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    一道“平行線性質(zhì)”習(xí)題的探究性學(xué)習(xí)

    2017-03-11 06:50:11湖南婁底市第五中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年4期
    關(guān)鍵詞:輔助線平行線探究性

    ☉湖南婁底市第五中學(xué) 伍 歆

    一道“平行線性質(zhì)”習(xí)題的探究性學(xué)習(xí)

    ☉湖南婁底市第五中學(xué) 伍 歆

    課本中的習(xí)題都是教學(xué)材料中的精品,具有很強(qiáng)的典型性和示范性.在教學(xué)中,經(jīng)過合理的變化,往往可以生產(chǎn)許多內(nèi)涵更豐富、價值更高的問題.教師在使用習(xí)題素材時,不妨以一種預(yù)期的、反思的眼光利用習(xí)題,有意識地引導(dǎo)學(xué)生,從一個思維點出發(fā),沿不同方向,提出各種途徑,和學(xué)生一起進(jìn)行“探究性學(xué)習(xí)”.本文介紹一個案例.

    湘教版七年級下冊第89頁A組第3題:(以下簡稱原題)

    如圖1,若AB∥CD∥EF,∠B= 45°,∠F=40°,求∠BCF的度數(shù).

    這是一道很簡單的習(xí)題,如果就題論題,這道題一下子就解決了,但是隱藏在本題中的“構(gòu)造輔助線,探尋角度間的數(shù)量關(guān)系”等知識就被丟棄了.

    圖1

    一、構(gòu)造輔助線,探尋角度間的數(shù)量關(guān)系

    變式1:如圖2,若AB∥EF,那么∠ABC、∠CFE、∠BCF有何數(shù)量關(guān)系?為什么?

    分析:在原題的啟發(fā)下,學(xué)生馬上想到構(gòu)造輔助線,利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”得到這三個角的數(shù)量關(guān)系.

    圖2

    圖3

    解:如圖3,過C作CD∥AB.

    則∠1=∠ABC.

    由CD∥AB,AB∥EF,得CD∥EF.

    則∠2=∠CFE.

    又∠BCF=∠1+∠2,則∠BCF=∠ABC+∠CFE.

    二、滲透分類討論思想

    近幾年中考壓軸題往往需要學(xué)生進(jìn)行分類討論才能解決,但是學(xué)生在做這類題時,往往不知道怎樣進(jìn)行分類或分類討論不周全,導(dǎo)致得分率偏低.究其原因,主要是平時的教與學(xué)中,對分類討論這種數(shù)學(xué)思想滲透得不夠,學(xué)生運用起來不熟練.小學(xué)數(shù)學(xué)問題,答案往往是唯一的,導(dǎo)致學(xué)生思維單向性傾向明顯,從初一的教學(xué)中就開始滲透分類討論思想,可以循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生思維的連續(xù)性、有序性和全面性,對養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)大有裨益.通過對原題進(jìn)行變化,就生成了一道“根據(jù)圖形的位置變化分類討論題”.

    變式2:已知直線AB∥EF,點C為不在直線AB、EF上一點,連接CB、CF,則∠ABC、∠CFE、∠BCF有何數(shù)量關(guān)系?為什么?

    分析:對于七年級的學(xué)生,本題的難度非常大,教師可以先用幾何畫板,畫出圖形,度量出∠ABC、∠CFE、∠BCF這三個角的大小,讓學(xué)生上臺拖動點C,教師引導(dǎo)學(xué)生不重復(fù)不遺漏地進(jìn)行分類,然后小組合作,經(jīng)歷“探究—猜想—證明”的解題過程.通過小組合作探究,出現(xiàn)了多種正確的分類方式.比如,按結(jié)果分成兩類:第一類,其中一個角等于另兩個角之和;第二類,三個角的和等于180°.按點C的位置分:第一類,點C在直線AB、CD之間;第二類,點C在直線AB、CD之外.下面展示按點C位置分類討論的解題結(jié)果.

    解:情況一:點C在直線AB、CD之間.

    ①如圖4,點C在直線BF的左側(cè).

    過C作CD∥AB.

    則∠1=∠ABC.

    由CD∥AB,AB∥EF,得CD∥EF.

    則∠2=∠CFE.

    又∠BCF=∠1+∠2,則∠BCF=∠ABC+∠CFE.

    圖4

    圖5

    ②如圖5,點C在直線BF的右側(cè).

    過C作CG∥AB.

    由CG∥AB,AB∥EF,得CG∥EF.

    則∠3+∠CFE=180°.

    則∠ABC+∠BCF+∠CFE=∠ABC+∠4+∠3+∠CFE=180°+180°=360°.

    情況二:點C在直線AB、CD之外.

    如圖6,過C作CH∥AB.

    則∠5=∠ABC.

    由CH∥AB,AB∥EF,得CH∥EF.

    則∠HCF=∠CFE.

    谷物促進(jìn)瘤胃發(fā)育,從3日齡或更小開始飼喂谷物,3周齡時開始大量攝入谷物(0.5磅/天),斷奶前 14~21天攝入谷物1磅/天或更多。斷奶之前顆粒料采食量跟斷奶后顆粒料采食是直接線性相關(guān)的。

    又∠HCF=∠5+∠BCF,則∠CFE=∠ABC+∠BCF.

    (在直線AB、CD之外改變點C的位置時,還會出現(xiàn)其他答案,但都是其中兩角之和等于第三個角)

    圖6

    三、啟蒙動態(tài)幾何問題

    圖形中的點、線運動構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的一類新問題“動態(tài)幾何問題”,它通常分為三類:動點問題、動線問題、動形問題.動態(tài)幾何問題是近幾年中考中的熱點問題,筆者在收集的20份2015年中考數(shù)學(xué)試卷中,經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)把這類問題作為壓軸題的試卷有18份.動態(tài)幾何問題已經(jīng)成為了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不可回避的一環(huán).但是,動態(tài)幾何問題是一類集幾何、數(shù)與式、方程與函數(shù)于一身的問題,題型新、難度大、綜合性強(qiáng),對學(xué)生的空間想象能力、綜合分析和解決問題的能力提出了很高的要求.解決這類問題的方法不是一朝一夕就能掌握的,所以我從現(xiàn)在開始,通過這節(jié)課啟蒙動態(tài)幾何問題中的第一類——動點問題.

    變式3:已知直線a∥b,直線d分別和直線a、b交于點M和點N,在直線MN上有一動點C.

    (1)如圖7,若C點在M、N兩點之間運動,問:∠ACB、∠CAM、∠CBN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.

    (2)若C點在M、N兩點之外運動(C點不與M、N兩點重合),以上觀點還成立嗎?若不成立,試寫出新的結(jié)論并說明理由.

    分析:雖然有前面的兩題作鋪墊,但是學(xué)生剛接觸“動點問題”,理解題意還是有困難,根據(jù)題意畫出圖形更難、在教學(xué)時筆者借助幾何畫板演示題目,幫助學(xué)生理解題意,通過度量三個角的大小,猜想三個角度的數(shù)量關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生前后聯(lián)系,添加輔助線證明猜想.具體解題過程留給學(xué)生課后作為家庭作業(yè)書寫,給學(xué)生充足的理解、思考、解答的時間,并通過家庭作業(yè)進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識.具體講解過程,筆者借助ppt和幾何畫板,用Camtasia Studio錄制成一段五分鐘的微視頻,可以讓學(xué)生反復(fù)觀看,有助于學(xué)生把握動態(tài)幾何題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

    解:(1)如圖7,過C作CF∥a.

    則∠ACF=∠CAM.

    由CF∥a,a∥b,得CF∥b.

    則∠FCB=∠CBN.

    又∠ACB=∠ACF+∠FCB,則∠ACB=∠CAM+∠CBN.

    圖7

    圖8

    (2)①點C在點M的上方.

    如圖8,過C作CG∥a.

    則∠GCA=∠CAM.

    由CG∥a,a∥b,得CG∥b.

    則∠GCB=∠CBN.

    又∠GCB=∠GCA+∠ACB,則∠CBN=∠CAM+∠ACB.

    ②點C在點M的下方.

    如圖9,過C作CH∥a.

    則∠CAM=∠ACH.

    由CH∥a,a∥b,得CH∥b.

    則∠BCH=∠CBN.

    又∠ACH=∠ACB+∠BCH,則∠CAM=∠ACB+∠CBN.

    (四)探究性學(xué)習(xí)后的反思.

    本課設(shè)計立足教材中的習(xí)題素材,把習(xí)題變形,設(shè)計成學(xué)生要探索的問題,讓學(xué)生在多元化的操作過程中體驗數(shù)學(xué)問題的演變過程,符合學(xué)生從特殊到一般、從靜態(tài)到動態(tài)的圖形認(rèn)知規(guī)律,通過探究性學(xué)習(xí)滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

    本課作為“平行線性質(zhì)”的一堂習(xí)題課,充分挖掘習(xí)題的價值,避免了題海戰(zhàn)術(shù),通過設(shè)計構(gòu)建合理的教學(xué)方式,引導(dǎo)學(xué)生猜想歸納并證明,讓習(xí)題課也能上出精彩.

    圖9

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