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    二次函數(shù)在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用

    2017-03-27 16:54:02劉代平
    關(guān)鍵詞:壓軸題二次函數(shù)高考

    劉代平

    【摘要】在高考數(shù)學(xué)中,對(duì)于二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的考查越來(lái)越多,許多高考?jí)狠S題都是關(guān)于二次函數(shù)的問(wèn)題,在全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷中,對(duì)于二次函數(shù)的考查內(nèi)容也非常多,所以二次函數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)于高考有著非常重要的意義,因此本文就二次函數(shù)在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用進(jìn)行了一定的研究.

    【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);高考;壓軸題

    在高中數(shù)學(xué)中,函數(shù)是一個(gè)非常重要的內(nèi)容,在近些年的高考中,函數(shù)綜合性問(wèn)題常常以壓軸題的形式出現(xiàn),而且考查的方式也較為靈活,而二次函數(shù)作為函數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容,它與不等式、解析幾何、數(shù)列及復(fù)數(shù)等都有著密切的聯(lián)系,所以對(duì)二次函數(shù)在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用進(jìn)行研究有著非常重要的意義.

    一、高考數(shù)學(xué)試題分析

    本文主要針對(duì)近兩年高考新課標(biāo)Ⅱ卷的數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析,通過(guò)對(duì)于高考試卷的解析來(lái)探求二次函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用.以2015年文科試卷第15題為例,題目如下:

    例1已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,3),且漸近線方程為y=±12x,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

    這道題目實(shí)質(zhì)上是考查的解析幾何的知識(shí),但是我們知道雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)二次函數(shù),所以該題目實(shí)質(zhì)上也考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).在解答這道題目的過(guò)程中,不妨先判斷雙曲線焦點(diǎn)的位置,因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4,3),而點(diǎn)(4,3)又在漸近線y=12x的下方,所以可以判斷雙曲線的焦點(diǎn)是位于x軸上的,這時(shí)可以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1,其中a,b均大于零,那么該雙曲線所對(duì)應(yīng)的漸近線方程就應(yīng)該為y=±bax,由已知條件可知ba=12,然后再將點(diǎn)(4,3)的坐標(biāo)代入所設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程,不難得到16a2-3b2=1,再由ba=12可以解得a=2,b=1,最終求得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y2=1.這道題目對(duì)于解析幾何的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了考查,但是所考查的內(nèi)容較為基礎(chǔ),所以在高考數(shù)學(xué)中,必須要注重對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和應(yīng)用.

    例2設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.(1)證明f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;(2)若對(duì)于任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍.

    這道題目考查函數(shù)的單調(diào)性和最值的應(yīng)用,其中第一道題目相對(duì)較為基礎(chǔ),而第二道題目則有一定的難度.從題目的已知條件中不難發(fā)現(xiàn)所給函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?∞,+∞),第一個(gè)問(wèn)題中是要對(duì)函數(shù)的單調(diào)性加以證明,這時(shí)不難聯(lián)想到導(dǎo)函數(shù),所以不妨求出其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=m(emx-1)+2x,接下來(lái)要判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),而在導(dǎo)函數(shù)中有參數(shù)m和變量x存在,所以需要對(duì)其進(jìn)行分類討論,首先如果m≥0,在x∈(0,+∞)時(shí),有emx-1≥0,2x>0,這時(shí)f(x)′>0;而當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),emx-1≤0,2x<0,這時(shí)f(x)′<0;如果m<0,在x∈(0,+∞)時(shí),emx-1<0,2x>0,這時(shí)f(x)′>0,而當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),emx-1>0,2x<0,這時(shí)f(x)′<0.因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)遞減的,在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增的.通過(guò)對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題的解答,可以指導(dǎo)對(duì)于任意的m,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,0]上都是單調(diào)遞減的,在區(qū)間[0,1]上都是單調(diào)遞增的,所以不難發(fā)現(xiàn)在區(qū)間[-1,1]上,函數(shù)f(x)的最小值為f(0),那么不難得到f(1)-f(0)≤e-1且f(-1)-f(0)≤e-1,即em-m≤e-1,e-m+m≤e-1. 這時(shí)不妨構(gòu)造函數(shù)g(t)=et-t-e+1,不難求得函數(shù)g(t)的導(dǎo)函數(shù)g(t)′=et-1,所以在t<0時(shí),g(t)′<0;在t>0時(shí),g(t)′>0,所以函數(shù)g(t)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)間(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,這時(shí)em-m≤e-1,e-m+m≤e-1 是成立的,而當(dāng)m>1時(shí),g(m)>0,即em-m>e-1,而當(dāng)m<-1時(shí),g(-m)>0,即em-m>e-1,所以m的取值范圍為[-1,1].這道題目對(duì)于導(dǎo)函數(shù)及函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了考查,同時(shí)在解題的過(guò)程中還需要構(gòu)造輔助函數(shù),這就要求學(xué)生要靈活地掌握和應(yīng)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).

    二、二次函數(shù)復(fù)習(xí)建議

    (一)夯實(shí)基礎(chǔ),活用教材

    在進(jìn)行二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)時(shí),首先要抓住教材,對(duì)于教材中的基礎(chǔ)知識(shí)一定要掌握牢靠,對(duì)于教材中所涉及的二次函數(shù)知識(shí)及一些常規(guī)的解題思路要全面地了解和掌握.

    (二)注重?cái)?shù)形結(jié)合

    由于二次函數(shù)與解析幾何有著密不可分的關(guān)系,所以在對(duì)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí),可以借助于函數(shù)圖像,將函數(shù)與圖像結(jié)合在一起.在解答有關(guān)常見(jiàn)二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí),學(xué)生應(yīng)該養(yǎng)成畫(huà)函數(shù)圖像的習(xí)慣,通過(guò)函數(shù)圖像可以先對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及特征有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí),雖然這種認(rèn)識(shí)是感性上的,但是再通過(guò)理性的分析,就能夠有效地對(duì)問(wèn)題加以解決,所以數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的解答二元函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的思想方法.

    三、結(jié)語(yǔ)

    近些年來(lái),隨著新課程改革的進(jìn)一步深入,許多高考?jí)狠S題目都是與二次函數(shù)相關(guān)的.通過(guò)對(duì)近些年來(lái)全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題的研究,筆者發(fā)現(xiàn)試卷中二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)所占的比重也越來(lái)越大,所以必須在復(fù)習(xí)的過(guò)程中對(duì)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)引起足夠的重視,通過(guò)有效的方式來(lái)進(jìn)行二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí),從而在高考中取得較好的成績(jī).

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