同一法為勾股定理的推導(dǎo)提供解題生長點

潘薇羽??

【摘要】如何用解題式的思維方式去分析勾股定理的存在？教學(xué)中，若沒有從教師提示的面積法分析直角三角形的三邊關(guān)系，我們是否能讓學(xué)生自己通過解題發(fā)現(xiàn)勾股定理，在這個過程中，教師需要做好怎樣的方法鋪墊，以幫助學(xué)生解題思維的順利生長.

【關(guān)鍵詞】同一法；勾股定理；解題思維生長點

1我怎么沒想到

常見的勾股定理教學(xué)中，命題引入方式有兩種：

（1）直接呈現(xiàn)式.有以下幾種具體呈現(xiàn)形式：

①呈現(xiàn)畢達哥拉斯觀察到的地板圖案，請學(xué)生觀察并提出問題：“你認為這三個正方形的面積之間存在著怎樣的關(guān)系？”如圖1；

②呈現(xiàn)以特殊數(shù)3，4，5為邊長的直角三角形的三邊正方形圖，請學(xué)生算一算：“這三個正方形的面積之間存在著怎樣的等量關(guān)系？”如圖2；

③呈現(xiàn)弦圖，請學(xué)生觀察并分析其中幾何圖形的面積關(guān)系，如圖3.

（2）問題發(fā)生式.此種教學(xué)法的常見形態(tài)有：

④測量猜想式.如：作兩個直角三角形，使其兩直角邊分別是3cm和4cm，5cm和12cm，測一測斜邊的長度；

⑤格點轉(zhuǎn)移式.如：在網(wǎng)格中，作一個直角邊長分別為3、4的直角三角形，量一量該直角三角形的斜邊長是多少？若利用圓規(guī)，以斜邊長為半徑作弧，可發(fā)現(xiàn)圓弧經(jīng)過另一個格點，數(shù)出半徑長恰好是5個單位長度.同理，可以測量出直角邊長分別為5、12的直角三角形的斜邊長為13.

筆者初上講臺，使用直接呈現(xiàn)式的教學(xué)方式.每當(dāng)展示勾股圖的時候，筆者感受到學(xué)生的驚嘆連連：“好聰明??！”“他是怎么想到去算正方形面積的呢？”“我怎么就想不到呢？”“為什么會想到研究一個三邊長為3、4、5的直角三角形？”雖然學(xué)生向筆者投來敬佩的目光，但似乎，疑問多于贊嘆.

畢達哥拉斯從地板的圖案上頓悟出勾股定理，是機緣巧合，但講這樣的故事就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了嗎？

再次教學(xué)，筆者開始改用問題發(fā)生式教學(xué)，提出問題：你會求直角三角形的斜邊長嗎？筆者以為，用問題驅(qū)動的方式可以引導(dǎo)學(xué)生積極展開思維.而事實上，因為量一量的對象是特殊邊長的直角三角形，結(jié)果也特殊，所以在量一量的環(huán)節(jié)，學(xué)生表現(xiàn)平靜，無疑無贊.當(dāng)筆者再接下來問：“這三個數(shù)據(jù)之間有什么特殊的關(guān)系嗎？”學(xué)生的表現(xiàn)更是一愣一愣的，幾分鐘內(nèi)，教室內(nèi)只聽見小小的嘀咕聲，卻沒人說得出結(jié)果.當(dāng)筆者再次點醒：“你沒有發(fā)現(xiàn)32+42=52、52+122=132嗎？”教室內(nèi)頓時如炸開了鍋一樣，“原來是這樣??！”、“我怎么就沒想到呢？”

一句話：“我怎么沒有想到？”

——“我怎么沒有想到以直角三角形的三條邊為邊構(gòu)建正方形？”；

——“我怎么沒有想到3、4、5之間、5、12、13之間會有什么相同的數(shù)量關(guān)系？”；

課后，學(xué)生問我：“老師，你是怎么想到的？你可以把你想到的方法告訴我嗎？”

——“是啊，我是怎樣想到的呢？前人是如何想到的呢？”筆者自問，并深深地思考：“畢達哥拉斯的頓悟雖是一種重要的解題方式，但學(xué)生對此的驚訝多于理解！是什么方法能讓人想到這樣的構(gòu)圖法解題？我該如何解題（求直角三角形的斜邊長）、我該如何構(gòu)圖？”

2我該如何解題

再次執(zhí)教這節(jié)課，筆者深深地思考：“如果沒有勾股定理，我們應(yīng)當(dāng)如何求解直角三角形的斜邊長？”

2.1從認知角度進行解題類別分析

求線段長度是常見的題型.一般在梳理問題條件時，需要從兩個方向進行準(zhǔn)備分析：一是問題條件的準(zhǔn)備，二是知識準(zhǔn)備.初中范圍內(nèi)，幾何以三角形為基礎(chǔ)，展開學(xué)習(xí)四邊形、多邊形、圓形，依據(jù)歸納轉(zhuǎn)化的思想，當(dāng)我們對知識系統(tǒng)中的上層知識進行學(xué)習(xí)、研究時，常常將其轉(zhuǎn)化為對基礎(chǔ)問題的求解，如求解多邊形內(nèi)角和時，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形進行求解；學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)時，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形進行學(xué)習(xí)；解決不規(guī)則圖形面積時，常常將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進行處理.所以，對圖形常見的處理方式是高級向低級的轉(zhuǎn)化，不規(guī)則的圖形向規(guī)則的圖形進行轉(zhuǎn)化，這是一種下位學(xué)習(xí)的方式，也是一種下位式的解題方式；奧蘇伯爾曾在對認知結(jié)構(gòu)進行分析的基礎(chǔ)上，提出關(guān)于命題學(xué)習(xí)的三種分類：上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)、并列學(xué)習(xí).通過命題學(xué)習(xí)，我們獲得了命題的結(jié)論性知識，用命題的“結(jié)論解題”是數(shù)學(xué)解題中常常偏好的一個方向，只要能對問題的模式進行識別、會從命題的條件辨別異同，能在求同思維及求異思維的指導(dǎo)下進行分析，就可以解題.這是一種原型式的、特征式的解題方式.這種解題方式的缺點就是以結(jié)論為主，以原型模式辨別為主，很少在解題過程中明確解題的生長基礎(chǔ)，并尋找解題的生長點.

借鑒奧蘇伯爾的命題學(xué)習(xí)分類，我們也將解題學(xué)習(xí)分為三類：上位式解題、下位式解題、并列式解題.上位式解題：在解決問題時將問題向上一個層級的概念、命題進行轉(zhuǎn)化，借助包容程度更高的命題、概念幫助解決問題；下位式解題：將問題向從屬的概念、命題進行分解、轉(zhuǎn)化，借助基礎(chǔ)地、熟悉地、簡易的知識結(jié)構(gòu)解決問題，這也是一種常用的解題方式；并列式解題：在解決問題時，沒有將問題的結(jié)構(gòu)進行上位、下位概念命題的轉(zhuǎn)移，利用同層級的概念、命題解題，比如：同一法證明勾股逆定理，文獻[1]借助逆命題解題都是屬于并列式解題的例子.

同一法在初中范圍內(nèi)應(yīng)用不多，主要是因為用此法解題，不用調(diào)動上、下位的概念圖式，對培養(yǎng)學(xué)生命題域的知識結(jié)構(gòu)效用不大，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，甚少出現(xiàn)，只是在涉及互逆命題的證明或使用互逆命題時，才被人記起，而這樣的互逆命題教學(xué)，在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，所占的比例僅僅微乎其微.

2.2同一法為勾股定理的推導(dǎo)提供解題生長點

近日，筆者在進行八年級《直角三角形的性質(zhì)》教學(xué)時，頻頻接觸到一組組互逆命題：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；如果三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；②直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；如果一個直角三角形中，有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.教學(xué)時，筆者著重對這些互逆命題的證明，及一些使用逆命題互助解題的例題進行重點教學(xué)，其間教授了同一法.而后又接觸到勾股定理的教學(xué).筆者在備課時以解題生長式的理念進行備課思考：如何求解直角三角形的斜邊長呢？解決此命題的解題基礎(chǔ)和解題生長點在何處？

解題基礎(chǔ)分析：（1）關(guān)于勾股定理命題證明的條件只有一個：直角三角形；（2）與直角三角形邊長有關(guān)的知識概念儲備：無.

解題生長點分析：這樣的命題解決，如何進行？解題的生長點在哪里？從條件分析，還是從儲備知識分析？儲備知識無，那么只能從條件入手，條件如何轉(zhuǎn)化？此圖中只有一個直角三角形，條件單一，如何轉(zhuǎn)？轉(zhuǎn)向何處去？

曾經(jīng)學(xué)過的知識中，除三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的知識，其余者無.其中“三角形的三邊關(guān)系”用不上，那么知識儲備中就只有全等三角形的知識.“單木不成林”，單單一個三角形，哪來全等關(guān)系？可除了全等，還有何法？

不禁地，筆者想到才接觸的同一法：是否可利用同一法將圖形進行再建構(gòu)？如果圖中具有多個全等三角形，那么圖形會變成……，嘗試之后，筆者頓覺思路大開，原來，奧妙藏于此圖中.筆者興奮不已，借助同一法，進行了一堂非常順利的勾股定理證明的教學(xué)課.以下為教學(xué)實錄：

師：“前兩節(jié)課我們用同一法解決了一些圖形性質(zhì)單一、不易于被證明的問題.同一法告訴我們：對于無法求解的線段，可在原圖四周，重新建構(gòu)一條長度相同的線段（或性質(zhì)相關(guān)圖形），通過證明新舊兩圖全等，而獲得原線段長度.”

（呈現(xiàn)問題）……

師：“現(xiàn)在，我們?nèi)绾吻笾苯侨切蔚男边匒B的長？”

生：“我們可以在△ABC外再尋找長度等于AB的線段.利用圓規(guī)，分別以點A、B為圓心，AB長為半徑作弧，圓弧經(jīng)過格點E和F.因為線段BE、AF與線段AB一樣，都是一個3×4的矩形對角線，所以AB=BE=AF，同理可證線段EF=AB.發(fā)現(xiàn)新組成的四邊形ABEF是一個小正方形，被包含在大正方形CMNK中，可以證明小正方形四周均為全等的直角三角形.”

“這樣的圖形能幫助你求線段AB的長嗎？”

“能.如果能算出正方形ABEF的面積，就可以知曉邊長AB的值.”

“如何求小正方形ABEF的面積呢？”

此時，全班的聲音異常整齊：“用大正方形的面積減去4個小直角三角形的面積！”

接下去的計算與推廣證明過程便沒有任何難度了.（圖4、圖5是兩個學(xué)生的不同做法）

如何由一條線段想到構(gòu)建四條邊的正方形，如何由一個小直角三角形想到用4個全等的直角三角形進行拼圖，思維的來源并不是空穴來風(fēng)，重新構(gòu)建，“同一法”證明給了我們極大的啟示.圖4圖5

借助圖4，證明勾股定理結(jié)論的過程為：設(shè)直角△ABC的兩條直角邊長為a、b，

易證四邊形ABEF、CMNK為正方形.

因為S正方形CMNK=S正方形ABEF+4×S△ABC，

所以a+b2=AB2+4×12ab，

所以AB2=a2+b2.

即：c2=a2+b2.

證明至此，學(xué)生對于為何要構(gòu)建正方形，為何要計算三個正方形面積之間的關(guān)系的理解便水到渠成了.

在此次證明中，正是因為證明的條件不多，圖形不豐富，且曾經(jīng)所學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識不夠充分，所以只好選擇同一法，通過構(gòu)造一個與原圖全等的圖，并在豐富了圖形之后，試圖獲取原圖的圖形性質(zhì).當(dāng)我們構(gòu)造一個全等的直角三角形之后，不妨再構(gòu)造一些，進而獲得了一個嵌入式的雙正方形.利用小學(xué)的面積知識，便輕松地推導(dǎo)出勾股定理.此次解題證明初入時為并列式解題思路，后繼發(fā)展為上位式解題方式，是初中數(shù)學(xué)中為數(shù)不多的上位式解題的典型題.

3思維的兩種表現(xiàn)形式與教學(xué)方式

3.1直覺式頓悟與發(fā)生式學(xué)習(xí)

畢師關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)是一種直覺式頓悟.“直覺是一種人們沒有意識到的對信息的加工活動，是在潛意識中醞釀問題而后與顯意識突然溝通，于是一下子得到了問題的答案，而對加工的具體過程，我們則沒有意識到”[2].在頓悟之前畢師經(jīng)過了觀察，“觀察是人們對事物的一個知覺過程.……知覺與人的經(jīng)驗分不開”，“直覺判斷，個體利用自己的經(jīng)驗對知覺對象可能具有的屬性作出一種判斷”[3].畢師的發(fā)現(xiàn)是直覺式的，建立在他的經(jīng)驗之上，對著地板圖案的觀察，畢師能夠?qū)⑵渲械膱D形結(jié)構(gòu)進行重組分析，進而突顯直至頓悟發(fā)現(xiàn)勾股定理.而對于初中學(xué)生，他們數(shù)學(xué)的直覺、數(shù)學(xué)經(jīng)驗、知識結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)方法尚不完善，雖說數(shù)學(xué)教學(xué)是要踩著歷史的腳印前進，但要求十三、四歲的孩子們也能獨自經(jīng)歷畢師的思維之路，困難程度不言而喻.

故而，勾股定理的認知，是否該是一種發(fā)生式的、過程式的學(xué)習(xí)方式呢？

發(fā)生式命題學(xué)習(xí)，是將命題產(chǎn)生的過程揭示出來，使學(xué)生在體悟命題發(fā)生和發(fā)展的認識中獲得命題的學(xué)習(xí)方式[3].這種學(xué)習(xí)，也可以稱為是一種過程性學(xué)習(xí)，從一個概念到另一個概念過渡的過程，方法的過程，推理的過程，獲得思維的過程均在教學(xué)的范疇之中.概念固然是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的重要結(jié)點，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是概念的習(xí)得，更重要的是如何在概念之間進行推理，使得概念點之間能夠發(fā)生聯(lián)結(jié)，這就是思維.數(shù)學(xué)是思維的體操，“數(shù)學(xué)是玩概念的”，數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)的，就是如何在概念之間產(chǎn)生往回地、多向地聯(lián)結(jié).所以，筆者認為勾股定理的教學(xué)中，三個正方形的面積計算不是主要的，如何想到構(gòu)建正方形才是教學(xué)釋疑的又一個重點.

3.2命題教學(xué)的結(jié)論性學(xué)習(xí)與生長式規(guī)則性學(xué)習(xí)

喻平認為，概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)命題由概念組合而成，在條件概念與結(jié)論概念之間，有“規(guī)則”連結(jié)，故命題學(xué)習(xí)也稱規(guī)則學(xué)習(xí)[3].

筆者認為，規(guī)則是思維發(fā)生的過程與表現(xiàn)形式，思維的發(fā)生是有方向性、目的性的，是具有生長性的，因此，命題的規(guī)則性教學(xué)，應(yīng)當(dāng)從規(guī)則的生長性上進行考慮，包括生長點的分析與思考.其實，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是規(guī)則性的學(xué)習(xí)，這是一種學(xué)習(xí)的方法論.規(guī)則具有自主的生長能力，解題時，思維在條件性概念與結(jié)論性概念之間進行各種方式地聯(lián)結(jié)，若聯(lián)結(jié)成功，則規(guī)則的生長成功.

對于教學(xué)而言，側(cè)重結(jié)論式教學(xué)與側(cè)重規(guī)則性教學(xué)，對學(xué)習(xí)者的思維培養(yǎng)效果有較大不同.若進行結(jié)論式教學(xué)，學(xué)習(xí)者的思維生長能力較弱；若進行發(fā)生式學(xué)習(xí)，在聯(lián)結(jié)對象未知的情況下，思維的活躍程度相對更高，對解題者概念系、命題系的調(diào)動范圍更大更積極，對思維能力的鍛煉也就越高.所以，規(guī)則性學(xué)習(xí)是命題學(xué)習(xí)的一個重點內(nèi)容，其價值高于結(jié)論性概念的獲取.學(xué)習(xí)命題，不僅僅學(xué)習(xí)結(jié)論性知識，更有規(guī)則性內(nèi)容.另外，命題教學(xué)的價值方向，就是提高解題能力，而解題教學(xué)的重點，是尋找具有生長基礎(chǔ)（生長點）與生長方向的規(guī)則，進而培養(yǎng)思維的能力.

借助于同一法，筆者將“求解斜邊長”的問題進一步擴大，進行上位式轉(zhuǎn)化，進而順利地解決了勾股定理的推導(dǎo)問題.既是教學(xué)思考必得，也是教學(xué)偶得，饗與讀者.

參考文獻

[1]陳明儒，岑霞麗.逆思補形分割[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014，（4）：38-39.

[2]錢學(xué)森.思維科學(xué)探索[M].太原：山西人民出版社，1985：22.

[3]喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].南寧：廣西教育出版社，2004：219.

作者簡介潘薇羽（1978—），女，廣西桂林人，中學(xué)高級教師，桂林市優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師，主要研究方向：生長式數(shù)學(xué)教學(xué)法.發(fā)表文章10余篇.