兩類換元積分法的比較

付麗娜　樊小琳　姜永勝　陳星

【摘 要】換元積分法是計(jì)算積分的重要方法。本文主要從三個(gè)方面對(duì)兩類換元積分法進(jìn)行比較，分別給出了兩類換元積分法的適用范圍及一些計(jì)算積分的解題技巧。

【關(guān)鍵詞】積分；換元積分法；比較研究

Comparison of Two Kinds of Integration by Substitution

FU Li-na FAN Xiao-lin JIANG Yong-sheng CHEN Xing

（Basic Courses Department of Xinjiang Institute of Engineering，Urumqi Xinjiang 830011，China）

【Abstract】The Integration by substitution is an important method to solve the integral problem.This article mainly comparing the two kinds of Integration by substitution from three aspects and then respectively gives the scope of application of two kinds of variable integral method and some problem-solving skills.

【Key words】Integration；Integration by substitution；The contrastive study

0 引言

積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而學(xué)好積分的基礎(chǔ)是不定積分的計(jì)算，眾所周知計(jì)算不定積分的常用方法有以下三種：直接法，換元積分法，分部積分法，其中換元積分法作為一種計(jì)算不定積分的重要方法，又分為第一類換元積分法和第二類換元積分法，而區(qū)分和正確使用這兩類換元積分法對(duì)于初學(xué)者來(lái)講往往有一定的難度。為了幫助讀者更好的理解換元積分法，本文主要從三個(gè)方面，即：When、Why、What，對(duì)兩類換元積分法進(jìn)行比較，這將為讀者在利用換元積分法計(jì)算不定積分時(shí)提供一種清楚明了的思路。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

2 兩類換元積分法的比較

2.1 When：何時(shí)選用第一類換元積分法，何時(shí)選用第二類換元積分法？

從上述兩個(gè)定理可以看出，換元積分法主要用來(lái)計(jì)算被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的不定積分，而換元積分法有兩類，那么對(duì)于一道利用換元積分法計(jì)算的不定積分題目，選擇正確的方法是解題的第一步，因此區(qū)分何時(shí)選擇第一類換元積分法，何時(shí)選擇第二類換元積分法顯得尤為重要。經(jīng)驗(yàn)表明，我們通常根據(jù)被積函數(shù)的具體形式來(lái)選擇合理的方法。

當(dāng)被積函數(shù)是以下形式時(shí)，選擇第一類換元積分法。

1）當(dāng)被積函數(shù)與積分基本公式表中的被積函數(shù)形式一樣，只是積分變量相差常數(shù)時(shí)；如？蘩 e4xdx、？蘩 cos（3x+4）dx等。

2）當(dāng)被積函數(shù)其中一部分的導(dǎo)數(shù)恰好是另一部分或只與另一部分相差常數(shù)時(shí)；如？蘩dx、？蘩 xedx等。

當(dāng)被積函數(shù)是以下形式時(shí)，選擇第二類換元積分法。

1）當(dāng)被積函數(shù)含有根式（其中a，b為常數(shù)，a≠0），采用無(wú)理代換，即令t=，代入被積函數(shù)去掉根號(hào)的同時(shí)將關(guān)于x的不定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于t不定積分；如？蘩dx、？蘩dx等。

2）當(dāng)被積函數(shù)含有形如，、等式子時(shí)，采用三角代換，分別令x=asint（或x=acost）、x=asect、x=atant代入被積函數(shù)利用三角公式去掉根號(hào)，需要注意的是在具體問(wèn)題中需要注明t的范圍，以保證題目有意義，這一點(diǎn)在下文將做說(shuō)明；如？蘩dx（a>0）、？蘩dx（a>0）等。

3）當(dāng)被積函數(shù)中含有時(shí)，采用倒數(shù)代換，令t=，代入被積函數(shù)去掉倒數(shù)；如？蘩dx。

2.2 Why：為什么這樣選擇？

由上面的闡述，對(duì)于利用換元積分法計(jì)算的不定積分，根據(jù)被積函數(shù)的具體形式，我們可以明確的選擇用第幾類換元積分法。然而，僅僅會(huì)選擇方法還不夠，要明白為什么這樣選擇，將有助于理解兩類換元積分法的本質(zhì)，從而做到舉一反三，融會(huì)貫通。

從第一類換元積分法定理可以看出，第一類換元積分法是從被積函數(shù)中找出？漬（x）=u，得到新的被積函數(shù)f（u），將剩下的一部分和dx組合恰好湊出新的微分du，此時(shí)將原不定積分轉(zhuǎn)化成可以直接計(jì)算的不定積分？蘩 f（u）du，最后將u=？漬（x）代回即可。實(shí)際上可以看出第一類換元積分法的重點(diǎn)是找到合適的u=？漬（x），進(jìn)而湊出新的微分du，所以第一類換元積分法也叫湊微分法。

第二類換元積分法是尋找一個(gè)單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)x=？漬（t），從而將不定積分轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的積分，從上面所列的適用于第二種換元積分法計(jì)算不定積分的形式可以看出，引入新的變量t的目的是將積分化簡(jiǎn)，而無(wú)理代換和三角代換的目的都是去掉根號(hào)，倒數(shù)代換的目的去倒數(shù)，所以可以將第二類換元積分法歸結(jié)為：“看誰(shuí)不順眼就換掉誰(shuí)”。

2.3 What：怎樣利用換元積分法求解不定積分？

確定了使用哪種換元積分法解題之后，準(zhǔn)確無(wú)誤的解出題目也需要一定的技巧，本文這一部分將通過(guò)上面提到的一些例子來(lái)說(shuō)明怎樣利用兩類換元積分法計(jì)算不定積分。

通過(guò)以上例子可以看出對(duì)于利用換元積分法求不定積分的題目，通過(guò)觀察特征，確定方法，認(rèn)真計(jì)算的過(guò)程就可以解決問(wèn)題。這里需要注意的是，有些題目方法并不唯一，所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)工作的過(guò)程中要勤思考，多研究，勇于發(fā)現(xiàn)新的方法與思路。

3 總結(jié)

通過(guò)以上三個(gè)方面的比較，可以看出兩類換元積分法雖然定義不一樣，適用的范圍不一樣，但這兩類換元積分法又是緊密聯(lián)系的，不論哪類換元方法，目的都是將不定積分轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的形式，而且有一些題目既可以用第一類換元積分法，也可以用第二類換元積分法，所以不能將換元積分法分開(kāi)來(lái)看，而是從整體出發(fā)，看哪類換元積分法更容易將復(fù)合函數(shù)的不定積分化為簡(jiǎn)單的、容易計(jì)算的不定積分。

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