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    解題教學(xué)的追求:關(guān)聯(lián)同類,感悟結(jié)構(gòu)
    ——從一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起

    2017-03-11 05:50:12江蘇海門實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)季紅妹
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年4期
    關(guān)鍵詞:網(wǎng)傳考題數(shù)軸

    ☉江蘇海門實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 季紅妹

    解題教學(xué)的追求:關(guān)聯(lián)同類,感悟結(jié)構(gòu)
    ——從一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起

    ☉江蘇海門實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 季紅妹

    近年來,隨著信息技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)搜題平臺的興起,智能化手機(jī)終端的普及,初中學(xué)生使用網(wǎng)絡(luò)搜題、查答案的現(xiàn)象不在少數(shù),有時會碰到少數(shù)學(xué)生的解答與網(wǎng)傳錯誤解答“一樣”的情況.本文就從一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起,關(guān)注一類具有“相同結(jié)構(gòu)”的問題,并跟進(jìn)思考我們的解題教學(xué)應(yīng)該在哪些問題上多下功夫.

    一、由一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起

    考題1:(2014年浙江湖州)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和N,點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā),沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動,連接PF,過點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動的時間是t秒(t>0).

    (1)略.

    (2)略.

    (3)作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)F′,經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)Q,連接QE.在點(diǎn)F運(yùn)動過程中,是否存在某一時刻,使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.

    圖1

    圖2

    網(wǎng)傳錯漏解答:某網(wǎng)站上將第(3)題只分了兩類情形討論.

    情況1:如圖2,當(dāng)1<t<2時:

    由題意可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1+t,0),根據(jù)F和F′關(guān)于點(diǎn)M對稱,得點(diǎn)F′(1-t,0).

    情況2:如圖3,當(dāng)t>2時:

    圖3

    圖4

    類似上面,得F(1+t,0)、F′(1-t,0).

    由經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)

    簡評:上面的解答有明顯錯漏,分類的情況缺少“0< t<1”這一區(qū)間,顯然是不恰當(dāng)?shù)?,筆者檢索另一家網(wǎng)站發(fā)現(xiàn)補(bǔ)全了該區(qū)間的情形,如圖4,解答方法類似上面兩種情況.

    然而,如果認(rèn)真觀察圖4就會發(fā)現(xiàn),這是一個典型的錯誤構(gòu)圖,圖形沒能滿足總題干中“PE⊥PF”的要求,使得該題分析的價值全無,若照此偏差巨大的圖形分析圖形之間的相似關(guān)系,則會影響思路的獲取,造成解題受阻或出錯.以下我們對其法作出進(jìn)一步的優(yōu)化和簡化.

    二、關(guān)聯(lián)同類問題,引導(dǎo)學(xué)生洞察深層結(jié)構(gòu)

    回到初一,復(fù)習(xí)數(shù)軸:初一有理數(shù)起始教學(xué)時,數(shù)軸是最早引入的數(shù)學(xué)工具,然而越簡單的數(shù)學(xué)概念往往越有深度,這是我們理解數(shù)學(xué)概念時常常有的一種學(xué)習(xí)體會.比如,數(shù)軸上兩點(diǎn)及其中點(diǎn)之間的關(guān)系,可以用下面的關(guān)系式來描述.

    考題2:如圖5,數(shù)軸上,點(diǎn)A、B分別對應(yīng)a、b.

    圖5

    問題1:設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)是m,試用含a、b的式子表示m.

    講解:初一剛剛學(xué)習(xí)時,我們是引導(dǎo)學(xué)生從特殊值出發(fā),歸納出2m=a+b.

    問題2:若點(diǎn)C對應(yīng)著1,當(dāng)BC=AC時,求4a+4b+2009的值.

    講解:利用問題1中發(fā)現(xiàn)的性質(zhì),有a+b=2×1,則4a+ 4b+2009的值為4×2+2009=2017.

    運(yùn)用性質(zhì),突破考題:我們排除考題中的無關(guān)信息,就會發(fā)現(xiàn)其實(shí)是兩組中點(diǎn)的綜合運(yùn)用,如圖6、圖7,

    圖6

    圖7

    分別利用上面提到的“2m=a+b”就可求出F′、Q′的坐標(biāo),即F′(1-t,0)、Q(1-0.5t,0).

    只要再想清E(0,1-t),就可將△QOE的兩條直角邊利用含t的式子表示出來,即OQ=|1-0.5t|,OE=|1-t|.△PMF的兩條直角邊分別是:PM=1,MF=t.

    現(xiàn)在只要討論它們的兩種不同對應(yīng)關(guān)系,就能得出方程:

    再消去絕對值符號,轉(zhuǎn)化成兩個一元二次方程即可獲得問題的解答.

    可見,這種方法的關(guān)鍵是將G點(diǎn)的坐標(biāo)利用中點(diǎn)之間的關(guān)系演算出來,而無需陷入繁雜的構(gòu)圖.

    關(guān)聯(lián)鏈接:

    考題3:如圖8,已知A(a,0)、B(0,b)分別為兩坐標(biāo)軸上的點(diǎn),且a、b滿足a2+b2-12a-12b+72=0,OC∶OA=1∶3.

    (1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);

    (2)若D(1,0),過點(diǎn)D的直線分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),設(shè)E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xE、xF,當(dāng)BD平分△BEF的面積時,求xE+xF的值.

    圖8

    圖9

    講解:這個考題的難點(diǎn)在于第(2)問構(gòu)造兩垂線段EG、FH之后,不少學(xué)生不能順利突破思路,究其原因,在于忘了上面我們提到的數(shù)軸上兩點(diǎn)及其中點(diǎn)之間的關(guān)系,圖9是筆者在講評時使用的PPT截圖,旨在為學(xué)生分離出結(jié)構(gòu),以便讓他們快速獲得轉(zhuǎn)化.

    考題4:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖10,若+bx1=a+bx2,且x1≠x2.求證x1+x2=2.

    圖10

    圖11

    講解:這個問題的本質(zhì)其實(shí)是高中階段關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的一個性質(zhì),即當(dāng)f(x1)=f(x2)時,一定有f(x1+x2)=f(0)=c.這里也可與線段中點(diǎn)的性質(zhì)發(fā)生關(guān)聯(lián),可構(gòu)造圖11向?qū)W生解釋,比如,直線AB∥x軸,交拋物線于A、B兩點(diǎn),交拋物線的對稱軸于C點(diǎn),根據(jù)對稱性,易知AC=BC,也就是它們的橫坐標(biāo)之間具有了xA+xB= 2xC的關(guān)系.這樣來看,就能快速看清上面的求證題的結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)證明了.

    三、寫在最后

    解題教學(xué)在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有相當(dāng)?shù)谋戎?,如何從講一題,教會一個技巧或一個具體解法步驟,走向講一題、鏈接一類、悟出一種結(jié)構(gòu),這始終是我們解題教學(xué)效益提升的重要追求.我們的案例積累還有待豐富,期待同行跟進(jìn)案例、指點(diǎn)研討.

    1.王秀梅.習(xí)題課教學(xué):從“拿來主義”走向編題變式——以“數(shù)軸再認(rèn)識”習(xí)題課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(10).

    2.付小飛.明辨并列與遞進(jìn),引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(7).

    3.陳愛軍.預(yù)設(shè)互動促進(jìn)對話,課件簡約漸次展現(xiàn)——李庾南老師“函數(shù)的圖像”課例賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(10).

    4.鮑建生,顧冷沅等.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(1、2、3).

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