公式法

若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可用公式an=求解。一般先求出a1=s1，若計(jì)算出的an中當(dāng)n=1適合時(shí)可以合并為一個(gè)關(guān)系式，若不適合則分段表達(dá)通項(xiàng)公式。

例1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2 1，求{an}的通項(xiàng)公式。

分析：a1=s1=0，當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn sn-1=（n2 1） [（n 1）2 1]=2n 1，由于a1不適合于此等式，∴an=

變式1：知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=，求{an}的通項(xiàng)公式。

二、累加法

一般地，對(duì)于型如 an+1 an=f（n）（f（n）為可求和的數(shù)列）類的通項(xiàng)公式，且f（1）+f（2）+…+f（n）的和比較好求，可采用此方法來求an。

即：an=（an an-1）+（an-1 an-2）+…+（a2 a1）+a1（n≥2）

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=an+，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

分析：由題知： an+1 an===

∴an=（an an-1）+（an-1 an-2）+…+（a2 a1）+a1

=（ ）+（ ）+…+（ ）+

=

變式2：知數(shù)列{an}中，a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

三、累乘法

一般地，對(duì)于型如=f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）類的通項(xiàng)公式，且f（1） f（2）…f（n）的積比較好求，可采用此方法來求an。

即：an= … a1（n≥2）。

舉例3 已知：a1=，an=an-1=（n≥2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)。

分析：

∴

變式3：已知，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式。

四、待定系數(shù)法

一般地，對(duì)于型如（p，q為常數(shù)）類的通項(xiàng)公式求法，可化成形式為的數(shù)列，重新構(gòu)造出一個(gè)以p為公比的等比數(shù)列，然后通過化簡用待定系數(shù)法求k，然后再求an。

舉例4 （2014﹒新課標(biāo)II）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1。

證明：是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

分析：（I）由 得： 得：

∴

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列

∴

變式4：已知數(shù){an}的遞推關(guān)系為，且a1=1求通項(xiàng)an。

（責(zé)任編輯 劉 馨）