高中學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的調(diào)查思考與對策

劉希棟++申磊

[?] 問題提出

心理學(xué)研究表明，人的思維是從問題開始的. 就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，關(guān)于“解決問題和提出問題”已逐步形成共識：“解決問題或許僅是數(shù)學(xué)上的或?qū)嶒炆系募寄?，比解決問題更重要的是提出新問題，這已經(jīng)成為標(biāo)志科學(xué)真正進(jìn)步的一個維度. 這是因為提出一個新的問題，探索新的可能性，從新的角度去審視過往的習(xí)以為常的問題，需要富有創(chuàng)造性的想象力.” 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必然要求“提高學(xué)生提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學(xué)知識的能力”.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個重要目標(biāo)，就是怎樣才能幫助學(xué)生有效地進(jìn)行主動學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí). 探究活動始于合適的問題情境，由認(rèn)知沖突、密切聯(lián)系，逐步感悟數(shù)學(xué)知識、方法和思想的本質(zhì)關(guān)系，提煉定理，從而優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu). 主動學(xué)習(xí)、探究活動必然要求喚醒學(xué)生的問題意識，提高提出問題的水平，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.

基于上述認(rèn)識，為更好地引發(fā)高中學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，特開展本次調(diào)查研究. 本次調(diào)查針對“學(xué)生數(shù)學(xué)問題的提出”，包含三個維度——意識、態(tài)度、能力.

[?] 調(diào)查與分析

1. 調(diào)查對象與方法

（1）問卷調(diào)查：本次調(diào)查針對高一、高二、高三各兩個班級. 高一為普通平行班共計90人，高二為物理、生物組合普通班共計92人，高三為歷史、政治組合普通班共計93人. 發(fā)放紙質(zhì)調(diào)查問卷275份，收回268份，采用頻數(shù)累計的基本方法.

（2）談話調(diào)查：數(shù)學(xué)教師依據(jù)調(diào)查目的，擬定問題對所任教班級的部分學(xué)生開展談話調(diào)查.

2. 調(diào)查的定量統(tǒng)計

（1）在數(shù)學(xué)課上經(jīng)常提問的占16%；偶爾提問的占70.9%；不提問的占13.1%.

（2）57.1%的學(xué)生認(rèn)為自己提出的問題能得到師生的認(rèn)同；32%的學(xué)生認(rèn)為自己提出的問題不僅能夠得到師生的認(rèn)同，而且還能夠深入理解；10.9%的學(xué)生認(rèn)為自己的問題被忽略.

（3）31%的學(xué)生認(rèn)為自己能正確地評價他人的問題；46%的學(xué)生不確定自己能否評價他人提出的問題；23%的學(xué)生不能正確評價他人提出的問題.

（4）48.7%的學(xué)生認(rèn)為自己遇到不懂的敢于提問；16%的學(xué)生不敢提問；35.3%的學(xué)生希望放在課后向老師提問.

（5）46%的學(xué)生認(rèn)為自己提出一個數(shù)學(xué)問題是十分困難的事情；32%的學(xué)生認(rèn)為對于自己有些困難，但能做一些；22%的學(xué)生認(rèn)為自己能很容易地提出一些數(shù)學(xué)問題.

（6）對于給出條件讓自己提問題的應(yīng)用題，53.8%的學(xué)生感興趣；5.5%學(xué)生不感興趣；40.7%的學(xué)生認(rèn)為一般.

（7）65%的學(xué)生認(rèn)為經(jīng)常給自己提數(shù)學(xué)問題很重要；31%的學(xué)生認(rèn)為一般；4%的學(xué)生對此沒感覺.

（8）62.5%的學(xué)生能夠在課上積極思考別人提出的問題；6.5%的學(xué)生不能積極思考；31%的學(xué)生只是偶爾去思考別人提出的問題.

（9）56%的學(xué)生喜歡與同學(xué)交流提出問題的方法；42%的學(xué)生認(rèn)為無所謂；2%的學(xué)生不喜歡與同學(xué)交流.

（10）老師給學(xué)生機(jī)會提問時，4%的學(xué)生認(rèn)為自己不加思考就提問；80%的學(xué)生認(rèn)為自己是在思考后提出問題的；16%的學(xué)生只是聽其他同學(xué)提問，自己不發(fā)言.

（11）喜歡在老師的提問下思考的學(xué)生占43.6%；喜歡自己發(fā)現(xiàn)問題并主動解決的學(xué)生占45.5%；認(rèn)為無所謂的占10.9%.

（12）在課堂上，遇到老師的講解與自己的想法不一致時，45.8%的學(xué)生能夠及時提出自己的疑問；32.4%的學(xué)生采取課后與老師私下交流解決的方法；21.8%的學(xué)生只是聽老師的，不提出自己的問題.

說明：其中，t1，t6，t7，t11主要是對學(xué)生學(xué)習(xí)意識的調(diào)查；t4，t8，t9，t12主要是對學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的調(diào)查；t2，t3，t5，t10主要是對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的調(diào)查.

學(xué)習(xí)意識

3. 調(diào)查的定性分析

問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示：部分學(xué)生在數(shù)學(xué)課上雖然有自己的想法、問題、建議，但卻沒有膽量把這些問題拋出來，不勇于發(fā)表自己的見解，沒有“打破砂鍋問到底”的探索精神，而且不能主動地發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，萌發(fā)猜想；缺少綜合運用原有經(jīng)驗和生活經(jīng)驗進(jìn)行系統(tǒng)分析、理解信息，不能廣泛收集各種信息，從各種信息中提出有價值的問題；不善于抓住問題的實質(zhì)，不能從自己學(xué)習(xí)的實際情況出發(fā)，從不同角度探索知識、尋找方式方法；習(xí)慣拘泥于接受答案，不能積極進(jìn)行獨立的有創(chuàng)造性的思維活動，不敢或者不善于質(zhì)疑問難，不善于自我反思；不敢向老師的答案挑戰(zhàn)，不敢對教材乃至教輔用書上的答案質(zhì)疑，不能探求解決問題的方法，形成自己對問題的獨立見解.

[?] 思考與對策

學(xué)生提出問題的意識、信心、水平和能力匱乏的根本原因，在于教師指導(dǎo)和引發(fā)學(xué)生提出問題的行動方面的缺失.長期以來，教師在課堂教學(xué)中不乏啟發(fā)提問、追問，但引發(fā)學(xué)生提出問題的行為卻很少. 有的教師也有引發(fā)學(xué)生提問的嘗試，但由于學(xué)生長期沒有主動提問的自覺性，因此教師往往陷入“引而不發(fā)”的尷尬，從而不能在培養(yǎng)學(xué)生的問題意識上堅持下去. 有時僅做一點表面文章，在公開課前布置個別學(xué)生準(zhǔn)備一些“假問題”. 我們認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的意識，提高學(xué)生提出問題的能力，從根本上說不是一個方式問題，而是一種教育觀念問題，勢在必行.

1. 一個簡單的題目引發(fā)的思考

題目：求前100個正整數(shù)的和.這里有一個廣為流傳的千古佳話：高斯10歲解出這道題的故事. 如果到任何一個所謂的“培優(yōu)機(jī)構(gòu)”，去問那里10歲的學(xué)生，那些學(xué)生也會解這道題，看起來是同樣的題目，相近的思路，類似的方法，但個中差別很大.現(xiàn)在的學(xué)生知道的是知識，而高斯運用的是思想，這是知識與思想的區(qū)別. 一個是把它當(dāng)作練習(xí)，關(guān)于等差數(shù)列求和公式這一知識的練習(xí)，是一種用于接受的練習(xí)；而高斯的老師提出的是問題，是激發(fā)獨立思考的問題，引發(fā)了主動探究的問題.問題可以孕育出思想，思想的產(chǎn)生往往需要“十月懷胎”，思想可以轉(zhuǎn)化為能力，成為發(fā)展的基礎(chǔ)；而練習(xí)只是導(dǎo)致知識的熟練. 知識的熟練可以“立竿見影”，但把思想教成知識是極不明智的，高明的教師把知識的教學(xué)轉(zhuǎn)化為思想的培育.

2. 變被動學(xué)習(xí)為主動探究的對策——先行組織者

在實施“向量的加法運算”時，教材呈現(xiàn)了一下實際問題：

問題1：游船先從景點O到景點A，然后再從景點A到景點B，這里的位移OA，AB，OB之間有什么關(guān)系呢？

問題2：兩根拉索對塔柱的拉力分別為F1，F(xiàn)2，它們的合力是F，那么F1，F(xiàn)2和F之間有什么關(guān)系呢？

不少教師在課堂教學(xué)過程中，把這些問題照搬過來，也這樣直接提出上述問題，或者雖然形式上做一些變換，但本質(zhì)上沒有多大區(qū)別. 這往往導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)行操作的時候非常被動：為什么要提出這樣的問題？

學(xué)生的被動源于創(chuàng)設(shè)的情境問題.其實，數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)用聯(lián)系與發(fā)展的觀點看待世界，而聯(lián)系與發(fā)展的一種重要載體就是“運算”，這是呈現(xiàn)“聯(lián)系”的重要方式.應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生知曉：研究數(shù)學(xué)對象通常要研究它的運算，比如數(shù)的運算、式的運算、集合的運算、函數(shù)的運算等，以后還有事件的概率的運算、極限的運算……這樣使學(xué)生了解這個課題的數(shù)學(xué)文化背景，自覺意識到學(xué)習(xí)“向量”必然要研究“向量的加法運算”.

教材直接呈現(xiàn)上面的問題或許無可厚非，因為教材的編寫構(gòu)成一個體系.在課堂教學(xué)的過程中，我們可以開門見山：上節(jié)課中，我們曾以有向線段、位移、力等幾何、物理對象為原型，抽象出向量這個數(shù)學(xué)模型，你能以位移合成、力的合成等物理運算為原型抽象出新的數(shù)學(xué)運算嗎？（本節(jié)課的中心問題）

問題1：……

問題2：……

研究一個數(shù)學(xué)對象就要研究它的“運算”，這是數(shù)學(xué)研究的一個基本規(guī)范（即研究一個數(shù)學(xué)對象就要研究它的運算），它具有“上位”性質(zhì)，從數(shù)學(xué)研究的一般規(guī)律揭示問題提出的理性根源，明確地說明了對這個內(nèi)容的研究是必要的. 不僅如此，如果在教學(xué)中反復(fù)地進(jìn)行這種滲透，就能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的深刻認(rèn)識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升. 由此，高中數(shù)學(xué)變學(xué)生的被動學(xué)習(xí)為主動探究，“先行組織者”作用甚為關(guān)鍵.

3. 有效引問催化學(xué)生提出問題的意識和能力

何為教師引問行為？引問行為是指在教學(xué)活動過程中教師所采取的有利于誘發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生提出問題的所有方式，包括語言、呈示、指導(dǎo)等多種教學(xué)行為的配合，高層次實現(xiàn)教師與學(xué)生間的對話. 高質(zhì)量教學(xué)活動既要對教師所提出與設(shè)計的問題開展討論，還應(yīng)該對學(xué)生提出的問題展開交流與對話，這是因為學(xué)生提出的問題往往更符合自身的學(xué)習(xí)興趣與認(rèn)知特點，更能促進(jìn)學(xué)生深入思考，是實現(xiàn)有效教學(xué)的綜合行為和必然要求，也是民主平等教學(xué)氛圍的重要標(biāo)志.

教師的有效引問是適應(yīng)學(xué)生發(fā)展的必然要求. 學(xué)習(xí)是學(xué)生自我建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)的過程，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)習(xí)權(quán)的重要內(nèi)容之一就是學(xué)生的“話語權(quán)”，包括“提問權(quán)”，教學(xué)過程中卻往往異化為單單是“聽題權(quán)”與“答題權(quán)”. 教師積極引發(fā)學(xué)生提出問題，既有力提高課堂教學(xué)的針對性和有效性，也使學(xué)生真正享有學(xué)習(xí)的權(quán)利.

教師的有效引問是適應(yīng)教師自身發(fā)展的必然要求. 在知識日益更新的信息時代，師生在某些新知識的獲得上往往處于同一起跑線，甚至學(xué)生已知、已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的問題，而教師卻尚未察覺，這一點數(shù)學(xué)學(xué)科并不例外，當(dāng)然有些學(xué)科已經(jīng)非常明顯了.

教師的有效引問是有效課堂教學(xué)的需要. 因材施教這一課堂教學(xué)原則要求教學(xué)要有針對性，要有的放矢，做到這一點的前提是教師必須了解學(xué)生的想法，除了在學(xué)生回答、練習(xí)反饋中發(fā)現(xiàn)外，重要的是通過學(xué)生提問表達(dá)出來.

充分認(rèn)識學(xué)生提出問題的價值后，教師要致力于提高引問行為的方法、能力和藝術(shù)水平；著力研究教學(xué)內(nèi)容的知識本質(zhì)，善于抓住教學(xué)內(nèi)容的核心，對一些節(jié)肢末梢適當(dāng)?shù)睾喕幚恚驅(qū)⒁徊糠謨?nèi)容作為留白讓學(xué)生課后思考；鼓勵學(xué)生提出問題的同時，應(yīng)該做出合理的選擇優(yōu)化，靈活處理.具體說來：

有了主動引問的意識，有了盡可能多的給予學(xué)生提問機(jī)會的想法，這時教師要注意時機(jī)的把握.例如，開展小組合作學(xué)習(xí)時，可以要求學(xué)生“把討論的新問題匯集起來，讓大家來思考與分享”；要求學(xué)生閱讀時對沒有理解的問題務(wù)必給以批注；學(xué)生解題過程時參照“你在解題中碰到了什么問題，你是怎么想的，還有哪些想法”等予以批注.

創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境是引問的重要手段之一，為此，教師要搭建合適的平臺，如提供合適的圖片、案例、資料等，為學(xué)生提出問題提供依據(jù)與元素，力求避免使學(xué)生提出問題的行為成為無源之水、無米之炊.

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師要加強(qiáng)對學(xué)生提出問題進(jìn)行方法指導(dǎo)，開展提問的示范，這一點很重要. 問題的提出可以多維度、多方面、多層次地展開，比如按照認(rèn)知程度，分為沒有弄懂的問題、一知半解的問題、深入思考的問題；按照認(rèn)知維度，分為基礎(chǔ)性問題、拓展性問題、探究性問題；按照認(rèn)知內(nèi)容，分為是關(guān)于誰（who）的問題、是什么（what）的問題、在何處（where）的問題、在何時（when）的問題、為什么（why）的問題、如何（how）解決的問題；按照認(rèn)知邏輯，分為概念性問題、推理性問題（判斷性問題、分析性問題、綜合性問題），歸納還是演繹性問題，求同性亦或求異性問題，又或者是聚斂性與發(fā)散性問題.根據(jù)需要，可以開設(shè)專門的“如何提出問題”研討課.

采用積極的評價機(jī)制對培養(yǎng)學(xué)生提出問題的意識，增強(qiáng)提出問題的信心，提高提出問題的能力至關(guān)重要. 教師踐行激勵性的評價原則，有利于增強(qiáng)學(xué)生提出問題的信心. 學(xué)生提出的問題會出現(xiàn)各種可能，有的層次太低、沒有水平，有的與學(xué)習(xí)的內(nèi)容關(guān)聯(lián)不大，有的問題近乎突發(fā)奇想，甚至有些離譜，這些都難以避免，但教師一定要記?。簩τ趯W(xué)生任何問題的提出，都要給予熱情的鼓勵，至少要肯定他們好問的學(xué)習(xí)態(tài)度.扼殺學(xué)生難能可貴的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新精神往往就發(fā)生在對一個提問的一個輕而易舉的否定之后. 而對學(xué)生的提問經(jīng)常不經(jīng)意地夸獎與贊許，往往會意想不到地培養(yǎng)出一個個天才來. 教師實行過程性評價原則將有利于鞏固學(xué)生對“提出問題”的堅持，將提問的表現(xiàn)融入學(xué)業(yè)成績中，比僅僅課堂上表揚(yáng)“你提的問題很棒”更會讓學(xué)生意識到教師對自己提問的表現(xiàn)非常在意，從而啟發(fā)他們在這方面更加努力.

教師要藝術(shù)地處理好“有效引問”過程中預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，對于有把握回答的問題，如果需要的話，教師可以直接進(jìn)行解釋；對于生成的，教師沒有準(zhǔn)備的一些問題，可以先拋給學(xué)生“這個問題提的好，請大家思考一下”，然后贏得時間自己琢磨，做出大致解釋，或闡述思路與方向；對于一些符合興趣性（得到大部分學(xué)生關(guān)注）、切合性（與重點知識內(nèi)容契合度高）、可行性（具有相關(guān)的知識儲備）原則的問題，要不失時機(jī)地轉(zhuǎn)化為小組討論的題目；對于有一定難度、缺乏知識基礎(chǔ)與背景資料的問題，則布置學(xué)生課后搜集資料，尋求證據(jù)，認(rèn)真思考；對于太難的問題（甚至是學(xué)科的世界難題），則可以先擱置起來，鼓勵大家將來攻克.靈活應(yīng)對學(xué)生提出問題，有賴于教師的專業(yè)功底，有賴于教師的教學(xué)藝術(shù).

4. 案例：一道例題的質(zhì)疑

《高中數(shù)學(xué)必修2》（蘇教版）第89頁“2.1.3兩條直線的平行與垂直”之例1的分析及其求解是這樣的：

求證：順次連結(jié)A（2，-3），B

5，-

，C（2，3），D（-4，4）四點所得的四邊形是梯形.

分析：要證一個四邊形是梯形，不僅要證一組對邊平行，還要證另一組對邊不平行.

證明：因為kAB==-，kCD==-，所以kAB=kCD，從而AB∥CD.

又因為kBC==-，kDA== -，所以kBC≠kDA.

從而直線BC與DA不平行.

因此，四邊形ABCD是梯形.

對此，高一學(xué)生何同學(xué)提出質(zhì)疑與建議.

該生的質(zhì)疑：由kAB=kCD得出直線AB∥CD不嚴(yán)謹(jǐn). 他回憶說前面做過這樣的題：如果A（1，2），B（3，m），C（7，m+2）三點共線，求實數(shù)m的值（該教材第80頁練習(xí)6）. 解題依據(jù)是kAB=kBC，即=，解得m=3. 這表明，斜率相等有直線共線之情形. 因此，例題的求解過程中得出kAB=kCD后，在沒有說明A，B，C，D不共線的前提下就直接證得AB∥CD是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 一石激起陣陣漣漪，引發(fā)了全班學(xué)生積極的探究思考. 不久，有學(xué)生提出建議：調(diào)整一下證明順序，先由kBC≠kDA，證得直線BC與DA不平行；再由kAB=kCD，證得AB∥CD，從而四邊形ABCD是梯形，這樣就嚴(yán)謹(jǐn)了. 另有學(xué)生提出建議：先求kAB=kCD=-，kBC=-，因而kAB=kCD≠kBC，所以A，B，C，D不共線，故AB∥CD；再由kBC≠kDA，證BC與DA不平行，四邊形ABCD是梯形. 這些建議都得到同學(xué)們的高度贊許.

希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者是在人的心靈深處一種根深蒂固的需要. 教育的首要目標(biāo)，應(yīng)是不斷地喚醒和弘揚(yáng)人的天性中蘊(yùn)藏著的探究的沖動，養(yǎng)成敢于質(zhì)疑的個性才會有創(chuàng)新. 創(chuàng)新是思維的突破，是靈感的閃現(xiàn)，是探究的深華. 毫無疑問，案例中學(xué)生對教科書的例題敢于質(zhì)疑，同學(xué)們提出的修改建議也切實可行，這種精神可貴，勇氣可嘉.學(xué)生在這個思維過程中的成功體驗，收獲的是走向成功的自信，這對于發(fā)展他們的創(chuàng)新意識大有裨益. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，如何順應(yīng)發(fā)展學(xué)生的這種需求，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引發(fā)學(xué)生的智慧，激活靈感，需要我們有不懈的探索與追求：探索課堂的生命活力，追求數(shù)學(xué)的詩意境界；探索高貴而豐滿的學(xué)科氣質(zhì)，追求立德樹人的人生趣味.