加強抽象推理模型教學(xué)落實數(shù)學(xué)教學(xué)核心目標(biāo)

李樹臣?ね躉酆?

【摘要】數(shù)學(xué)思想是指人們在從事各種數(shù)學(xué)活動時，所表現(xiàn)出來的種種數(shù)學(xué)觀念及思維方式.加強數(shù)學(xué)基本思想教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo).數(shù)學(xué)思想包含很多，但是基本思想主要是抽象、推理和模型.抽象是獲取數(shù)學(xué)概念的重要手段，通過概念教學(xué)培養(yǎng)抽象思想；推理思想的培養(yǎng)應(yīng)貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中；培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決有關(guān)問題的過程對于形成建模思想具有重要的意義.

【關(guān)鍵詞】基本思想；抽象；推理；模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》在課程的“總目標(biāo)”中提出“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”[1].數(shù)學(xué)基本思想是構(gòu)成核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題在本質(zhì)上反映了數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)問題.

重視數(shù)學(xué)思想教學(xué)是教師們長期以來“奉行”的主要原則之一，但究竟哪些是數(shù)學(xué)的基本思想?yún)s一直把握不準(zhǔn)，存在爭議.筆者在本文首先談?wù)剬?shù)學(xué)基本思想的一些新認(rèn)識，然后提出加強基本思想教學(xué)的宏觀途徑.1正確認(rèn)識數(shù)學(xué)基本思想

數(shù)學(xué)思想是指人們從事各種數(shù)學(xué)活動時，所表現(xiàn)出來的種種數(shù)學(xué)觀念及思維方式[2].《課標(biāo)（2011年版）》提出“無論是設(shè)計、實施課堂教學(xué)方案，還是組織各類教學(xué)活動，不僅要重視學(xué)生獲得知識技能，而且要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過獨立思考或者合作交流感悟數(shù)學(xué)的基本思想……”[1].

這里在“思想”前面加上了“基本”二字，目的有二：一方面是強調(diào)基本思想的重要性；另一方面是控制數(shù)量（基本思想不要太多了）.“數(shù)學(xué)思想”有許多，并且是具有層次性的，而“基本數(shù)學(xué)思想”則是其中具有本質(zhì)性特征和基本重要性的一些思想，處于較高的層次，其他的數(shù)學(xué)思想都可以由這些“數(shù)學(xué)的基本思想”演變出來，派生出來，發(fā)展出來[3].

要搞清楚究竟哪些是數(shù)學(xué)基本思想，首先需要建立判斷數(shù)學(xué)基本思想的原則.對此，史寧中教授提出了兩個原則[4]：

第一個原則：數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴的那些思想.

第二個原則：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本思維特征.

根據(jù)這兩個原則，可以把基本思想歸結(jié)為三個核心要素：抽象、推理、模型.針對具體的教學(xué)內(nèi)容，我們不可能把三者截然分開，在這三個核心要素中抽象是基礎(chǔ)，進行推理和建立模型的過程一刻也不能離開抽象，三者之間相互交融在一起，常常是“你中有我，我中有你”.

1.抽象

所謂抽象，就是從許多事物的表象中舍棄個別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程.數(shù)學(xué)抽象主要包括兩個方面的內(nèi)容：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系.數(shù)學(xué)的抽象不僅僅要抽象出數(shù)學(xué)所要研究的對象，還要抽象出這些研究對象之間的關(guān)系.與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關(guān)系更為本質(zhì).

抽象是數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)抽象經(jīng)歷了兩個階段[4]：

第一階段的抽象是基于現(xiàn)實的.通過對現(xiàn)實世界中的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的抽象，得到了數(shù)學(xué)的基本概念、運算法則和基本原理.這種抽象是從感性具體上升到理性具體的思維過程.

第二階段的抽象是基于邏輯的.通過這個階段的抽象，合理解釋第一次抽象得到的數(shù)學(xué)概念以及概念之間的關(guān)系.這個階段抽象的特點是符號化、形式化和公理化，這是從理性具體上升到理性一般的思維過程.

案例1一元一次方程的建立過程.

一元一次方程是在學(xué)生學(xué)習(xí)了方程的基礎(chǔ)上建立起來的一個代數(shù)概念.在這之前學(xué)生已經(jīng)知道“含有未知數(shù)的等式就是方程”.為了引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一元一次方程的建立過程，我們可以引導(dǎo)學(xué)生觀察下列方程（這四個方程都是根據(jù)具體問題情境得到的）的特點：

3x+1=64；4+3（x-1）=64；3y+5=2；2a-3=5a.

學(xué)生通過觀察、交流，抽象、概括出上述四個方程的兩個本質(zhì)特點：

（1）只有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的次數(shù)是1.

這就是一元一次方程的本質(zhì)特點，至此，給出一元一次方程的定義.一元一次方程的概念是建立在抽象基礎(chǔ)上的.抽象是形成數(shù)學(xué)概念的重要邏輯手段.

2.推理

《課標(biāo)（2011年版）》指出“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.”[1]數(shù)學(xué)推理就是得到數(shù)學(xué)命題或者驗證數(shù)學(xué)命題的思維過程[4].從數(shù)學(xué)思想的角度看，數(shù)學(xué)研究對象的確立依賴數(shù)學(xué)抽象，而數(shù)學(xué)內(nèi)部自身的發(fā)展則依賴數(shù)學(xué)推理.

數(shù)學(xué)推理是一種有邏輯的推理，這種邏輯推理包括歸納推理和演繹推理.

（1）歸納推理：命題的適用范圍由小到大的推理，是一種由特殊到一般的推理.歸納推理包括不完全歸納法、類比法、數(shù)據(jù)分析等，數(shù)學(xué)的結(jié)論都是通過歸納推理得到的，得到的“數(shù)學(xué)手段”是“猜”而不是“證”.因此，由歸納推理得到的結(jié)果不一定都正確.

案例2積的乘方法則的發(fā)現(xiàn)過程.

①通過給定問題情境，讓學(xué)生計算下面的結(jié)果：

（2a）2=2a×2a=（2×2）×（a×a）=4a2.

②在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生計算：（2a）3=？（2a）4=？

③一般地，設(shè)m是正整數(shù)，（ab）m=（ab）·（ab）·…·（ab）m個（ab）=（a·a·…·a）m個a（b·b·…·b）m個b=ambm.

即（ab）m=ambm.

在對一些具體算式進行觀察、比較的基礎(chǔ)上，通過歸納推理，得到（ab）m=ambm.這是從對個別事實的研究中，得到一般性結(jié)論的過程.

（2）演繹推理：命題的適用范圍由大到小的推理，是一種由一般到特殊的推理.演繹推理包括三段論、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.通過演繹推理得到的結(jié)論都是正確的.