教學(xué)中基于“深度學(xué)習(xí)”的選題和編題﹡
——以人教版“勾股定理”為例

☉江南大學(xué)附屬實驗中學(xué) 龐彥福

教學(xué)中基于“深度學(xué)習(xí)”的選題和編題﹡
——以人教版“勾股定理”為例

☉江南大學(xué)附屬實驗中學(xué) 龐彥福

“深度學(xué)習(xí)”是一種基于理解的學(xué)習(xí)，強調(diào)學(xué)習(xí)者批判性地學(xué)習(xí)新知識和思想，要求學(xué)習(xí)者對任何學(xué)習(xí)材料保持一種批判或懷疑的態(tài)度，批判性地看待新知識并深入思考，把它們納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，在各種觀點之間建立多元聯(lián)接，要求學(xué)習(xí)者在理解事物的基礎(chǔ)上善于質(zhì)疑辨析，在質(zhì)疑辨析中加深對深層知識和復(fù)雜概念的理解.近日，筆者在山東“初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)暨名師精品課堂展示研討會”活動中，與老師交流時談到了深度學(xué)習(xí)觀下數(shù)學(xué)教學(xué)中如何將教科書中的題目進(jìn)行改編的問題.當(dāng)時是結(jié)合人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章17.1勾股定理的內(nèi)容而展開的.現(xiàn)整理出來與大家交流共享，并希望得到同仁的指正.

一、從淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教.”基礎(chǔ)知識是重要的、本質(zhì)的，往往也是簡單的，正因為看上去簡單，常常引不起足夠的重視，甚至被學(xué)生和教師所忽略.教科書第26頁練習(xí)第2題是這樣的（方便起見，不妨記作問題1）：

問題1：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A（5，0）和B（0，4）.求這兩點之間的距離.

題目相當(dāng)于告訴我們：在Rt△AOB中，已知OA=5，OB=4，求斜邊AB的長.

圖1

這是學(xué)習(xí)了勾股定理之后，直接運用勾股定理解決的一個基本的簡單題目，這樣的簡單題目不會引起學(xué)生和教師的重視，因為，教師在教學(xué)中會認(rèn)為這是最簡單的題目，不需要在課堂上浪費時間.大家都明白“凡事從簡單做起”的道理.我國古代著名哲學(xué)家、思想家老子有句名言：“天下難事，必做于易；天下大事，必做于細(xì)”，它精辟地指出了想成就一番事業(yè)，必須從簡單的事情做起，從細(xì)微之處入手.如果將該練習(xí)進(jìn)行變形（為了運算方便，將原題目中的數(shù)字適當(dāng)改變），則可引發(fā)學(xué)生深度思考.

變式1：已知一個直角三角形的兩直角邊之比3∶4，斜邊長為10，求這個三角形的面積.

變式2：已知一個直角三角形的面積為24，兩直角邊之比為3∶4，求這個三角形的斜邊長.

變式1在運用勾股定理之前需先將兩直角邊之比3∶4用含有未知數(shù)的式子表示出來，即可將兩直角邊長表示為3x和4x，再根據(jù)斜邊長為10來運用勾股定理.變式2可以看作是在變式1的基礎(chǔ)上，利用三角形的面積為24求出兩條直角邊長，再運用勾股定理求出斜邊長.《課標(biāo)（2011年版）》指出“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性.建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式.”符號意識是重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及解題的過程中合理運用符號表示數(shù)量或數(shù)量之間的關(guān)系，可為解決問題提供方便.根據(jù)奧蘇貝爾的先行組織者理論，這樣的變式有利于新、舊知識的結(jié)合，將已有知識應(yīng)用到新知識的應(yīng)用之中，有助于促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，增大學(xué)習(xí)的思維含量.

變式3：已知一個直角三角形的兩條邊長分別為6和8，求第三邊的長.

變式4：已知一個直角三角形的兩條邊長分別為5和12，求這個三角形的面積.

這兩個變式看似是簡單問題，但在作業(yè)或考試中卻是易錯題，其一，學(xué)生解決此類基本而簡單的問題時不認(rèn)真審題且容易思維定式；其二，學(xué)生對內(nèi)含于數(shù)學(xué)知識之中的思想方法的體悟不深.《課標(biāo)（2011年版）》指出：“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.”數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識與方法的靈魂，蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括.有了變式1和變式2，對于變式3與變式4，是直接求邊還是根據(jù)面積求邊都已經(jīng)不重要了，關(guān)鍵的是學(xué)會分類.在研究數(shù)學(xué)問題時，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程.教學(xué)活動中，要使學(xué)生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類的過程中如何認(rèn)識對象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對象的不同性質(zhì).通過多次反復(fù)的思考和長時間的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想.學(xué)會分類，有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題.

二、關(guān)聯(lián)性是深度學(xué)習(xí)的特征

關(guān)聯(lián)性是指組織體系的要素，既具獨立性，又具相關(guān)性，存在著“相互關(guān)聯(lián)或相互作用”的關(guān)系.數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性無論是“內(nèi)涵”還是“外延”體現(xiàn)的都是一種“連貫”.《課標(biāo)（2011年版）》指出“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系……”.直角三角形模型在生活中是常見的，應(yīng)用非常廣泛，而且直角三角形與等腰三角形、等邊三角形作為特殊的三角形，是初中數(shù)學(xué)重點研究的對象，因此教科書第27頁的練習(xí)設(shè)置了這樣一個題目（記作問題2）：

問題2：如圖2，等邊三角形的邊長是6.求：

（1）高AD的長；

（2）這個三角形的面積.

表面上看這是等邊三角形或等腰三角形知識應(yīng)用的題目，但解決的過程中卻離不開勾股定理（當(dāng)然，學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)之后，也可以利用銳角三角函數(shù)知識來解決，因此，學(xué)習(xí)、研究銳角三角函數(shù)往往也是與特殊三角形聯(lián)系在一起的）.教學(xué)中，為了突出重點，夯實基礎(chǔ)，要引導(dǎo)學(xué)生深度思考、深度學(xué)習(xí)，不妨利用問題2來深化和拓展學(xué)生的進(jìn)一步思考.

圖2

變式2：等腰△ABC的腰長為10cm，底邊長為16cm，則底邊上的高為_______，面積為_______.

變式3：等腰△ABC的腰長為10cm，底邊上的高為6cm，求△ABC的面積.

變式4：等腰△ABC的腰長為10cm，△ABC的面積為48cm2，求底邊長.

變式5：等腰三角形兩邊長為6和12，求底邊上的高.

問題2的5個變式都是在特殊三角形中應(yīng)用勾股定理來解決問題的.對于變式1～3，只要能較為準(zhǔn)確地畫出圖形，找出運用勾股定理的直角三角形及其各邊（包括用字母或含字母的式子），是容易得出答案的.變式4與5的思維含量不僅體現(xiàn)在用什么方法解決問題，更重要的是能否理解其中蘊含的思想方法，并想著如何來規(guī)避題目中的“陷阱”.事物是普遍聯(lián)系的，多一些美麗的景色也可能會多一些陡峭或風(fēng)險.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或解題中亦是如此，不斷思考，多想想，多反思，會思辨，才可能會深度學(xué)習(xí)，才可能學(xué)得有效，學(xué)出質(zhì)量.

三、會思辨是深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn)

會思考、能思辨是深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn).思考指的是分析、推理、判斷等思維活動，思辨能力就是思考辨析能力.層次分明、條理清楚的分析，清楚準(zhǔn)確、明白有力的說理，就是思辨能力的主要特征.學(xué)習(xí)者學(xué)會思辨才能從淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí).問題1的變式3中，長為8的邊一定是直角邊嗎？因為題目告訴我們6和8是直角三角形的兩條邊的長，這兩邊可能都是直角邊，也可能是一條直角邊和斜邊，而8＞6，所以8可以是直角邊中的一條也可以是斜邊，這樣就會有兩種情況，如此思考分類討論既是必要的也是自然而然的.這樣的思考和思辨的解題思路與方法為正確解答變式4提供了數(shù)學(xué)思想、解題方法與策略的基礎(chǔ)保證，順利解決也就水到渠成了.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及分析和解決問題的過程中體現(xiàn)出來的批判或質(zhì)疑意識及思辨能力會促進(jìn)學(xué)習(xí)向著縱深方向延伸，這才是真正的深度學(xué)習(xí).

對學(xué)生學(xué)習(xí)而言，問題2的變式4、變式5為他們深度思考與學(xué)習(xí)提供了機會及可能.對于變式4，根據(jù)“腰長為10cm，△ABC的面積為48cm2”直接求底邊長是有思維含量的，若方法不當(dāng)，則會出現(xiàn)4次方程；若思考不周，則會漏解.如圖3，可以求出該底上的高CD（或設(shè)為x）為9.6cm，這時易求出AD為2.8cm，于是BD=10-2.8=7.2（cm）.在Rt△BCD中，根據(jù)CD=9.6cm，BD=7.2cm，由勾股定理可得底邊BC的長為12cm.如圖4，如果設(shè)BC=2x，根據(jù)勾股定理，BC邊上的高AP為，這樣求出的底邊是兩種情況.為什么會出現(xiàn)不一樣的結(jié)果呢？進(jìn)一步思考，不難想象：腰長為10cm，面積為48cm2的等腰△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形呢？或者是直角三角形呢？根據(jù)題目條件可以確定不可能是直角三角形.圖3畫出的是銳角三角形，可以是鈍角三角形嗎？當(dāng)想到這種情況并畫出圖形時，我們便會恍然大悟（如圖5）.原來符合條件的底邊BC是16cm或12cm兩種情況.

圖3

圖4

圖5

有了以上經(jīng)驗和教訓(xùn)，對于變式5，就會自然而然想到兩種情況：當(dāng)腰為6時是一種情況；當(dāng)腰為12時是另一種可能.再深入思考和思辨，當(dāng)腰為6時，因為6+6=12，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理知道，此種情況不成立.

像問題1的變式3～4，問題2的變式4～5，正確解答的前提是既要“心中有圖”還需具備一定的批判、質(zhì)疑及思辨能力，將數(shù)學(xué)的思想方法蘊含于知識的運用之中，而提取知識不僅是囊中取物，還需能夠達(dá)到靈活的自如程度，這樣的學(xué)習(xí)才會有效、有深度、有質(zhì)量.

四、深度學(xué)習(xí)生長出數(shù)學(xué)能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察，用數(shù)學(xué)的頭腦進(jìn)行思考，用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)，將知識轉(zhuǎn)化為能力和智慧.解決問題1的變式3和變式4及問題2的變式4和變式5，需要將勾股定理“盤活”，需要應(yīng)用知識的能力，而不是生搬硬套知識.今天學(xué)習(xí)的目的是為了明天更好地生活和工作.而對明天的工作或者是生活來說，能力最重要，能力是第一位的.因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是為了掌握知識，更重要的是應(yīng)該在不斷掌握知識、理解知識、運用知識的過程中生長出數(shù)學(xué)能力.數(shù)學(xué)能力主要是一個人將來工作及生活所需要的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力及數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，比如，思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性、敏捷性等.

數(shù)學(xué)能力要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及解題的過程中自然生長.數(shù)學(xué)能力的生長是一個讓學(xué)生在更高視野下構(gòu)建知識、運用知識的過程，是一個讓學(xué)生在更有深度的思維下感受生長的過程，是一個讓學(xué)生在更適宜的環(huán)境里發(fā)展自我的過程.數(shù)學(xué)能力的生長需要教師提供立體式、生長型、智慧的“梯子”.數(shù)學(xué)能力的生長需要給學(xué)生足夠的時間和空間，讓他們經(jīng)歷生長的過程.因此，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生抓重點、抓核心，學(xué)會觀察、學(xué)會捕捉信息，學(xué)會分析和理解，敢于質(zhì)疑，學(xué)會思考和思辨.教學(xué)中，有效開展和實施深度學(xué)習(xí)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法．對教師而言，如何開發(fā)需要深度數(shù)學(xué)思維的各種探究任務(wù)是值得研究的，還要不斷研究實施這些任務(wù)的有效教學(xué)途徑及策略．如此，才能將深度學(xué)習(xí)引向深入，落地生根．

當(dāng)然，教學(xué)中的選題和編題應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)及已有經(jīng)驗，因地制宜，合乎實際，適合學(xué)生的才是合適的，適合學(xué)生的才是有效的，適合學(xué)生的才是最好的.

1.安富海.促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)策略研究：教學(xué)論研究的視域轉(zhuǎn)換［J］.課程·教材·教法，2014（11）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

4.卜以樓.生長構(gòu)架：復(fù)習(xí)課的理念創(chuàng)新［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度普教重點自籌課題“初中數(shù)學(xué)‘深度學(xué)習(xí)’資源建設(shè)的理論與實踐研究”（課題編號：B-b/2016/02/155）的研究成果.