培養(yǎng)合作探究意識(shí)，發(fā)展應(yīng)用知識(shí)能力

作者簡(jiǎn)介：余樹寶，男，1969年5月出生，漢，安徽霍邱人，中學(xué)高級(jí)教師，安徽省中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，安徽省教壇新星，安徽省中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)獲得者，現(xiàn)任教于合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué).

[摘 要] 課堂教學(xué)最重要的任務(wù)是培養(yǎng)好學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，尤其是發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力. 教師在教學(xué)時(shí)，一定要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生充分地思考，探索解決問題的途徑，歸納、總結(jié)問題解決的策略，獲取解題經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 課堂教學(xué)；提出問題；分析問題；總結(jié)問題；培養(yǎng)能力

課程是學(xué)校的，課堂是老師的. 作為承擔(dān)數(shù)學(xué)教育的老師們，一定是在持續(xù)思考數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的技術(shù)與藝術(shù)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)上孜孜追求著卓越.

其中，作為教學(xué)主渠道的課堂，很重要的任務(wù)是在教會(huì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想的同時(shí)，培養(yǎng)好學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，尤其是發(fā)展學(xué)生的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力.

著名的數(shù)學(xué)家波利亞也說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？那就是善于解題.”他主張數(shù)學(xué)教育的主要目的之一是發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考. 所以我們反對(duì)師生搞題海戰(zhàn)術(shù)，但離開解題的數(shù)學(xué)教學(xué)也一定是有偏頗的，沒有解題的教學(xué)是沒有實(shí)際意義的教學(xué)，就一定脫離了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，也就不利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，不利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.

下面，就筆者近日在結(jié)束高一必修五第一章《解三角形》教學(xué)內(nèi)容后，進(jìn)行專題復(fù)習(xí)課《三角形問題的解決》的教學(xué)過程中的做法，談一談筆者的一點(diǎn)思考.

本堂課開始，筆者對(duì)與三角形有關(guān)的問題進(jìn)行了梳理、歸納，筆者認(rèn)為問題大致可分為四種類型：一是三角形形狀的判斷問題，二是三角形中的求值問題，三是三角形中三角等式的證明問題，四是三角形中的最值問題. 針對(duì)這些類型的問題，筆者分別從近年來高考試題和模擬題中選編了幾個(gè)典型例題，通過每一個(gè)例子讓學(xué)生認(rèn)識(shí)各類三角形問題的設(shè)問方式與解決方法.

如解決三角形形狀的判斷問題時(shí)，筆者選用了一道簡(jiǎn)單的問題：

例1：在△ABC中，若==，則△ABC的形狀是（ ）

A. 直角三角形

B. 鈍角三角形

C. 等腰三角形但非等邊三角形

D. 等邊三角形

筆者選題的意圖是想讓學(xué)生既能通過“邊”的角度，也能通過“角”的角度來判斷此三角形的形狀；既能利用正弦定理化邊為角，也能利用余弦定理化角為邊來解決此問題.

問題給出后，怎樣引導(dǎo)學(xué)生思考并得出解決問題的辦法是教學(xué)的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的重要環(huán)節(jié). 在此過程中教師一定要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生充分地思考，分析問題的已知與未知，探索解決問題的途徑.教師千萬不能一言堂，代替學(xué)生完成解答過程就了事.高中新課程最重要的理念就是倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，鼓勵(lì)學(xué)生參與課堂教學(xué)的全過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、感受、探究、實(shí)踐、交流，自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和解決問題的途徑.

波利亞也曾說過“老師為學(xué)生所能做得最大的好事是通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個(gè)好念頭”，這里說的“好念頭”，其實(shí)就是開展學(xué)生積極活躍的思維活動(dòng).

筆者先給全體學(xué)生一定的思考時(shí)間，然后找一位學(xué)生陳述自己的想法. 這位學(xué)生給出問題的解決辦法是利用余弦定理將=中的cosA，cosB分別換成，，運(yùn)算化簡(jiǎn)此式可得a=b；同理由=可得b=c，從而判斷此三角形為等邊三角形.

接下來筆者并沒有結(jié)束本題的解決過程，又問大家：想一想，有沒有其他的方法來解決此問題呢？一位學(xué)生提出了自己的想法：利用正弦定理將=中的a，b分別換成sinA，sinB，結(jié)果得到tanA=tanB，由于角A，B都是三角形的內(nèi)角，所以A=B. 筆者又補(bǔ)充了通過逆用兩角差的正弦公式，由=變形可得sin（A-B）=0，又-π

還有沒有其他的方法呢？一位學(xué)生這樣回答：這是一道選擇題，我用“排除法”能輕松化解. 他說，此三角形不可能是直角三角形，若某個(gè)角是直角，如A=90°，則cosA=0，條件不成立；若是鈍角三角形，如A>90°，則cosA<0，條件也不成立，故先排除A、B. 對(duì)于C、D兩個(gè)選項(xiàng)，他認(rèn)為三條邊、三個(gè)角出現(xiàn)的概率相等、位置均衡，估計(jì)應(yīng)該選D. 該生的想法，得到了其他學(xué)生的認(rèn)可和掌聲.

借此機(jī)會(huì)，筆者趁勢(shì)對(duì)選擇題的解法作了一個(gè)總結(jié)：解選擇題常用的方法，主要分直接法和間接法兩大類. 直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法，但考試中，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時(shí)間不允許，甚至有些題目求解困難或根本無法解答. 因此，我們還須掌握一些特殊的解法，如直接法、篩選法、特值法、驗(yàn)證法、數(shù)形結(jié)合法等. 基本策略是：①熟練掌握各種基本題型的一般解法，也就是通性通法；②結(jié)合單項(xiàng)選擇題對(duì)解題過程書寫不作要求的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用選擇題的解法與技巧；③挖掘題目“個(gè)性”，尋求簡(jiǎn)便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速做出正確的選擇. 宗旨是：不擇手段，多快好省，小題小做，小題巧做，切忌小題大做.

如果再給學(xué)生一些時(shí)間，學(xué)生一定還會(huì)有更多更好的想法，讓全體學(xué)生參與其中，共享解決問題的思維與策略，共享問題解決后成功的快樂，意義非凡.

例1分析討論最后，師生共同總結(jié)：判斷三角形形狀問題，一般情況下應(yīng)從兩方面入手，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把邊角混合關(guān)系式化為三邊關(guān)系式，或化為三角關(guān)系式，兩者選擇其一即可達(dá)到判斷三角形形狀之目的.

其實(shí)，不僅是三角形形狀的判定問題，只要涉及邊角混合關(guān)系式，這種方法都是有效的. 隨即筆者又舉了一個(gè)求值的問題——2016年高考全國(guó)Ⅰ卷第17題第（1）問：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C.

學(xué)生知道了邊角混合關(guān)系式可采用化邊為角或化角為邊的方法，很快完成了此題解答. 并且通過比較，他們發(fā)現(xiàn)，兩種方法中“化邊為角”法解答過程簡(jiǎn)潔，速度更快：

2cosC（sinΑcosΒ+sinΒcos?。?sinC，即2cosCsin（A+B）=sinC，故2sinCcosC=sinC，可得cosC=，所以C=.

這也說明了凡事適合才是最好的，靈活選擇也是一種能力. 另外，高一的學(xué)生，能迅速完成高考解答題，他們?cè)谑斋@了解題成功快樂的同時(shí)，也收獲了對(duì)未來高考的自信.

在解決三角形的求值問題時(shí)，筆者針對(duì)“給值求值”問題選擇了兩個(gè)例題：

例2：在△ABC中，cosA=，cosB=，則cosC的值是（ ）

A. B. -

C. - D. 或-

例3：在△ABC中，cosA=，sinB=，則cosC的值是（ ）

A. B. -

C. - D. 或-

選題意圖是讓學(xué)生乍一看來，這兩個(gè)例子好像有點(diǎn)雷同，實(shí)際上在解決問題的過程中會(huì)出現(xiàn)意想不到的差異.

例2主要考查兩角和的余弦公式的應(yīng)用. 解題過程中一要注意所求的角與所給角的關(guān)系（內(nèi)角和定理），二要注意由cosA，cosB分別求sinA，sinB時(shí)的正負(fù)選擇. 由于三角形內(nèi)角的正弦值恒正，所以由cosA，cosB分別求sinA，sinB，結(jié)果是唯一的，于是cosC的值也是唯一的，選C.

但例3中由sinB求cosB會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)結(jié)果，學(xué)生若不注意取舍，很大可能會(huì)選擇D.因此筆者想通過這個(gè)問題，讓學(xué)生明白一點(diǎn)：解題過程中要注意由sinA=>sinB=及正弦定理=得到a>b，由“大邊對(duì)大角”得A>B，因此B不可能為鈍角，故cosB=-舍去，所以只能選C. 所以教學(xué)中選擇好例題，有意識(shí)地達(dá)到你所需要學(xué)生達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)也是非常重要的.

此題解決時(shí)，筆者先通過提問讓學(xué)生得到例2的解答過程，隨即筆者利用多媒體展示了與例2類似的例3的解答過程：

解：因?yàn)閏osA=，所以sinA=，由sinB=得cosB=±.

當(dāng)cosB=時(shí)，cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-；

當(dāng)cosB=-時(shí)，cosC=-cosAcosB+sinAsinB=.

故選D.

然后，筆者讓學(xué)生去評(píng)判這種做法正確與否. 多數(shù)學(xué)生對(duì)這種做法給出了肯定，但也有個(gè)別學(xué)生提出質(zhì)疑. 于是學(xué)生在疑惑中思考，在思考中討論. 筆者提醒學(xué)生注意：角B是鈍角還是銳角？筆者讓學(xué)生從另外一個(gè)角度進(jìn)行取舍，算一下sinC是多少. 結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)cosB= -時(shí)，sinC=-，這個(gè)結(jié)果是所有學(xué)生都不接受的一個(gè)結(jié)果，因?yàn)榇蠹叶贾馈叭切稳魏我粋€(gè)內(nèi)角的正弦值恒大于0”.問題出在什么地方？筆者再問式子“a>b?A>B?sinA>sinB”成立與否. 學(xué)生討論后回答，這個(gè)式子在三角形中是成立的. 于是追問由此來判斷角B是鈍角還是銳角是否可以. 學(xué)生此時(shí)恍然大悟，因?yàn)閟inA=>sinB=，所以角B是銳角. 借此深刻地領(lǐng)會(huì)了三角形中三角函數(shù)問題的解決要綜合地利用三角函數(shù)知識(shí)與三角形的相關(guān)知識(shí)才能得到正確的解決.

當(dāng)然提出問題不僅是教師的事情，也是學(xué)生的事情. 當(dāng)教師的，一定要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，只有這樣學(xué)生才具有參與教學(xué)的積極性，才能更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì). 如在解決以上兩個(gè)例題后，筆者讓學(xué)生自己再編一個(gè)相似但不能相同的問題出來，其中一個(gè)學(xué)生這樣編寫：設(shè)△ABC中，sinA=，sinB=，求cosC的值. 學(xué)生共同完成后，發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的結(jié)果就有兩種可能，與前兩題相似但不同，很有價(jià)值.

到了此題總結(jié)時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生歸納：求值問題是三角形的主要問題，解題時(shí)，除了要用到三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，如三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差、倍角等三角公式，還要運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí). 如（1）邊邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（2）角角關(guān)系：三角形的內(nèi)角和定理A+B+C=π；（3）邊角關(guān)系：大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊、正弦定理、余弦定理、面積公式等. 只有幾方面知識(shí)結(jié)合起來，才能順利地解決三角形中三角函數(shù)問題.

在與學(xué)生共同總結(jié)解題過程時(shí)，還發(fā)現(xiàn)在解決三角形中的有關(guān)問題時(shí)，一定要注意角的“有界性”. 關(guān)于角的式子，如0

波利亞在他的《怎樣解題》一書中特別闡述了解題過程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)——回顧，他指出其作用：不僅能改進(jìn)、完善眼前的解題，而且能提煉出對(duì)未來解題有指導(dǎo)作用的信息（即形成數(shù)學(xué)觀念的基本素材，或稱解題經(jīng)驗(yàn)的信息儲(chǔ)備），進(jìn)一步升華為人們搜索、捕獲、分析、加工和運(yùn)用信息能力的總和——數(shù)學(xué)才能.

我們給出問題，然后去解決問題的根本是讓學(xué)生得到一類問題解決的思想與方法，要總結(jié)出一類問題解決所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)、思維的途徑和采取的措施，獲取解題經(jīng)驗(yàn). “一題多解”對(duì)鍛煉學(xué)生的思維非常重要，但在教學(xué)的過程中，善于總結(jié)，尋求“多題一解”，也是非常重要的. 題海戰(zhàn)術(shù)，無非是不去總結(jié)，重復(fù)做題，既浪費(fèi)了時(shí)間和精力，也不能應(yīng)對(duì)問題的變化. 當(dāng)然在總結(jié)問題解決的過程中，還是要充分地發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生去收集、整理、歸納、總結(jié)，只有這樣學(xué)生得到的才是深刻的.

一堂課，教會(huì)了學(xué)生什么，培養(yǎng)了學(xué)生什么，當(dāng)老師的自然要有思考. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，要更加突出數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，只有在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程中才能不斷地提高學(xué)生直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等數(shù)學(xué)思維能力，才能形成和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).