淺析高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的解題方法

楊敏萱

【摘要】高中數(shù)學(xué)對(duì)于我們現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)來說是比較難的，所涉及內(nèi)容的范圍也很廣，但是想要掌握這些數(shù)學(xué)知識(shí)和相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)以及求解相關(guān)的題目都是存在一定技巧的。如果學(xué)習(xí)并熟練地掌握這些技巧，對(duì)我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率都會(huì)有所改進(jìn)。數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中是比較重要的一部分，其特點(diǎn)是有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性和延展性，在平時(shí)的大型考試，或者高考中都會(huì)出現(xiàn)與數(shù)列相關(guān)的題目。因此，掌握數(shù)列題型的解題技巧對(duì)我們高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。

【關(guān)鍵詞】高中；數(shù)學(xué)；數(shù)列；解題方法

在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，有關(guān)數(shù)列題型的解題技巧也一直備受教師和學(xué)生關(guān)注，它不僅是高中數(shù)學(xué)教師們談?wù)摰闹攸c(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生們學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。有的同學(xué)對(duì)數(shù)列的知識(shí)還存在一些欠缺，沒有完全領(lǐng)會(huì)其中的知識(shí)點(diǎn)，這對(duì)平時(shí)的解題會(huì)造成一定的困難，所以需要我們平時(shí)多多摸索，找出解題技巧，促進(jìn)我們更好地學(xué)習(xí)，本文就對(duì)關(guān)于數(shù)列的解題技巧進(jìn)行一些闡述。

1對(duì)數(shù)列基本概念的探討

在解決高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的過程中，通項(xiàng)公式和求和公式需要被直接運(yùn)用到一些試題上來進(jìn)行計(jì)算。相對(duì)來說，這種類型的數(shù)列題目是沒有什么詳細(xì)的解題技巧的，而是需要我們熟練掌握公式，將公式運(yùn)用到具體的題目中進(jìn)行解答。比如：己知等差數(shù)列{an}，Sn是前n項(xiàng)的和，并且n*屬于N，如果a3=5，S10=20，求S6。根據(jù)題目中的已知條件，我們可以結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，首先把數(shù)列題目中的首項(xiàng)和公差計(jì)算出來，然后根據(jù)已知的條件，把所得的結(jié)果直接代入求和公式中，這樣便可以得到正確的結(jié)果。這種類型的題目主要是考察我們對(duì)基本概念的理解，所以，在學(xué)習(xí)過程中，我們一定要注重?cái)?shù)列概念的掌握。

在近些年的高考中，對(duì)通項(xiàng)公式的考察也很多，對(duì)數(shù)列求和也是需要掌握的重點(diǎn)，所以這里著重再說一下通項(xiàng)公式。對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和的方法有好幾種，這里介紹錯(cuò)位相減法、合并求和法、分組求和法、通項(xiàng)求和法。

2解題方法淺析

2.1合并求和法

在對(duì)數(shù)列試題進(jìn)行考察時(shí)，一般情況下有一些數(shù)列會(huì)比較特殊，如果將其中的個(gè)別項(xiàng)單獨(dú)進(jìn)行組合，那么我們可以找到它特殊的地方。當(dāng)我們面對(duì)這種類型的題目時(shí)，我們的解題技巧是，首先把數(shù)列試題中可以進(jìn)行組合的項(xiàng)列出來，接著計(jì)算它們的結(jié)果，最后進(jìn)行整體的求和運(yùn)算，這樣我們就可以計(jì)算出正確的結(jié)果。比如說這樣的題目，a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。首先我們進(jìn)行初步計(jì)算，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列不是等差的數(shù)列，也不是等比的數(shù)列，但是我們可以得到的是a6m+1=2，am+2=7，一直到a6m+5=-7，a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2，所以題目的最后結(jié)果就是a1999=2。

2.2分組求和法

在高中數(shù)列的試題當(dāng)中，往往會(huì)遇到一部分沒有規(guī)律的數(shù)列試題，它們初看上去既不屬于等差數(shù)列也不屬于等比數(shù)列，但是如果將此類型的數(shù)列進(jìn)行拆分，就可以得到我們所了解的等差數(shù)列和等比數(shù)列，遇到此類型的數(shù)列試題，我們就可以通過分組法求和的方法進(jìn)行解題，首先將數(shù)列進(jìn)行拆分，通過得到的等差數(shù)列和等比數(shù)列進(jìn)行運(yùn)算，最后將其結(jié)合在一起得出試題的答案。

2.3錯(cuò)位相減法

在對(duì)數(shù)列進(jìn)行推導(dǎo)求合時(shí)，我們經(jīng)常用到錯(cuò)位相減法，這種解法經(jīng)常被運(yùn)用到數(shù)列前n項(xiàng)和的求和中。比如在等比數(shù)列或等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求和中，采用錯(cuò)位相乘法，首先算出數(shù)列的首項(xiàng)、差比或公比，再利用等差公式或者等比公式來算出相應(yīng)表達(dá)式，采用錯(cuò)位相乘法就可得到結(jié)果。我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，要多注意解題思路，做到對(duì)題進(jìn)行總結(jié)，舉一反三。

2.4通項(xiàng)求和法

在使用通項(xiàng)求和法時(shí)，關(guān)鍵是能夠把一個(gè)數(shù)值拆分成兩個(gè)數(shù)值，以便把遵循一個(gè)規(guī)律的數(shù)值集合一起進(jìn)行求解，達(dá)到事半功倍的效果。求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n項(xiàng)的數(shù)值的位數(shù)是n，因?yàn)?…111=1/9（9…999）=1/9（10k-1）（k等于1…111的位數(shù)），所以數(shù)列1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101-1）+1/9（102-1）+1/9（103-1）+1/9（104-1）+…+1/9（10n-1）。進(jìn)行分組求和后，1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101+102+103+104+…+10n）-1/9（1+1+1+1+…+1）（1的個(gè)數(shù)是n）=10/81（10n-1）-n/9=1/81（10n+1-10-9n），這樣就能夠很快計(jì)算出數(shù)列的和。

2.5遞推法

遞推法是指根據(jù)問題中所提供的遞推關(guān)系以探求、構(gòu)造等方法解決數(shù)列問題的方法。

例：Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意自然數(shù)n，都有2Sn=n（a1+an），試證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列。

解析：要證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，我們先要了解等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）·d。因此可通過已知條件進(jìn)行遞推，求得結(jié)果。首先，我們將Sn轉(zhuǎn)化為an：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n（a1+an）/2-（n-1）（a1+an-1）/2=[n（an-an-1）+a1+an-1]/2，整理得①a1+（n-2）an-（n-1）an-1=0，同理知②a1+（n-1）an+1-nan=0。由②-①得：（n-1）an+1-2（n-1）an+（n-1）an-1=0，又n-1≠0，則an+1-2an+an-1=0，即當(dāng)n≥2時(shí)，an+1-an=an-an-1。因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列。

3結(jié)束語

綜上所述，我們可以知道，高中的數(shù)列題型因?yàn)樗奶厥庑裕呛推渌臄?shù)學(xué)知識(shí)分不開的，為了能夠更好地學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中一定要注意對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的掌握，以及相關(guān)解題技巧的總結(jié)，達(dá)到融會(huì)貫通的境界，才能更好地提高我們的數(shù)學(xué)能力。

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