對一道課本規(guī)律題的探索歸納和推廣

☉廣東江門市新會葵城中學(xué) 陳家武

對一道課本規(guī)律題的探索歸納和推廣

☉廣東江門市新會葵城中學(xué) 陳家武

在當(dāng)前應(yīng)試模式下，學(xué)習(xí)任務(wù)繁重，各種題目層出不窮，同樣或者同類型的題目多次重復(fù)出現(xiàn)的情況更是屢不見鮮，而當(dāng)學(xué)生遇到這些同類型的題目時(shí)卻絲毫沒有察覺，花大量的時(shí)間做了大量的練習(xí)后解題能力也不見得提高，這便是令人苦惱的題海戰(zhàn)術(shù).

在教材中有很多經(jīng)典的習(xí)題，具有廣闊的拓展空間，很多題目“形不同而質(zhì)相同”，抓住圖形的結(jié)構(gòu)和題目本質(zhì)特征進(jìn)行研究、歸納，可以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，不管是對學(xué)生解題能力的提高和學(xué)習(xí)任務(wù)的減輕，還是對教師數(shù)學(xué)專業(yè)水平的提升，都有著重要的意義.

本文呈現(xiàn)一道課本習(xí)題的探索歸納、拓展過程，供參考.

原題：（人教版2012版教材七年級上冊第130頁拓廣探索第12題）兩條直線相交，有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？四條直線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

圖1

分析：本題放在拓展探索的最后一題，可見其實(shí)難度不一般.題目中畫出了兩條、三條和四條直線相交交點(diǎn)最多的圖像，設(shè)置了三小問，由于給出了準(zhǔn)確的圖形，前兩問可以直接數(shù)，答案是顯然的，對于第三問，需要找出直線相交時(shí)直線數(shù)量與最多交點(diǎn)數(shù)量之間的規(guī)律.這個(gè)問題對于多數(shù)學(xué)生而言有以下難點(diǎn).

1.對題目理解不到位，何時(shí)交點(diǎn)最多學(xué)生不容易理解，因?yàn)槿龡l以上直線相交的情況不止一種，以三條為例，其情況如下：

圖2

交點(diǎn)可以是0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)，交點(diǎn)最多是最后一種，有3個(gè).

2.學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律.

3.學(xué)生不懂得將規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來.

經(jīng)過上面的分析，當(dāng)直線兩兩相交（沒有平行的情況），且沒有三條經(jīng)過同一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)數(shù)最多.（這里要重點(diǎn)向?qū)W生解釋，不妨以3條直線為例）

解：為了更容易找出規(guī)律，列表填空如下：

表1

為了使思路更加清晰，這里給每條直線標(biāo)上序號，2條直線相交最多1個(gè)交點(diǎn)，3條直線在2條直線的基礎(chǔ)上添加1條直線，其交點(diǎn)數(shù)比前一種多2個(gè)（即直線③分別與直線①、②相交所得的2個(gè)交點(diǎn)），共有1+2=3（個(gè)）交點(diǎn)，而4條直線是在3條直線的基礎(chǔ)上添加1條，其交點(diǎn)數(shù)比前一種多3個(gè)（即直線④分別與直線①、②、③相交所得的3個(gè)交點(diǎn)），共有1+2+3=6（個(gè)）交點(diǎn)，依此類推，n條直線是在（n-1）條直線的基礎(chǔ)上添加1條，其交點(diǎn)數(shù)比前一種多（n-1）個(gè)（即直線n 分別與前（n-1）條直線直線相交所得的（n-1）個(gè)交點(diǎn)），共有1+2+3+…+（n-1）=（個(gè)）交點(diǎn)，至此問題解決.

點(diǎn)評：一般與圖形有關(guān)的規(guī)律題通常圖形中的規(guī)律是較容易發(fā)現(xiàn)的，而本題直接從圖上找規(guī)律并不容易，如果題目沒有畫出前兩個(gè)圖形，剛接觸幾何的學(xué)生不一定能準(zhǔn)確畫出來，題目給出前三個(gè)圖形，學(xué)生可以直接從三種圖形的數(shù)字中找出規(guī)律，大大降低難度.對于規(guī)律題，對圖形進(jìn)行加工很重要，這里我用表格的方法，同時(shí)在表格中加入序號一行，這種方法對今后規(guī)律的探究有很大的幫助.另外本題還用到了連續(xù)多個(gè)數(shù)之和的計(jì)算公式（學(xué)生知道高斯計(jì)算1至100的和用到的方法，實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式）.

【觸類】

題目1：在一條直線上取2個(gè)點(diǎn)A、B，共得幾條線段？在一條直線上取3個(gè)點(diǎn)A、B、C，共得幾條線段？在一條直線上取4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，共得幾條線段？在一條直線上取n個(gè)點(diǎn)，共可得多少條線段？

分析：本題可以仿照解上一題的思路方法解決，線段由兩個(gè)端點(diǎn)確定，即兩個(gè)端點(diǎn)確定一條線段.

解：同樣，為了更容易找出規(guī)律列表并分析填空如下：

表2

一條直線上有2個(gè)點(diǎn)可以確定1條線段，3個(gè)點(diǎn)是在2個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上添加1個(gè)點(diǎn)，線段比前一種新增加了2條（即點(diǎn)C分別與點(diǎn)A、B新構(gòu)成的2條線段），共有1+2= 3（條）線段，4個(gè)點(diǎn)是在3個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上添加1個(gè)點(diǎn)，線段比前一種新增加了3條（即點(diǎn)D分別與點(diǎn)A、B、C新構(gòu)成的3條線段），共有1+2+3=6（條）線段，依此類推，n個(gè)點(diǎn)是在（n-1）個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上添加1個(gè)點(diǎn)，線段比前一種多（n-1）條（即第n個(gè)點(diǎn)分別與前（n-1）個(gè)點(diǎn)新構(gòu)成的（n-1）條線段），共有1+2+3+…+（n-1）=（條）線段，問題解決.

點(diǎn)評：本題在方法上跟上一題類似，結(jié)果是一樣的，相對上一題本題要容易一些，主要是圖形簡單，但數(shù)線段容易數(shù)錯(cuò)，小心即可.

題目2：數(shù)一數(shù)，找規(guī)律：

（1）下列各圖中，角的射線依次增加，請數(shù)一數(shù)各圖中分別有幾個(gè)角.

圖3

①____1個(gè)角②____個(gè)角③____個(gè)角④____個(gè)角

（2）如果一個(gè)角內(nèi)部有8條射線，那么該圖中有________個(gè)角.如果一個(gè)角內(nèi)部有n條射線，那么該圖中有________個(gè)角.

分析：首先這里的角是指小于平角的角，抓住角是有兩條公共端點(diǎn)的射線構(gòu)成的，只要兩條射線確定，則角就確定了，類比以上的方法解題.

解：列表（如表3）：

表3

點(diǎn)評：本題跟線段一題類似，這里不再贅述.

以上三個(gè)問題，是第四章幾何圖形初步里的三個(gè)經(jīng)典問題，以表格填空的形式，可能學(xué)生更容易掌握和接受.

【旁通】

問題設(shè)計(jì)：2條直線相交最多將平面分成4部分，3條直線相交最多將平面分成幾部分？4條直線相交最多將平面分成幾部分？n條直線相交最多將平面分成幾部分？

圖4

分析：仿照以上的方法，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線兩兩相交，且沒有三條直線相交于一點(diǎn)時(shí),分得的部分最多，而跟交點(diǎn)不同的是，直線分平面是每經(jīng)過平面的一部分都會將該部分一分為二，即每經(jīng)過1個(gè)部分就會增加多1個(gè)部分.經(jīng)過多少部分就會增加多少部分，因此要看每增加1條直線平面多幾部分，只要看這條線最多可以經(jīng)過幾部分，這是此題的不同之處，也是本題的最大難點(diǎn).

解：列表（如表4）：

表4

點(diǎn)評：本題相對多條直線相交交點(diǎn)最多問題，難度要大很多.1.要準(zhǔn)確畫出圖形不容易；2.規(guī)律也比前面的要難找；3.計(jì)算4+3+4+5+…+n要作處理.另外，本題還可以將題目“完整”化，即在題目前增加“1條直線最多將平面分成2部分”，這樣對應(yīng)的序號和射線數(shù)相同（步調(diào)一致），其做法基本一樣，不同的是題目顯得更加完整些，規(guī)律也更清晰.

贈人魚不如授人漁，同樣教會學(xué)生一道題不如教會一類題.通過研究一些典型題目，歸納總結(jié)，發(fā)揮好它的示范和輻射作用，往往能收到會一題通一類的效果，學(xué)會舉一反三、觸類旁通，才是我們真正要達(dá)到的學(xué)習(xí)目的.

總之，在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)對課本典型習(xí)題的研究，立足基礎(chǔ)、力求變化、歸納、延伸，鍛煉思維、培養(yǎng)能力，讓學(xué)生在學(xué)會解題的同時(shí)，在“異中求同，同中求異”中培養(yǎng)聚合思維和發(fā)散思維能力，真正做到“做一題，通一類，會一片，得一法”，讓學(xué)生從題海中解放出來，做到學(xué)習(xí)的效益最大化、方法最優(yōu)化.