以西南民族大學為例探析線性代數(shù)教學中的難點及其對策的難點及其對策

李慶

【摘要】線性代數(shù)課堂教學一直是代數(shù)類教學改革的焦點.以西南民族大學非數(shù)學專業(yè)類的理工科的線性代數(shù)教學為例，通過對線性代數(shù)課堂教學現(xiàn)狀分析，提出了線性代數(shù)教學中存在的難點，并從數(shù)學問題研究的歷史背景、數(shù)學理論與工具的實際應用、線性代數(shù)應用選修課的設置以及數(shù)學文化知識講座等角度提出了線性代數(shù)課堂教學改革的策略，明確了從事線性代數(shù)教學研究的教育工作者的努力方向.

【關鍵詞】線性代數(shù)教學；數(shù)學思維；抽象性；實際應用

【中圖分類號】G643.2

【基金項目】西南民族大學代數(shù)類課程教學改革研究項目（2014QN12）

線性代數(shù)一直是高等教育中非數(shù)學專業(yè)類學生的核心基礎課程.這不僅體現(xiàn)在它是考研公共數(shù)學的科目之一，更體現(xiàn)在它的抽象性與應用性的高度統(tǒng)一.代數(shù)相對于幾何、拓撲等學科是較為抽象的一門學科，具備更多的數(shù)學文字符號.以西南民族大學的線性代數(shù)教學為例，理工科的學生通常選擇同濟版的線性代數(shù)教材.該教材首先介紹的就是行列式，這通常使得學生頓感抽象，導致學生學習代數(shù)的熱情大大降低，甚至到最后學生學習這門課程只是為了應付考試，以至于線性代數(shù)的教學失去了原本的意義.另一方面，抽象與具體本質上是統(tǒng)一的，這也是激發(fā)學生學習興趣的重要因素.而我們目前的線性代數(shù)課堂教學通常止步于抽象性，而對于線性代數(shù)的精彩應用被舍棄.本文以西南民族大學的線性代數(shù)教學為例，分析其教學現(xiàn)狀，提出線性代數(shù)教學中存在的難點，并給出相應的對策.

一、線性代數(shù)課堂教學現(xiàn)狀及其難點分析

西南民族大學非數(shù)學專業(yè)類理工科的線性代數(shù)通常設置為每周4課時（或5課時），共17周（或13周），總課時68課時（或65課時）.按照同濟版（第六版）的線性代數(shù)的前言所示，前五章的內容大約需要34課時.實際上我們現(xiàn)在的教學也就是講授到第五章.看似我們的課時大大超出大綱里提到的課時，實際上要完全理解線性代數(shù)的內容甚至是精髓，68課時或65課時是不夠的.此外，同濟版的教材是針對全國的高等院校，當然包含重點大學在內.而我們是民族院校，學生的數(shù)學水平差異較大，特別有一部分數(shù)學基礎較薄弱的少數(shù)民族學生（這主要是由民族聚居地區(qū)初等教育水平不高所決定），這使得數(shù)學教師要把握好講課的進度以及難易程度，自然加大了數(shù)學教師的授課難度.其次，線性代數(shù)的抽象性加大了學生學習的難度，同時也對數(shù)學教師的理論水平和授課技能提出了更高的要求.興趣是學生學習的最大動力，如何抓住學生學習線性代數(shù)的興趣，這就對教師的教學能力提出了更高的要求.比如，該教材的第一章就是講授行列式，顯得比較突兀，學生頓感抽象；第二章就是矩陣運算，矩陣就是一個數(shù)表，為什么要定義這些矩陣運算，這就好比“奉天承運皇帝詔曰”，從天而降的概念和運算.因此，如何引出這些理論或工具就顯得特別重要.最后，由于同濟版的線性代數(shù)教材習題有成套的習題參考答案，這就勢必造成部分學生為了完成任務照抄習題答案.這樣導致學生的學習能力沒有提高，教師也無法清楚地了解學生的學習情況.這些現(xiàn)象都是線性代數(shù)教學中的難點問題.如何改革線性代數(shù)教學現(xiàn)狀成為目前迫切需要解決的一個重要問題.

二、線性代數(shù)課堂教學改革策略

（一）從數(shù)學研究的歷史背景入手，打造邏輯生動的數(shù)學課堂

數(shù)學以公式之優(yōu)美、理論之奇妙、論證之嚴密、應用之廣泛令人驚嘆不已！究其原因，數(shù)學的思維方式發(fā)揮著巨大的威力.數(shù)學的思維方式是一個全過程：觀察客觀現(xiàn)象，提出要研究的問題，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型.按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”這一數(shù)學的思維方式去參與教學，這就使得學生比較容易學，而且可以享受學習數(shù)學的樂趣.比如，線性代數(shù)教材中的行列式和矩陣這兩大工具的引入，勢必需要從線性代數(shù)研究的中心問題出發(fā)來導出.什么是線性代數(shù)？線性代數(shù)干什么？“線性”就是“一次”，線性代數(shù)的主要研究內容就是研究多元的一次方程組與一次函數(shù).一次方程組也稱為線性方程組.常數(shù)項為0的多元一次函數(shù)y=a1x1+…+anxn稱為線性函數(shù)，n個n元線性函數(shù)組成的函數(shù)組yi=ai1x1+…+ainxn（1≤i≤n）稱為線性變換.線性代數(shù)的兩大主題就是多元線性方程組與線性變換.線性方程組與線性變換可以由方程組或函數(shù)組中的系數(shù)排成矩陣來表示，通過矩陣運算來求解方程及解決相關的應用問題，其中最重要最基本的矩陣運算是初等變換和乘法這兩個算法.通過這樣的研究背景的介紹引入矩陣的概念，同時也說明了定義矩陣運算的必要性.因此，線性代數(shù)教學的第一步需要適當調整同濟版教材的教學順序，從解線性方程組出發(fā)，導出矩陣的概念和矩陣的初等變換的算法，利用高斯消元法求解方程.另一方面，特別要討論方程個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等且是唯一解的這一類線性方程組，除了通用的高斯消元法之外還有沒有其他方法？可不可以只利用方程組的系數(shù)和常數(shù)項直接求解？由此引入行列式這一符號（最初行列式的出現(xiàn)僅僅作為一個速記工具）.因此，正如北京航空航天大學李尚志教授所說：我們不是以“奉天承運皇帝詔曰”的方式從天而降概念、算法和定理，也不是在學生不知有何用處的情況下先學好算法再拿去應用，而是從研究的歷史背景和問題出發(fā)，在嘗試結局問題的過程中將所需的算法“發(fā)明”出來.

（二）將線性代數(shù)的實際應用適當?shù)匾胝n堂教學中

線性代數(shù)研究的是最簡單的方程和函數(shù)，算法也比微積分少得多，按道理應當容易學.但實際情況是，多數(shù)學生學起來并不輕松.主要困難是太抽象.線性代數(shù)一開始就是一個接一個的抽象定義，使初學者難以理解.比如，行列式為什么這樣定義？矩陣為什么這樣相乘？線性相關、線性無關是什么意思，有什么用處？這些問題都讓學生，甚至很多講授線性代數(shù)課程的教師迷惑不解.因此，除了上述提到的從研究問題的歷史背景引入理論和工具之外，課堂教學還應注重理論和工具的實際應用.例如，利用二階行列式根據(jù)頂點坐標計算平行四邊形和三角形的面積；判斷線性方程組是否有唯一解實際上就是判斷系數(shù)矩陣各列是否線性無關；利用矩陣乘法來實現(xiàn)平面上和空間中的旋轉；計算空間中的旋轉軸時，實際上就是求特征值為1的特征向量，等等.當然教師選擇的問題，盡量是在現(xiàn)實生活和學生今后工作中有用的問題，并且希望是學生感興趣、容易懂的問題，因此也不需要選擇需要較多專業(yè)知識或綜合性太強的實際問題.這樣也使得學生看到發(fā)明出來的理論和工具并不僅僅局限于某一方面的應用，它們還能解決其他許許多多的問題.在科學研究中，用從許多事物中總結出來的結論和方法解決成千上萬的問題，這就是抽象的威力.因此，如果在教學中不舉任何實例，不講任何應用，只讓學生死記硬背，勢必導致學生害怕抽象，失去了抽象原本的意義.因而這不是抽象的錯，也不是學生的錯，而是教學方式的錯.

（三）設置針對線性代數(shù)應用的選修課

由于為線性代數(shù)設置的課時數(shù)主要是為了學生能學完基礎理論知識，因此線性代數(shù)課堂中補充的應用舉例就顯得相對較少.但在實際問題，特別是工程應用和理論中會遇到應用線性代數(shù)的知識和算法.因而，教師可以設置針對線性代數(shù)應用的選修課，以此強化學生對線性代數(shù)的理解和運用.

（四）習題評講中的舉一反三

由于現(xiàn)行的線性代數(shù)教材都有專門的習題參考書，這為某些想走捷徑的學生、只為應付作業(yè)任務的學生提供了便利.針對這一現(xiàn)象，教師可以適當?shù)馗木幜曨}或布置其他參考教材中的練習，這是其一；其二，教師在評講習題時注重對理論的融會貫通，使學生抓住問題的本質，達到舉一反三.

（五）一學期安排一到兩次的數(shù)學文化知識講座

數(shù)學課堂除了理論知識的傳授之外，還需擴充一些相關的數(shù)學人文知識.數(shù)學的教學不僅傳授數(shù)學知識，使學生受到科學思維方式的訓練，而且還需要陶冶人文精神：客觀、公正、講理、嚴謹、勇于創(chuàng)新、堅韌不拔、靈活機動、謙虛謹慎，從而使學生終身受益.因此，在一學期的課堂教學中安排一到兩次數(shù)學文化知識講座是很有必要的.這樣讓學生了解數(shù)學家們是如何用數(shù)學精神探索并解決一個個數(shù)學問題，也讓學生感受到數(shù)學理論的創(chuàng)造發(fā)明與發(fā)展的來之不易，激發(fā)學生的探索精神，也加強學生無論在學習還是社會生活中的不畏挫折的能力.

三、結束語

我們通過分析西南民族大學理工科線性代數(shù)教學現(xiàn)狀，抓住其教學中的難點，并提出了必要的改革策略.在明確了線性代數(shù)教學的問題所在之后，更需要我們從事線性代數(shù)教學研究的教師豐富自身的數(shù)學內涵，拓寬自身的數(shù)學視野，在備課的過程中考慮全面，使其在課堂教學中真正體現(xiàn)數(shù)學的科學思維，使抽象理論與具體實際融會貫通，讓學生領略數(shù)學的風采.

【參考文獻】

[1]李尚志.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李尚志.線性代數(shù)學習指導[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2015.

[3]丘維聲.數(shù)學的思維方式與創(chuàng)新[M].北京：北京大學出版社，2014.

[4]丘維聲.高等代數(shù)（上冊、下冊）[M].北京：清華大學出版社，2015.

[5]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京：科學出版社，2014.

[6]Carl B Boyer，Uta C Merzbach.數(shù)學史（上、下）（修訂版）[M].北京：中央編譯出版社，1991.

[7]I Kaplansky.Linear Algebra and Geometry[M].New York：Chelsea Publishing Company，1974.

[8]同濟大學數(shù)學系.線性代數(shù)[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013.