基于認(rèn)知負(fù)荷理論的二元均值不等式鏈教學(xué)設(shè)計(jì)

侯曉娟

【摘 要】 近年來，研究者越發(fā)重視認(rèn)知負(fù)荷理論對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的積極影響.以《二元均值不等式鏈》為例，基于認(rèn)知負(fù)荷理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，并指出不等式鏈教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)用的策略：多元表征教學(xué)內(nèi)容、建立新舊知識(shí)的聯(lián)系、減少全新信息源的引入、減少圖形搜索過程、簡潔呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容、注重語言引導(dǎo).就不等式鏈教學(xué)中如何整合內(nèi)容，加深學(xué)生理解進(jìn)行思考.為教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考.

【關(guān)鍵詞】 認(rèn)知負(fù)荷理論；二元均值不等式鏈；設(shè)計(jì)策略

二元均值不等式鏈（21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22（a>0，b>0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）既是基本不等式的拓展，也是高等數(shù)學(xué)中均值不等式Hn（調(diào)和平均數(shù)）≤Gn（幾何平均數(shù)）≤An（算術(shù)平均數(shù)）≤Qn（方冪平均數(shù)）的特例.二元均值不等式鏈（以下稱為不等式鏈）是現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材中唯一的基本不等式鏈，其蘊(yùn)含著簡潔統(tǒng)一的數(shù)學(xué)美.多年來，其證明方式多種多樣，不同的證明方法從代數(shù)、幾何、三角、函數(shù)、向量、統(tǒng)計(jì)、方程等角度展開[13].但在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)不等式鏈的重視不夠，只是簡單利用代數(shù)方式得出結(jié)論，學(xué)生很難體會(huì)到不等式鏈的內(nèi)在本質(zhì).教師在不等式鏈的教學(xué)中如何尋求知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，選擇恰當(dāng)?shù)淖C明方法，以幫助學(xué)生建構(gòu)完善的知識(shí)體系，是一個(gè)值得思考的問題.

認(rèn)知負(fù)荷理論要求教學(xué)設(shè)計(jì)充分考慮到工作記憶的容量限制，以降低學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷并適當(dāng)增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷[45].我國當(dāng)前有關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)的研究大多從教師的“教”入手，致力于“有效地教”的理論建構(gòu)與現(xiàn)實(shí)踐行，卻在一定程度上有意或無意地忽視了“有效地學(xué)”[6].課堂的教學(xué)效果體現(xiàn)在學(xué)生學(xué)得怎么樣，而不是教師教得多精彩.教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)忽略了學(xué)生的認(rèn)知能力，在對(duì)知識(shí)的整體把握和呈現(xiàn)方式等方面增加了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.在已有研究的基礎(chǔ)上，以不等式鏈為例，基于認(rèn)知負(fù)荷理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以最大程度降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，幫助學(xué)生加深對(duì)不等式鏈的理解，建構(gòu)知識(shí)體系.

1 認(rèn)知負(fù)荷理論

人類只能監(jiān)控工作記憶中的內(nèi)容，其他所有認(rèn)知內(nèi)容除非進(jìn)入工作記憶，否則均是隱形的，但工作記憶容量十分有限，大概一次能保存七項(xiàng)信息.由于工作記憶常用于處理信息，導(dǎo)致其只能同時(shí)處理兩到三個(gè)信息項(xiàng)[7].為保證學(xué)習(xí)效果，需要加工的信息總量應(yīng)控制在記憶系統(tǒng)的容量內(nèi).當(dāng)解決①α=30°|sinα；②α=15°|sinα兩個(gè)問題時(shí)，在工作記憶中需要加工和存儲(chǔ)的信息總量存在差異.Sweller等人將工作記憶在完成任務(wù)過程中需要加工和存儲(chǔ)信息的全部數(shù)量稱為認(rèn)知負(fù)荷[8].

在信息加工和存儲(chǔ)過程中，施加的認(rèn)知負(fù)荷取決于材料的內(nèi)在本質(zhì)（內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷）、材料的呈現(xiàn)方式（外在認(rèn)知負(fù)荷）以及工作記憶在對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行建構(gòu)或自動(dòng)化的過程中承受的負(fù)荷（相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷）[45].由于內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是被處理材料的固有屬性，它不能通過教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行修改.良好的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)考慮降低學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷并適當(dāng)增加學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷.

2 “二元均值不等式鏈”教學(xué)設(shè)計(jì)

不等式鏈?zhǔn)恰叭私贪妗备咧袛?shù)學(xué)選修45中基本不等式的拓展內(nèi)容，作為正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)的大小關(guān)系，對(duì)學(xué)生不等式的學(xué)習(xí)具有重要意義，有助于學(xué)生形成良好的知識(shí)體系.但不等式鏈的形式復(fù)雜，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，新舊知識(shí)是否建立聯(lián)系、課件中教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)是否簡潔、教師的教學(xué)言語是否恰當(dāng)?shù)榷紩?huì)影響學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.在充分考慮以上因素的情況下，進(jìn)行如下的不等式鏈教學(xué)設(shè)計(jì).

2.1 教學(xué)內(nèi)容處理設(shè)計(jì)

將不等式鏈的代數(shù)形式（如圖1）與幾何形式（如圖2）相結(jié)合，考慮到新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，選用切割線定理模型，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).采用合作探究，建構(gòu)模型的教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

在不等式鏈的教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過幾何表征和代數(shù)表征講解不等式鏈可以使學(xué)習(xí)者更深入地理解其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特征，并促進(jìn)學(xué)生將該知識(shí)應(yīng)用于幾何領(lǐng)域，因?yàn)槊糠N表征方式都為學(xué)生提供了獨(dú)特的視角.

2.2 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

⑴ 在復(fù)習(xí)基本不等式與切割線定理的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作探究建構(gòu)不等式ab

當(dāng)講授不等式鏈這個(gè)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生需要理解不等式鏈涉及的四個(gè)平均數(shù)之間的復(fù)雜關(guān)系，學(xué)生的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷較高.在這種情況下，建立新舊知識(shí)間的聯(lián)系是降低學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷總量的前提，否則，認(rèn)知負(fù)荷總量可能超過工作記憶的容量，阻礙學(xué)生學(xué)習(xí).教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)簡單模型，使不等式鏈與基本不等式的知識(shí)聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生合作探究，數(shù)學(xué)建模的能力.

⑵以學(xué)生小組探究建構(gòu)的不等式ab

教學(xué)內(nèi)容上，對(duì)已得到的幾何模型進(jìn)行深入探究，避免由于引入新模型，增加學(xué)生額外的工作記憶負(fù)荷.呈現(xiàn)形式上，采用①②③④標(biāo)識(shí)線段，改變以往利用大寫字母標(biāo)識(shí)線段的方式，避免在圖形搜索過程中，學(xué)生的工作記憶系統(tǒng)需要保持的文字或符號(hào)信息過多，引起較大的外在認(rèn)知負(fù)荷，降低學(xué)習(xí)效率.

⑶在得知線段①②數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為ab、a+b2的情況下，教師引導(dǎo)學(xué)生探究線段③④的表達(dá)式.首先簡化已有模型，只呈現(xiàn)與目標(biāo)線段直接相關(guān)的內(nèi)容，其余內(nèi)容隱去.其次將已知線段的表達(dá)式標(biāo)記在圖形中，學(xué)生通過觀察，利用射影定理可得出線段③的數(shù)學(xué)表達(dá)式為aba+b2.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)aba+b2進(jìn)行變形，并指出21a+1b為正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)，線段④的表達(dá)式a2+b22為正數(shù)a、b的平方平均數(shù).

在已知線段①②表達(dá)式的基礎(chǔ)上，欲求線段③④的數(shù)學(xué)表達(dá)式.學(xué)生已經(jīng)了解原模型的形狀，在計(jì)算線段③④的過程中，將原模型中的圓形、部分線段隱去，簡化成三角形，以降低學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷.此時(shí)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)三角形中蘊(yùn)含的解決問題的信息，提高課堂教學(xué)的效率.

圖10⑷在得出不等式鏈的基礎(chǔ)上（圖10），教師進(jìn)行語言表述“基本不等式滿足當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，③=①=②=④.”

設(shè)計(jì)意圖 通過簡單的課件呈現(xiàn)輔助語言表述，可以避免屏幕上顯示文本與語言表述的重復(fù)，否則，學(xué)生將在工作記憶中對(duì)相同內(nèi)容進(jìn)行兩次處理.這種重復(fù)處理的過程可能中斷工作記憶中有益的認(rèn)知過程.利用基本不等式的典型特征類比不等式鏈，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)角度進(jìn)一步猜想并證明，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

3 “不等式鏈”教學(xué)設(shè)計(jì)中體現(xiàn)的設(shè)計(jì)策略

為降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，在二元均值不等式鏈教學(xué)設(shè)計(jì)中，體現(xiàn)了以下教學(xué)設(shè)計(jì)策略：

3.1 多元表征教學(xué)內(nèi)容

在講解某數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，嘗試以幾何、代數(shù)、函數(shù)、向量、統(tǒng)計(jì)、方程等不同的形式進(jìn)行處理.這體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論的多元表征原則，即自然科學(xué)的大多數(shù)領(lǐng)域中，信息可以通過圖形、表格、文本或公式等不同的表示形式來呈現(xiàn)，以增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，有助于學(xué)生理解知識(shí).

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要以多種方式表征同一知識(shí)點(diǎn)，使知識(shí)成為學(xué)習(xí)者思維導(dǎo)圖中的一點(diǎn)，而不是單獨(dú)的知識(shí)片段，幫助學(xué)生形成良好的知識(shí)體系.同時(shí)，將知識(shí)以不同的形式表達(dá)，可以使學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)知識(shí)，深入理解其內(nèi)涵.

3.2 建立新舊知識(shí)的聯(lián)系

在講解某數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，要設(shè)法將其與已有知識(shí)聯(lián)系起來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以防止給學(xué)生施加過高的認(rèn)知負(fù)荷.這體現(xiàn)出認(rèn)知負(fù)荷理論的相鄰性原則，即在時(shí)間或空間上呈現(xiàn)意義相鄰的內(nèi)容，以增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，提高教學(xué)的有效性.

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)處理教學(xué)內(nèi)容時(shí)，要設(shè)法在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上架起通向新知的橋梁，達(dá)到知識(shí)的同化與順應(yīng)，以幫助學(xué)生形成良好的知識(shí)體系.

3.3 減少全新信息源的引入

教學(xué)設(shè)計(jì)中各信息源之間要具有聯(lián)系，減少全新信息源的引入，避免認(rèn)知負(fù)荷的提高.這體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論的分散注意原則，即在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要避免學(xué)習(xí)者將注意力分散在多個(gè)信息源上，減少學(xué)習(xí)者在心理上對(duì)不必要內(nèi)容的整合，以降低外在認(rèn)知負(fù)荷，提高學(xué)習(xí)效率.

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要避免過多地引入新問題，可以就一個(gè)問題由淺入深地進(jìn)行探究，這樣可以減少學(xué)生對(duì)新問題的再整合過程，降低外在認(rèn)知負(fù)荷.

3.4 減少圖形搜索過程

在進(jìn)行幾何圖形相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要減少字母的應(yīng)用，盡量采用“符號(hào)標(biāo)識(shí)+語言引導(dǎo)”的形式組織教學(xué).這體現(xiàn)認(rèn)知負(fù)荷理論的形式化原則，即當(dāng)借助多媒體解釋問題時(shí)，信息應(yīng)以聽覺材料輔助直觀的視覺材料進(jìn)行呈現(xiàn)，以降低外在認(rèn)知負(fù)荷，提高課堂學(xué)習(xí)效率.

圖12例如在不等式鏈的教學(xué)設(shè)計(jì)中，同一問題可以有多種呈現(xiàn)方式.圖11，學(xué)生對(duì)線段（AD、DN等）的搜索時(shí)間是影響學(xué)生學(xué)習(xí)效率的一個(gè)重要因素.圖形搜索過程中工作記憶系統(tǒng)需要保持文字或符號(hào)信息，從而引起較大的外在認(rèn)知負(fù)荷.而圖12的呈現(xiàn)方式，教師利用簡單的言語表述就可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)四條線段進(jìn)行計(jì)算.

3.5 簡潔呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容

在對(duì)課件進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，將無關(guān)內(nèi)容隱去，簡潔呈現(xiàn)，突出重點(diǎn).例如在均值不等式鏈的教學(xué)設(shè)計(jì)中，將原模型簡化為三角形進(jìn)行講解體現(xiàn)這一策略.這體現(xiàn)出認(rèn)知負(fù)荷理論的相干性原則，即在借助多媒體解釋內(nèi)容時(shí)，應(yīng)當(dāng)包含較少的無關(guān)文本和聲音，降低外在認(rèn)知負(fù)荷，有利于學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容.

在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，不相干的圖片、聲音或音樂等內(nèi)容，都會(huì)增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，進(jìn)而影響學(xué)生的學(xué)習(xí).簡單地說，在設(shè)計(jì)利用多媒體呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，簡單的材料比復(fù)雜的修飾材料學(xué)習(xí)效果好.

3.6 注重語言引導(dǎo)

在教學(xué)過程中，注重語言的引導(dǎo)，減少課件中顯示的文本內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)效果好.這體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論的冗余性原則，即在借助多媒體呈現(xiàn)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)避免屏幕顯示文本與語言表述產(chǎn)生冗余效應(yīng)，避免外在認(rèn)知負(fù)荷的增加.

例如不等式鏈教學(xué)設(shè)計(jì)（圖3），在復(fù)習(xí)切割線定理（分割、分行呈現(xiàn)）的基礎(chǔ)上，以簡單的圖示呈現(xiàn)問題，教師用語言表述“同學(xué)們能利用切割線定理建構(gòu)一個(gè)幾何模型得出不等式ab 基于認(rèn)知負(fù)荷理論，從教學(xué)內(nèi)容的處理、教學(xué)過程的開展、教學(xué)課件的設(shè)計(jì)、師生語言交流等方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以增加學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，并降低學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷.教師在日常教學(xué)中，要全面考慮并設(shè)計(jì)教學(xué)各環(huán)節(jié)，應(yīng)用多元表征教學(xué)內(nèi)容、建立新舊知識(shí)的聯(lián)系、減少全新信息源的引入、減少圖形搜索的過程、簡潔呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容、注重語言引導(dǎo)等策略進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率，鼓勵(lì)學(xué)生探索知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維.

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