妙用整式乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算

張生財(cái)

【摘要】巧妙的運(yùn)用整式的乘法公式（平方差公式，完全平方公式），可以使學(xué)生簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率，培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)，為后續(xù)所學(xué)內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】妙用 乘法公式 簡(jiǎn)便運(yùn)算 提高

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）12-0246-02

在《整式的運(yùn)算》一章的教學(xué)中，有部分學(xué)生常常對(duì)乘法公式（平方差公式，完全平方公式）理解不透，掌握不夠，運(yùn)用時(shí)很容易混淆。為了能很好地掌握兩個(gè)公式的區(qū)別，并能巧妙的利用乘法公式（平方差公式，完全平方公式）進(jìn)行簡(jiǎn)化某些整式的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)。下面談一談筆者的一些看法：

一、掌握乘法公式

1. 完全平方公式

表示：（a±b） 2=a 2±2ab+b 2

對(duì)于這個(gè)公式概括為口訣為：兩項(xiàng)的和（差）的平方，等于首平方，尾平方，首尾2倍夾中央。

（1）簡(jiǎn)便運(yùn)算

例1.計(jì)算：（1）999 2（2）100.1 2

解析：本題中的999接近1000，100.1接近100，所以把它們可以寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)的和或差的形式，然后運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。

即：（1）999 2=（1000-1） 2 （2）100.1 2=（100+0.1） 2

例2.計(jì)算：（x-2y+1）2

解析：本題如果采用多項(xiàng)式的乘法，計(jì)算會(huì)比較復(fù)雜，若利用完全平方公式展開(kāi)，則計(jì)算比較簡(jiǎn)便。

點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵在于理解完全平方公式中的a，b也可以是一個(gè)代數(shù)式，利用整體思想，這里把第一二兩項(xiàng)看作一個(gè)整體，可以寫(xiě)成〔（x-2y）+1〕2利用完全平方公式展開(kāi)；也可以把第一三兩項(xiàng)看作一個(gè)整體，寫(xiě)成〔（x+1）-2y〕2的形式；或者把后兩項(xiàng)看作一個(gè)整體寫(xiě)成〔x-（2y-1）〕2的形式。

例3：已知a- =，求：（1）a2+ （2）a4+

分析：對(duì)于這類(lèi)題型學(xué)生很容易想到的方法是先求出a，然后代入計(jì)算。但以學(xué)生目前所學(xué)的知識(shí)是沒(méi)有辦法求出a的，所以可以利用完全平方公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

（1） a2+ 可由式子a-=兩邊平方得到

（2） a4+ 可由式子a2+=兩邊平方得到

解：∵a-=

∴a2+ = （a-）2 +2=（）2+2

a4+= （a2+）2-2=（）2-2=

2. 平方差公式

表示：（a+b）（a-b）=a 2–b 2

對(duì)于這個(gè)公式概括為口訣為：兩項(xiàng)的和與差的乘積等于這兩項(xiàng)的平方差。

（1） 直接運(yùn)用平方差公式

例4.計(jì)算：

①103×97 ②118×122

分析：本題中的103和97都與100相差3，118和122都與120相差2，故可以寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)的和與差的形式，然后運(yùn)用平方差公式計(jì)算。

即：①103×97=（100+3）（100-3）=1002-32

②118×122=（120-2）（120+2）=1202-22

（2）逆用平方差計(jì)算：

例5.計(jì)算；1002-992+982-972+…+42-32+22-12

分析：本題中相鄰兩數(shù)是平方差的形式，因此把相鄰的兩項(xiàng)結(jié)合在一起便可逆用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。

即：原式=（1002-992）+（982-972）+…+（42-32）+（22-12）

=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=199+195+…+7+3

（3）構(gòu)造平方差公式

例6.計(jì)算：（2+1）（22 +1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

分析：若原式乘以（2-1），即乘以1，原式的值不變，可以利用平方差公式逐步計(jì)算。

即：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216 +1）（232+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（216-1）（216+1）（232+1）

=（232 -1）（232+1）

=264-1

二、靈活運(yùn)用公式

1.混用運(yùn)用公式

例7：計(jì)算

（1）（x+y+z）（x+y-z） （2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）

分析：本題是三項(xiàng)式乘以三項(xiàng)式，特點(diǎn)是：有些項(xiàng)相同，有些項(xiàng)互為相反數(shù)。故可考慮把相同的項(xiàng)和互為相反數(shù)的項(xiàng)分別結(jié)合構(gòu)造成平方差公式計(jì)算后，再運(yùn)用完全平方公式等計(jì)算。

即：（1）（x+y+z）（x+y-z）

=[（x+y）+z][（x+y）-z]

= （x+y）2-z 2

（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）

= [2x-（y-3z）][ 2x+（y-3z）]

=（2x）2+（y-3z） 2

2.變形應(yīng)用公式

熟練運(yùn)用完全平方公式的變形式，是相關(guān)整體代換求值的關(guān)鍵。

例8：已知實(shí)數(shù)a，b滿足（a+b）2=10，ab=1求下列各式的值

（1）a2+b2 （2）（a-b） 2

分析：本題是典型整式求值問(wèn)題，若按常規(guī)思維把a(bǔ)，b的值分別求出來(lái)，非常困難，我們可以運(yùn)用完全平方公式的變形式就能解決這類(lèi)問(wèn)題。

即：（1）a2 + b2 =（a + b）2-2ab

（2）（a-b） 2=（a + b）2-4ab

總之，乘法公式的應(yīng)用比較廣泛，是后續(xù)所學(xué)內(nèi)容的必備基礎(chǔ)，不僅對(duì)學(xué)生簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率有很大作用，更是以后學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，因此要讓學(xué)生掌握乘法公式（平方差公式，完全平方公式）的巧妙運(yùn)用方法，提高運(yùn)算的能力。