探究高中數(shù)學(xué)教學(xué)材料的意義

王法巖+彭猛

[摘 要] 教學(xué)材料是師生教與學(xué)的載體，教學(xué)材料可以是教材，更應(yīng)當(dāng)是教師對教材的重新設(shè)計. 教學(xué)材料的意義在于其對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進，因此研究學(xué)生，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進行精加工，是讓教學(xué)材料變得有意義的重要途徑. 教學(xué)材料要面向?qū)W生才能彰顯其意義，而這就意味著教師在教學(xué)設(shè)計的時候要具有學(xué)生視角，要善于站在學(xué)生的角度思考問題，思考知識發(fā)生的邏輯.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；教學(xué)材料；意義

在教學(xué)中有一個很基本的行為，那就是向?qū)W生提供教學(xué)材料，實際上也正是教學(xué)材料，才將師生的教學(xué)關(guān)系緊緊聯(lián)系在了一起. 在這樣的互動過程中，很少有人去反思材料的意義，因為教學(xué)材料的提供如同人的生存需要呼吸一樣——因為必須而顯得日常，因為日常而忽視. 但如果真的去思考一下教學(xué)材料的意義，又會發(fā)現(xiàn)這無論是對課堂教學(xué)的有效性，還是對學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升，都有著直接且至關(guān)重要的影響，因此教師還是有必要重新認識一下教學(xué)材料的意義的.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)材料的來源有兩個方面：一是包括課本在內(nèi)的書面資料；二是教師的教學(xué)設(shè)計. 這些材料提供給學(xué)生之后，學(xué)生是如何有效加工的，這是本文關(guān)注的重點. 下面分三個方面來說明.

[?] 教學(xué)材料的意義及相關(guān)研究

關(guān)于教學(xué)材料的意義，教育專家其實進行了不少的研究，著名教育家奧蘇泊爾就曾針對當(dāng)時的教材提出了一些觀點與意義. 他認為當(dāng)時的教材將一些原本有著重要聯(lián)系的知識（奧蘇泊爾稱之為觀念與問題）分成了獨立的章節(jié)，而沒有凸顯這些知識之間的重要聯(lián)系，這樣的教學(xué)必然會導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生“極大的認知緊張與混淆”. 仔細思考奧蘇泊爾的這段描述，筆者以為還是有著很強的啟發(fā)意義的. 今天的高中數(shù)學(xué)教材編寫堅持的是“一標多本”的原則，由國家統(tǒng)一制定課程標準，然后各地區(qū)根據(jù)課程標準編寫教材. 通過比較可以發(fā)現(xiàn)不同版本的教材在呈現(xiàn)知識的順序以及所選用的內(nèi)容上存在著較大的區(qū)別. 作為一線教師，我們不否認這樣做的價值與意義，但需要注意的是學(xué)生的認知規(guī)律總是相似的（至少不會有明顯的地區(qū)差異），那不同編寫思路的教材如何更好地適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)呢？筆者以為一線教師需要思考這個問題，而思考這個問題，實際上也就是在思考教學(xué)材料的意義.

這里不妨以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1中的“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I”的教材編寫為例，來分析一下教學(xué)材料的意義. 這一章被分為6個小節(jié)，分別是：函數(shù)的概念和圖像、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及應(yīng)用. 從知識發(fā)生的邏輯角度來看，通過函數(shù)概念與圖像的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，然后學(xué)習(xí)三個基本函數(shù)；再在此基礎(chǔ)上比較函數(shù)與方程，進而構(gòu)建一個比較全面的函數(shù)模型并研究其運用，顯然是一個符合知識發(fā)生邏輯的思路，從這個角度講其是有意義的. 但是需要注意的是，這只是宏觀角度的知識發(fā)生順序，而一個更為細致的知識比如說函數(shù)的概念的構(gòu)建需要什么樣的材料來加工，函數(shù)模型的建立又需要哪些材料來加工，這些教學(xué)材料的意義才直接決定著學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性. 于是可以將研究的視角轉(zhuǎn)向具體的教學(xué)內(nèi)容，如在建構(gòu)函數(shù)的概念的時候，教材給出的是三個例子：一是人口數(shù)量變化趨勢；二是一個物體自由下落時下落距離與時間的關(guān)系；三是某市一天24小時的氣溫變化圖. 這三個例子呈現(xiàn)給學(xué)生的時候，最為關(guān)鍵的是什么？顯然是讓學(xué)生通過對三個例子的分析與綜合，進而發(fā)現(xiàn)這三個例子中都存在著兩個變量，且一個變量的取值確定后，另一個變量的值也確定而且是唯一的. 那么，學(xué)生能不能做到這一點？或者說學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)中他們的思維會是怎樣的？

根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生在此知識的學(xué)習(xí)中可以形成上述的因果對應(yīng)關(guān)系，也就是說學(xué)生可以順利地發(fā)現(xiàn)兩個變量及其唯一對應(yīng)關(guān)系，這說明這一教學(xué)材料對他們來說是有意義的；但對于另外少數(shù)學(xué)生來說會出現(xiàn)一種情形，他們在研究材料的過程中不能發(fā)現(xiàn)變量，更加難以發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系. 尤其是對于第一個例子而言，在他們的固有觀念中，國家的人口數(shù)量與年份之間不應(yīng)該有著影響關(guān)系，用有些學(xué)生的話說，哪一年多少人口與這一年有什么關(guān)系呢？這明顯不存在影響關(guān)系啊. 這種在教師看起來無法理解的邏輯就是在學(xué)生那里頑固地存在著，而這個問題不解決，他們就無法順利接受教師所強調(diào)的變量及其對應(yīng)關(guān)系. 即使教師再作重復(fù)與強調(diào)，他們也會心存芥蒂. 這個時候，這一教學(xué)材料對他們這少部分學(xué)生來說，其實就是無意義的，或者說意義是沒有顯露出來的，還需要教師針對他們的思維特點做出修改，以使教學(xué)材料的意義顯露出來.

由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)中教學(xué)材料有意義與否，固然要本著以本為本的思路去實施教學(xué)，即認為教材的材料存在著有意義的前提，但真正的意義其實是顯示在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中的，因此又需要教師針對學(xué)生的實際去發(fā)掘、發(fā)現(xiàn)意義的途徑，而這也是教師備課的價值所在.

使教學(xué)材料變得有意義

那么，如何讓教學(xué)材料變得更有意義呢？

第一，就是研究學(xué)生. 研究學(xué)生的什么？研究學(xué)生的認識規(guī)律. 說得更具體一點，就是研究學(xué)生在構(gòu)建一個數(shù)學(xué)概念的時候，他可能會怎么想，可能會遇到哪些障礙，又如何克服這種障礙？比如說上面對于少部分學(xué)生而言的函數(shù)概念的構(gòu)建，筆者以為最好的選擇，就是幫他們梳理好人口數(shù)量與年份的關(guān)系，要讓學(xué)生認識到這里并不是說每年的人口數(shù)量與年份之間存在著互相影響的關(guān)系，而是根據(jù)每一年的人口數(shù)量來判斷“人口數(shù)量的變化趨勢”——這才是本教學(xué)材料中的一個關(guān)鍵詞，也是化解學(xué)生理解障礙的一個突破口（實際上部分建構(gòu)順利的學(xué)生也并沒有意識到這個問題，他們只是更多的在教師的講授之下完成了一個同化的過程而已）.

第二，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí). 一個好的教學(xué)材料，一定是可以順利地讓學(xué)生進行比較的，比較的對象就是學(xué)生已經(jīng)掌握的或已經(jīng)學(xué)過（與已經(jīng)掌握有所區(qū)別）的，只要學(xué)生在學(xué)習(xí)中有比較的機會，那新知識的構(gòu)建往往就比較順利. 比如說在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的時候，就可以設(shè)計讓學(xué)生通過其與此前已經(jīng)學(xué)過的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等進行比較，以讓學(xué)生認識到學(xué)習(xí)一個新的函數(shù)要從哪些方面進行，而新的函數(shù)與已有函數(shù)又存在哪些區(qū)別，這些都是比較的結(jié)果. 又比如說在函數(shù)模型的建立中，一個重要的工作就是讓學(xué)生去比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這三個基本的初等函數(shù)，并尋找它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，一旦學(xué)生認識到函數(shù)就是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，是研究變量之間依賴關(guān)系的有效工具，那函數(shù)模型就基本建立了. 筆者以為，如果在教學(xué)中，教師能夠大膽地將這個比較的過程交由學(xué)生自主完成，那這樣的教學(xué)過程必定是有效的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會迅速形成.

第三，讓學(xué)生進行精加工. 精加工是一個淺顯易懂的教學(xué)概念，就是指學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，能夠?qū)δ硞€知識點進行詳盡的思考，思考的對象是明確的，思考的范圍是全面的，思考的角度是深入的. 精加工的最大好處，是發(fā)現(xiàn)教學(xué)材料對促進學(xué)習(xí)的作用（當(dāng)然學(xué)生不需要理解這一點，精加工對學(xué)生的意義就是能夠讓他們在深度思考中發(fā)現(xiàn)知識的意義）. 精加工的過程有時候也是復(fù)雜的，還很有可能遇到精加工無法遇到的問題，而這些問題如果能得到解決，實際上也是精加工成功的標志. 精加工的方式是多樣的，上面提到的比較其實也是一種精加工，一題多變、一題多解也是一種精加工——有經(jīng)驗的教師應(yīng)當(dāng)發(fā)現(xiàn)，這樣的精加工往往可以讓學(xué)生對這一習(xí)題的印象更加深刻，而基于此進行發(fā)散教學(xué)，往往可以讓學(xué)生更好地形成知識組塊.

讓教學(xué)材料更好地面向?qū)W生

教學(xué)材料的意義性，嚴格來說是面向?qū)W生時表現(xiàn)出來的意義性，好的教學(xué)材料一定是由教師精心設(shè)計出來的——無論是過去所說的“備教材”，還是現(xiàn)在流行的“用教材教”，其實都是指向這一點的；而教學(xué)材料有意義與否，還需要經(jīng)過學(xué)生的學(xué)習(xí)過程來檢驗，這里所說的面向?qū)W生就是這個意思.

這里需要建立一個觀念，那就是從“教材”向“學(xué)材”的轉(zhuǎn)變，教學(xué)材料固然是師生共用的，但教本身就是服務(wù)于學(xué)生的學(xué)的，因此教材變成學(xué)材才能讓學(xué)生在對教學(xué)材料的有效加工中獲得數(shù)學(xué)知識的建構(gòu). 而要做到這一點，也不是十分困難的事情，一個重要的前提就是建立學(xué)生視角，從學(xué)生的角度去考慮問題. 比如建構(gòu)函數(shù)的模型，教師就要思考經(jīng)過此階段的學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的哪些知識，這些知識能否幫他們形成對函數(shù)的整體認識——只有在整體認識之后才能將這些知識概括上升為模型.

總之，有意義的教學(xué)材料一定是能夠促進學(xué)生順利構(gòu)建知識的材料，也只有一切從學(xué)生的學(xué)習(xí)角度出發(fā)時，才能讓教學(xué)材料的意義更為彰顯.